代数结构（非作业部分的课后习题答案）

本文格式为Word版，下载可任意编辑——代数结构（非作业部分的课后习题答案）第四章代数结构

P86：

8、（1）a*b=a*a2=a2*a=b*a；

同理可证b*c=c*b和c*d=d*c；

a*c=a*b2=a*a4=a*(a*a*a*a)=(a*a)*(a*a)*a=b2*a=c*a同理可证b*d；

a*d=a*c2=a*b4=a*a8=(a*a)*(a*a)*(a*a)*(a*a)*a=b4*a=c2*a=d*a

综三所证，对任意x,y?A，都有x*y=y*x成立，故*是可交换运算。

10、(Z＋,×)，其中Z+为正整数集，×为普通乘法运算，幺元为1。×运算在Z+上封闭，×运算可结合、可交换。除幺元1外，代数系统(Z＋,×)中每个元素都没有逆元。11、

证明：由于?k可交换，故只需证明：任选a,b,c?Nk，都有：

a?k(b?kc)=(a?kb)?k(a?kc)和(b?kc)?ka=(b?ka)?k(c?ka)成立

b?c])?k[kkb?ca?(b?c)b?c])?k[?a[]]=a?(b?c)?ak[kkkb?ca?(b?c)b?cb?c]?k[]?ak[](由于a[]为整数)=a?(b?c)?ak[kkkka?(b?c)]=a?(b?c)?k[ka?k(b?kc)=a?(b?c?k[

a?(b?c?k[b?c])k]

(a?kb)?k(a?kc)

abac])?(ac?k[])abackk]=(ab?k[])?(ac?k[])?k[kkkacab(ab?ac)abac?([]?[])]=(ab?ac)?(k[]?k[])?k[kkkkk(ab?k[=(ab?ac)?(k[数)

acab(ab?ac)abacabac]?k[])?k[]?k([]?[])(由于[]和[]是整kkkkkkk(ab?ac)]ka(b?c)]=a(b?c)?k[k=(ab?ac)?k[=a?k(b?kc)

又由?k是可交换运算可知:

(b?kc)?ka=a?k(b?kc)=(a?kb)?k(a?kc)=(b?ka)?k(c?ka)

故?k对?k可分派.

P87：

*)的同构映射f为：14、(A,*)到(A,○

f(e)=e，f(b)=c,f(a)=a,f(c)=b；或者f(e)=e，f(b)=c,f(a)=b,f(c)=a；

15.(N5,?5)的所有自同构映射为f1、f2、f3和f4，其中f1(k)=k,k?N5；

f2(0)=0，f2(1)=4，f2(2)=3，f2(3)=2，f2(4)=4；f3(0)=0，f3(1)=3，f3(2)=1，f3(3)=4，f3(4)=2；f4(0)=0，f4(1)=2，f4(2)=4，f4(3)=1，f4(4)=3；

16、(N5,?5)的所有自同构映射为f1和f2，其中f1(k)=k,k?N5；

f2(0)=0，f2(1)=1，f2(2)=3，f2(3)=2，f2(4)=4；

17、由f的定义可知：

a3a?b])f(a?6b)=f(a?b?6[6=a?b?6[f(a)=(a(mod3))＝a?3[]，故

a?b]?3[6a?b?6[3a?b]6]a?b]6]

=a?b?6[a?b]?3[6a?b?6[3a?ba?ba?b]?3[?2[]]636a?b]=a?b?3[3abf(a)?3f(b)=(a?3[])?3(b?3[])

33ab(a?3[])?(b?3[])ab33]=(a?3[])?(b?3[])?3[333ab(a?b)ab?([]?[])]=(a?b)?3([]?[])?3[33333ab(a?b)ab?([]?[])]=(a?b)?3([]?[])?3[33333a?b]=a?b?3[3=a?b?6[=f(a?6b)

19、不妨设?为（A,*）的零元，假设f(?)=?’，下面证明?’是代数系统(B,?)的零元。

任选b?B，由f是满同态可知：存在a?A，使得f(a)=b.故，?’?b=f(?)?f(a)=f(?*a)=f(a)=b；而且，b??’=f(a)?f(?)=f(a*?)=f(a)=b;因此，?’为代数系统(B,?)的零元。结论得证。

20、(N4,?4)的所有自同态映射为：f1(k)=k,k?N4；

f2(0)=0，f2(1)=3，f2(2)=2，f2(3)=1；f3(0)=0，f3(1)=2，f3(2)=0，f3(3)=2；f4(0)=0，f4(1)=0，f4(2)=0，f4(3)=0；

P96:

1、(1)(3)(4)(5)不是半群，都不满足结合律。(2)是半群。

2、(1)和(2)为独异点。

(3)和(4)不是独异点，由于没有幺元。

4、（{0,2,4},?4）是不含幺元的有限半群。

5、({0,2,4,6},?8),({0,4},?8)是(N8,?8)的两个子半群。

6、(N4,?4)的所有子独异点为：(N4,?4),({0},?4),({0,2},?4)。

8、({1,4,6},?10),({1,2,4,6,8},?10),({1,2,4,5,6,8,9},?10),({1,2,3,4,5,6,7,8,9},?10)

9、0?62=2?60=0?A;0?64=4?60=0?A;2?64=4?62=2?A;2?62=4?A;4?64=4?A;0?60=0?A;因此，?6在A上封闭并且4为(A,?6)中的幺元。显然，由(N6,?6)是独异点可知：?6可结合。

故(A,?6)是独异点，但由于(N6,?6)的幺元为1，与(A,?6)的幺元不同，故(A,?6)不是(N6,?6)的子独异点。

10、满足条件的同态映射f为：f(0)=0,f(1)=1,f(2)=3,f(3)=0,f(4)=1，f(5)=3。

P105：

12、证明:不妨设e是(G,*)的幺元。

-1-1-1-1-1

由于(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*a=e；

-1-1

故b*a是a*b的逆元。

-1-1

由题目条件可知：a*b也是a*b的逆元。

-1-1-1-1

故b*a=a*b。

-1-1

进而(a*b)*(a*b)=e

-1-1-1-1

而(b*a)*(a*b)=b*(a*a)*b=e；

-1-1-1-1

故(a*b)*(a*b)=(b*a)*(a*b),右乘(b*a)可得：a*b=b*a。

4222222

14、(a*b)=(a*b)*(a*b)=b*a*b*a；

而由条件，

444

(a*b)=b*a；

442222

故b*a=b*a*b*a；

2-12-1

上式左乘(b)和右乘(a),故2222

b*a=a*b；

而由题目条件，可知：

222

(a*b)=(a*b)*(a*b)=a*b；

22

即(a*b)*(a*b)=a*b；

-1-1

将上式左乘a和右乘b，可得：b*a=a*b；

故(G,*)是交换群。

15、证明：由于(G,*)是群，

故(G,*)中只有一个等幂元e，即a*a?a,b*b?b。而在*的运算表中，每行元素都不同，并且a*e=a,故

a*a=b,b*b=a，a*b=a,b*a=b,进而,

33

a=a*a*a=a*b=e,b=b*b*b=b*a=e命题得证。

16、证明：由于(G,*)是群，故G中每个元素都有逆元。

-1-1

下面证明：若x?y,则x?y。

-1-1

假设x?y,但是x=y

-1-1

则有：x*x=x*y=e,这与群的性质：每行元素都不一致矛盾，故

-1-1

若x?y,则x?y。

不妨设G-{e}中共有n对不同的互逆元素：xi和yi,1?i?n。

假设对所有1?i?n，都有xi?yi,则G中共有2n+1个元素，这与(G,*)是偶阶群矛盾，故存在1?k?n，使得xk=yk。

-1

因此xk=xk,故xk*xk=e，命题成立。

17、证明：*1到?4的同构映射：

f(e)=0;f(a)=1;f(b)=3;f(c)=2;*2到?4的同构映射：

g(e)=0;g(a)=2;g(b)=1;g(c)=3;

18、解：（先求互逆元素，再将互逆元素对应起来）

?6到?7的同构映射：

f(0)=1;f(3)=6;f(1)=2;f(5)=4;f(2)=3;f(4)=5;

P112：

4、由于偶数+偶数＝偶数，故+运算对E集合具有封闭性。因此(E,+)是(Z,+)的子群。5、0是(N7,?7)的幺元。

0的阶数是1；1、2、3、4、5、6的阶数都是7；

6、(N17-{0},?17)中

1的阶数为1；2的阶数为8；3的阶数为16；4的阶数是4；5的阶数是16；6的阶数是16；

7的阶数为16；8的阶数为8；9的阶数为8；10的阶数为16；11的阶数为16；12的阶数为16；13的阶数为4；14的阶数为16；15的阶数为8；16的阶数为2；

2

(N17-{0},?17)的所有2阶子群：({16