其次章 矩阵补充习题(含答案)

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1．已知对于n阶方阵A，存在自由数k，使得A?0，试证明矩阵E–A可逆，并写出其逆矩阵的表达式（E为n阶单位阵）．

由代数公式1-ak?(1?a)(1+a+?+ak-1)以及A与E可交换，有

kE-Ak?(E?A)(E+A+??Ak?1)，而Ak?0

故有(E?A)(E+A+??Ak?1)?E可知E–A可逆，且有

-1（E-A）?E+A+??Ak?1．

2．设A为n阶非奇异矩阵，?为n维列向量，b为常数．记分块矩阵

?EP??T*???A*

0??A，Q???TA??????，

b?其中A是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．(1)计算并化简PQ；

(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是?A??b．

此题的关键是对于含A的计算或证明题，首先应联想到关系式

*

T?1AA*?A*A?AE．另外，在进行矩阵乘法运算中要注意哪些是矩阵，哪些是向量，哪些

是数，左乘还是右乘．

（1）因AA?AA?AE，故

**?EPQ??T*???A?A=??0?（2）由（1）可得PQ?20??A?TA??????????T*Tb????AA?A?A???

??TA*??bA???．T?1A?b??A????A?b??T?1?A??，

而PQ?P?Q,且P?A?0,，故

1??T?A?．Q?Ab??由此可知，Q?0的充分必要条件为?A??b，即矩阵Q可逆的充分必要条件是

T?1?TA?1??b．

此题综合考察了矩阵乘法运算、矩阵乘积行列式的性质以及伴随矩阵的性质．要特别注意重要公式：AA*?A*A?AE，且A可逆时，有

A?AA,?A*?1*?1?AA**?1?1．?,A?A?A?,A?AA

3．设A和B均为n?n矩阵，则必有

(A)A?B?A?B.(B)AB=BA.

(C)AB?BA.(D)(A?B)?1?A?1?B?1.矩阵的乘法运算不满足交换律，因此一般AB?BA,但AB?AB，而行列式是数，可交换，于是有AB?AB?BA?BA，可见应选(C).

对于(A),(D)，主要考察行列式和矩阵的运算性质，均可通过反例说明不成立。

?101???nn?14．设A?020，而n?2为正整数，则A?2A?.

????101??此题若分别计算出A及Ann?1，再代入A?2A23nn?1求其值，则将问题弄繁杂

化了。一般而言，对于一个填空题，可先试算A,A,?,找出规律后，在进行计算。

由于

?101??101??202???????2A?020?020?040?2A，

????????101????101????202??故有A?2A

5．设n维向量??(a,0,?,0,a),a?0；E为n阶单位矩阵，矩阵

TA?E???，B?E?nn?1?An?2(A2?2A)?0.

T1??T，a其中A的逆矩阵为B，则a=.

T2T这里??为n阶矩阵，而???2a为数，直接通过AB?E进行计算并

注意利用乘法的结合律即可.

由题设，有

1??T)a11TTTT=E????????????

aa11TTTT=E????????(??)?

aa1TTT=E???????2a??

a1T=E?(?1?2a?)???E,

a112于是有?1?2a??0，即2a?a?1?0，解得a?,a??1.由于A<0,故a=-1.

a2AB?(E???)(E?T

6．已知X=AX+B,其中

?010??1?1?????A??111，B?20，????????10?1???5?3??求矩阵X.

由X=AX+B,，有(E-A)X=B,于是X?(E?A)B.

?121??0?1?10????1??1而(E?A)?10?1=?321，

???3????0?11???102???121??1?1??3?1??01??????故X?(E?A)?1B=?32120?20.

?????3???5?3????1?1???0?11???

7．设

?a11?a21A???a31??a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14??a14?aa24??,B??24?a34a34???a44??a44a13a23a33a43a12a22a32a42a11?a21??,a31??a41??0?0?P1??0??1其中A可逆，则B0100?100101??1?00??,P2???00???0??0001001000?0??,0??1?等于

?1(A)A?1P1P2.(B)P1AP2.

?1?1(C)P1P2A.(D)P2AP1.[]

由于P1是单位矩阵交换第一、四列后所得的初等矩阵，而P2是交换其次、三列后所得的初等矩阵，于是有B?AP2P1，从而

?1?1?1?1?1B?1?(AP?P?P2P1)1P2A1P2A.

故正确选项为(C).

设E为n阶单位矩阵，E(i,j),E(i(k)),E(i,j?i(k))分别是将E交换第i,j两行、第i行乘以非零的k倍、将第i行的k倍加到第j行上去所得到的初等矩阵，则有

1E(i,j)?1?E(i,j),E(i(k))?1?E(i())，E(i,j?i(k))?1?E(i,j?i(?k)).

k对于列变换的情形有类似的结果。

8．设n阶矩阵A与B等价,则必有

(A)当|A|?a(a?0)时,|B|?a.(B)当|A|?a(a?0)时,|B|??a.

(C)当|A|?0时,|B|?0.(D)当|A|?0时,|B|?0.[]对A通过一系列初等变换后得矩阵B,则A,B等价.因此矩阵A与B等价的充要条件是:r(A)?r(B)或存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=B.

由于当|A|?0时,r(A)?n,又A与B等价,故r(B)?n,即|B|?0,应选(D).

9.设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第

?110???2列得C，记P??010?，则

?001???（Ａ）C?PAP.（Ｂ）C?PAP.

?1?1（Ｃ）C?PAP.（Ｄ）C?PAP.由题设可得

TT?110??1?10??110??1?10?????????B??010?A,C?B?010???010?A?010?，

?001??001??001??001??????????1?10????1?1而P??010?，则有C?PAP.故应选（Ｂ）.

?001???10.设矩阵A=(aij)3?3满足A?A，其中A是A的伴随矩阵，A为A的转置矩阵.若a11,a12,a13为三个相等的正数，则a11为

*T*T(A)

13.(B)3.(C).(D)

333.[]

题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：

AA*?A*A?AE..

**由A?A及AA?AA?AE，有aij?Aij,i,j?1,2,3，其中Aij为aij的

*T代数余子式，且AA?AE?AT2?A?A?0或A?1

23而A?a11A11?a12A12?a13A13?3a11?0，于是A?1，且a11?3.故正确选项3为(A).

涉及伴随矩阵的问题是常考题型，只需注意到两个重要思路：一是用行列展开定理，另一是用公式：AA?AA?AE.

11．设A是m?n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则

(A)r?r1．(B)r?r1．(C)r?r1．(D)r与r1的关系由C而定．

利用左乘或右乘可逆矩阵不改变被乘矩阵的秩即得结果．

由B=AC知r1?秩(A)?r,又B?AC两边同时右乘C，得A?BC，于是r?秩(B)?r1，从而有r?r1．

?1?1**

12．设矩阵

?k?1A???1??11k1111k11?1??1??k?且秩(A)=3，则k=.

由A的秩为3知，A的行列式一定为零，从而可解出参数k.不过应当注意的是若由A?0得到的参数不唯一，则应将参数代回去进行检验，以便确定哪一个为正确答案，由于使得A?0只是必要条件而非充分条件。

由题设秩(A)