第一二章拉压剪切

材料力学中南大学土木工程学院1第一章绪论§1.1材料力学的任务1、研究杆件在外力作用下破坏的规律破坏—断裂或塑性变形3、解决结构设计安全可靠与经济合理的矛盾2、研究杆件的强度条件、刚度条件和稳定性条件强度—构件抵抗破坏的能力；刚度—构件抵抗变形的能力；稳定性—构件维持原有平衡形式的能力。材料力学中南大学土木工程学院2§1.3变形体的性质及基本假设可变形固体弹性(可恢复)

弹性变形塑性(不能恢复)

塑性变形

微观上看，材料是不连续、不均匀的，也是各向异性的。在宏观上，可以认为材料是连续、均匀的，部分工程材料是各向同性的。一、建立理想弹性体模型的必要性变形材料力学中南大学土木工程学院3二、材料力学基本假设1、连续性假设—材料连续无孔隙2、均匀性假设—材料各处性质相同3、各向同性假设—任意方向材料性质相同4、小变形假设—变形远小于构件尺寸

便于用变形前的尺寸和几何形状进行计算Fd1d2

位移d远小于构件的最小尺寸，所以通过节点平衡求各杆内力时，把支架的变形略去不计。计算得到很大的简化。材料力学中南大学土木工程学院4一、构件基本形式§1.4～§1.5研究对象及变形形式材料力学中南大学土木工程学院5主要几何因素横截面、轴线二、材料力学的研究对象等截面杆和变截面杆直杆曲杆材料力学中南大学土木工程学院61、轴向拉伸和压缩三、杆件变形的基本形式材料力学中南大学土木工程学院72、剪切材料力学中南大学土木工程学院83、扭转材料力学中南大学土木工程学院9F1=F2时(从而亦有FA=FB)车轴的AB部分不受剪切——纯弯曲而车轴的外伸部分既受弯又受剪——横力弯曲4、平面弯曲材料力学中南大学土木工程学院10烟囱(压缩+横力弯曲)齿轮传动轴(扭转+水平面内横力弯曲+竖直面内横力弯曲)厂房吊车立柱(压缩+纯弯曲)

工程中常用构件在荷载作用下，大多为几种基本变形形式的组合——组合变形材料力学中南大学土木工程学院11§1.6内力截面法一、内力F1F3F2Fn假想截面F1F2F3Fn分布内力附加内力—由外力引起，连续分布的内力。材料力学中南大学土木工程学院12F1F2F3Fn分布内力内力：⑴使物体平衡（整体，任意局部）⑵与变形有关

内力—通常指横截面上附加内力向截面内形心简化所得主矢和主矩在三个坐标轴方向的分量。（共六个）材料力学中南大学土木工程学院13内力主矢与内力主矩F1FRF3MF1FnF3F2内力分量（简称内力）MM1MxFRFNFS材料力学中南大学土木工程学院14

二、截面法—求内力的基本方法F1F3F2FnF1F2F3Fn将所求内力的截面用假想平面截成两半，利用任意一半的平衡条件求出该截面内力。材料力学中南大学土木工程学院15应力—分布内力在一点的集度。

即单位面积上的内力。F1F2F3Fn一、应力的概念§1.7应力和应变材料力学中南大学土木工程学院16yxzF1

F2

F3DADFDFNDFS正应力切应力垂直于截面的应力称为正应力。以拉应力为正，压应力为负。位于截面内的应力称为切(剪)应力

。以绕隔离体顺时针转动为正，反之为负。材料力学中南大学土木工程学院17全应力

全应力在工程中用处不大，一般用其两个分量。即正应力s

和切应力t。

工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，通常“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始，因此，有必要区别并定义应力概念。应力单位：Pa1Pa=1N/m2常用单位：MPa1MPa=1N/mm2

=106PaGPa1GPa=103MPa材料力学中南大学土木工程学院18注意事项1、讲一点的应力，应讲是哪一个截面上的应力；

不同截面上的应力不一定相同2、讲应力应注意讲是哪一点的应力；

同截面不同点的应力不一定相同3、讲一点的应力，通常应同时考虑正应力s

和切应力t。

正应力和切应力引起的破坏不同材料力学中南大学土木工程学院19变形二、位移的概念

尺寸改变形状改变线位移——

一点空间位置的改变。单位：m，mm角位移——

一面方位的改变。单位：rad变形引起位移描述一点处变形程度的两个量。线应变

e

——

一点在某方向上单位长度的改变，与正应力对应。切应变

g

——过一点两互相垂直截面角度的改变，与切应力对应。三、应变的概念材料力学中南大学土木工程学院20dxuu+dug=a+b(直角改变量)sxdxsxsxsxttttttba材料力学中南大学土木工程学院21注释线应变

e

——简称应变与点的位置有关；与x

的方向有关(因此有ex

,ey

,ez

)；伸长变形为正，反之为负；无量纲。切应变g

——角应变

与点的位置有关；与垂直两边的方位有关；

(因此有g

xy

,gyz

,gzx

)

无量纲。材料力学中南大学土木工程学院22结论与讨论

材料力学研究杆件的强度、刚度、稳定性问题，因此其研究对象为变形体，不再是刚体。

1、应注意适用于刚体的概念、原理和方法，用于变形体时是否适用，如静力等效等。

2、内力是附加内力的主矢分量和主矩分量，它由外力引起，与变形有关，应满足平衡方程。

3、计算内力的基本方法为截面法，其原理为局部平衡，应注意一般用截面法计算内力。

4、应力是强度计算的基本参数，应注意两种应力（正应力s和切应力t）点的概念，面的概念，注意其单位的规范写法（MPa）。材料力学中南大学土木工程学院23

5、构件受力发生变形，卸载后消失的变形称为弹性变形，不能消失的变形称为塑性变形，一般构件只允许发生弹性变形。

6、应变是描述变形的基本参数，应注意两种应变（正应变e和切应变g）点的概念，方向的概念，它们都是无量纲的量。

7、解决强度问题和刚度问题分两步走，第一步解决四种基本模型的应力和变形计算，第二步解决复杂状态的强度和变形计算问题材料力学中南大学土木工程学院24请判断下列简化在什么情形下是正确的，什么情形下是不正确的。FABC力沿作用线移动FABC力平行作用线移动FABCFABCM材料力学中南大学土木工程学院25FF轴向拉伸FF轴向压缩第二章轴向拉伸和压缩轴向荷载——荷载作用线位于杆轴线上。轴向拉伸(轴向压缩)受力特点——外力全部为轴向荷载。变形特点——轴向伸长或缩短。§2.1概述FFFF材料力学中南大学土木工程学院26材料力学中南大学土木工程学院27材料力学中南大学土木工程学院28截面法步骤：截断，取半，画内力，平衡SFx=0FN－F=0∴FN=FFFFFN§2.2轴力轴力图

一、轴力——拉压杆的内力注意按“设正法”画内力，拉力为正，压力为负。无论取左半和取右半计算内力，结果是一样的。mmFFFFN材料力学中南大学土木工程学院29定义——内力主矢的法向分量求法——截面法。步骤：截开，取半，画内力，平衡大小=截面任一侧所有外力的代数和正负号——拉力为正，压力为负（离开截面）单位——N，kN轴力——FN二、轴力图F1F2F3F4112233目的：表达轴力沿轴线分布的规律方法：画几何图像横坐标——杆的轴线；纵坐标——轴力材料力学中南大学土木工程学院30＋－○○102010FN图

(KN)解：1、各段轴力计算

FN1=10kN，FN2=－10kN，FN3=－20kN2、作轴力图作图示杆的轴力图10kN20kN10kN20kN221133轴力图要求1、与杆平行对齐画；2、标明内力的性质（何种内力）；3、正确画出内力沿轴线的变化规律；4、标明内力的正负号；5、注明特殊截面的内力数值；6、标明内力单位。材料力学中南大学土木工程学院31观察变形（外表）§2.3拉压杆的应力已知轴力求应力，这是静不定问题，需要研究变形才能解决。变形假设（内部）应变分布应力分布思路应力表达式一、横截面上的应力1、变形特点FF材料力学中南大学土木工程学院32

纵线——仍为直线，平行于轴线横线——仍为直线，且垂直于轴线2、平面假设杆件的任意横截面在杆件受力变形后仍保持为平面，且与轴线垂直。3、应变分布由平面假设，轴向应变分布是均匀的。FFFFN合成得材料力学中南大学土木工程学院334、应力分布由均匀性假设，横截面上的应力也是均匀分布的，即各点应力相同。材料力学中南大学土木工程学院34∴5、应力公式由平衡关系，横截面上

t

=0

因此，拉压杆横截面上只存在正应力。sdA静力学力系合成关系FsFNsA

缓慢变化的变截面杆的正应力为材料力学中南大学土木工程学院35解：(1)

轴力计算取节点A分析FN2=－FN1cos450=－100kN已知杆1横截面面积A1=1000mm2，杆2横截面面积A2=20000mm2，F=100kN。求各杆横截面的应力。450

CF21BAAFFN2FN1450xySFy=0FN1sin450－F=0SFx=0－FN1cos450－FN2=0(2)应力计算由力三角形可以直接得到以上结果！材料力学中南大学土木工程学院36二、斜截面上的应力

拉压杆横截面上没有切应力，只有正应力，斜截面上是否也是这样？Fapa设横截面面积为A，横截面上正应力为s=FN/A=F/A

。则斜截面面积为Aa=A/cosa，内力为Fa=F。斜截面上全应力为pa=Fa/Aa=Fcosa

/A=scosa。将斜截面上的全应力分解为正应力sa和切应力ta

，则sa=pa

cosa=s

cos2a

ta=pasina

=scosasina

=ssin2a/2asataFapa材料力学中南大学土木工程学院37ⅰa

=0

，

samax=s

，

ta=0ⅱa

=450

，

sa=s/2，

tamax=s/2

ⅲa=900

，

sa=0，

ta

=0

可见，斜截面上既有正应力，也有切应力。Fss30t30s45t45s60t60材料力学中南大学土木工程学院38结论与讨论1、拉压杆横截面上的内力只有轴力，因此，横截面上只存在正应力，没有切应力。2、拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的，即s

=FN/A3、杆的斜截面上一般既有正应力，又有切应力。正应力最大值位于横截面上，数值为s；切应力最大值在与轴线成450角的截面上，数值为s

/2。材料力学中南大学土木工程学院39§2.6材料在拉压时的力学性质力学性质—又称机械性质，指材料在外力作用下表现出的破坏和变形等方面的特性。目的—确定材料破坏和变形方面的重要性能指标，以作为强度和刚度计算的依据。方法—试验。一、拉伸试验和压缩试验1、目的：测定材料拉压时的力学性质2、试件：标距l，

l=10d，

l=5d（圆)材料力学中南大学土木工程学院40材料力学中南大学土木工程学院413、设备：全能试验机材料力学中南大学土木工程学院424、加载方式和记录：静荷载——由零开始，缓慢增加，至终值后数值不再变化。记录荷载F与伸长Dl的关系。材料力学中南大学土木工程学院43低碳钢拉伸试验——拉伸图材料力学中南大学土木工程学院44二、低碳钢拉伸时的力学性质1、低碳钢的拉伸（含碳量0.3%以下）明显的四个阶段①弹性阶段obsp－比例极限②屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力）③强化阶段ce（恢复抵抗变形的能力）④局部径缩阶段efseOabspsbse－弹性极限seacssss－屈服极限esb－强度极限f材料力学中南大学土木工程学院45特点：变形是完全弹性的特征应力：比例极限

p

弹性极限

e①弹性阶段比例阶段：s

≤sp胡克定律（Hooke）s=EeE——弹性模量，单位：Pa=N/m2，常用1GPa=109Pa几何意义：s

—e

图比例阶段斜率；物理意义：材料抵抗弹性变形的能力。seOspseaab

p

比例极限

e

弹性极限材料力学中南大学土木工程学院46滑移线：方位—与轴线成450原因—最大切应力机理—晶格滑移②屈服阶段特点：材料失去抵抗变形的能力—屈服(流动)特征应力：屈服极限ssQ235钢ss=235MPaseOspseaab

p

比例极限

e

弹性极限

s

屈服极限ssc材料力学中南大学土木工程学院47③强化阶段特点：应变硬化材料恢复变形抗力，s—e

关系非线性，滑移线消失，试件明显变细。特征应力：强度极限sbseOspseaab

p

：

比例极限

e

：弹性极限

s

：屈服极限

b

：

强度极限sscesb材料力学中南大学土木工程学院48④颈缩阶段（局部变形阶段）特征：颈缩现象断口：杯口状seOspseaab

p

比例极限

e

弹性极限

s

屈服极限

b

强度极限sscesbf颈缩材料力学中南大学土木工程学院49名义应力：s=F/A

；名义应变：e

=Dl/lA——初始横截面面积；l——原始长度(标距)。克服拉伸图的尺寸效应画的应力—应变图2、应力—应变图（s—e图）seOabspsbseacssef比例极限sp弹性极限se屈服极限ss

强度极限sb3、特征应力材料力学中南大学土木工程学院504、卸载定律及冷作硬化①弹性范围内卸载、再加载②过弹性范围卸载、再加载

即材料在卸载过程中应力和应变是线性关系，这就是卸载定律。

d点卸载后，短期内再加载，应力应变关系沿卸载时的斜直线变化。

材料的应力应变关系服从胡克定律，即比例极限增高，伸长率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。seOabspsbseacssefdhd'f

'材料力学中南大学土木工程学院51⑴断后伸长率（延伸率）d⑵断面收缩率yQ235钢y=60%5、塑性指标塑性材料：d

>5%脆性材料：d

<5%Q235钢：d=20～30%

铸铁：d

<

0.5%l1材料力学中南大学土木工程学院52eeepes根据卸载定律，一点线应变e由两部分组成：弹性应变ee和塑性应变ep

；

e

=ee+ep

材料力学中南大学土木工程学院53锰钢16锰钢退火球墨铸铁玻璃钢三、其他塑性材料拉伸塑性材料的共同特点只有一个，那就是断后伸长率大于5%。问题：对无明显屈服阶段的塑性材料如何确定强度指标？seO材料力学中南大学土木工程学院54名义屈服极限s0.2

卸载后塑性应变等于0.2％时的应力值。

0.2ep=0.2%es材料力学中南大学土木工程学院55不宜受拉！四、铸铁拉伸1、强度极限低；

sb=110～160MPa2、非线性；近似用割线代替3、无屈服，无颈缩；4、d<0.5%；5、平断口。材料力学中南大学土木工程学院56材料力学中南大学土木工程学院57低碳钢钢材压缩试验无意义!五、材料压缩1、材料常数E，sp

se，ss与拉伸相同；2、测不出sb；3、试件呈鼓状。材料力学中南大学土木工程学院58压拉铸铁1、sb高于拉伸；（接近4倍）2、d

大于拉伸；（接近5%）3、E与拉伸不同；4、斜断口。

可制成受压构件材料力学中南大学土木工程学院59铸铁压缩破坏断口铸铁压缩破坏

试样沿着与横截面大致成50°－55°的斜截面发生错动而破坏。材料力学中南大学土木工程学院60六、几种非金属材料的力学性能1、混凝土压缩时的力学性能使用标准立方体(150mm)试块测定端面润滑时的破坏形式端面未润滑时的破坏形式材料力学中南大学土木工程学院61

压缩强度sb及破坏形式与端面润滑情况有关。以s－e曲线上s=0.4sb的点与原点的连线确定“割线弹性模量”。压缩强度远大于拉伸强度。

混凝土的标号系根据其压缩强度标定，如C20混凝土是指经28天养护后立方体强度不低于20MPa的混凝土。材料力学中南大学土木工程学院62

木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。如认为木材任何方面的力学性能均可由顺纹和横纹两个相互垂直方向的力学性能确定，则又可以认为木材是正交各向异性材料。

松木在顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的s

－e曲线如图。2、木材拉伸和压缩时的力学性能

木材的横纹拉伸强度很低(图中未示)，工程中也避免木材横纹受拉。木材的顺纹拉伸强度受木节等缺陷的影响大。材料力学中南大学土木工程学院63

材料名称

牌号许用应力/MPa

轴向拉伸轴向压缩低碳钢低合金钢灰口铸铁混凝土混凝土红松（顺纹）Q23516MnC20C3017023034－540.440.66.4170230160－200710.310常用材料的许用应力约值

(适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆）材料力学中南大学土木工程学院64blEA—抗拉(压)刚度b1l1FF§2.4轴向拉压时的变形1、轴向变形

绝对变形：Dl=l1－l

胡克定律：当s

≤sp

时s=Ee材料力学中南大学土木工程学院65ld1d2FFdxxdA(x)对小锥度变截面杆

微段变形

整个杆变形FNxFNxdxdx+D(dx)EA材料力学中南大学土木工程学院66

对于等截面杆件，通常其抗拉刚度EA为常数，则可简化计算如下：=EA轴力图面积杆件纵向（轴向）变形通用公式2、横向变形n——泊松比（Poissonratio)

n=0～0.5e'——横向线应变e——轴向线应变当s

≤sp

时材料力学中南大学土木工程学院67D点的位移为：图示等直杆的横截面积为A、弹性模量为E，计算D点的位移。aaaFq=F/aABCD解：作轴力图，然后计算出每段杆的变形，再将各段杆的变形相加即可得出D点的位移。也可用总的轴力图面积除以抗拉刚度EA即为D的位移。轴力图面积为Fa。FFFN图+－材料力学中南大学土木工程学院68解：由静力平衡知，AB、BC两段的轴力均为FN=F一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截面面积A1=400mm2，BC段的横截面面积A2=250mm2，材料的弹性模量E=210GPa。试求AB、BC段的伸长量和杆的总伸长量。F=40kN

C

BAB'C'l1=300l2=200故AC杆的总伸长材料力学中南大学土木工程学院693、拉压结构某点位移的计算①解除该节点处销钉的约束，计算各杆在各轴力作用下的伸长或缩短；

②各杆伸长或缩短后，在杆端作杆的垂线；

(即以切线代弧线)③各杆端垂线的交点为该节点变形后的位置；

④由几何关系确定该节点的位移。(也可确定水平或铅直位移)

材料力学中南大学土木工程学院70解：

1、内力计算取节点A，由平衡方程解得2、各杆变形计算由对称性，A点位移至A'点仍位于对称面上，两杆变形量相等，设为Dl。由胡克定律问题：Dl与fA

是什么关系？

图示结构F，a

均已知，①和②两杆EA，l相同，求A点的位移。FaABC①②aFaAFN2aFN1A'DlfA材料力学中南大学土木工程学院71aABC①②aDlfAA'A''3、A点位移fA由图中几何关系（↓）材料力学中南大学土木工程学院72解：1、计算各杆件的轴力，受力如图。2、根据胡克定律计算杆的变形①杆伸长②杆缩短AF300FN1FN2图示结构，已知斜杆AB长2m，横截面面积为200mm2，水平杆AC的横截面面积为250mm2。材料的弹性模量E=200GPa，荷载F=10kN。求节点A的位移。300ABCF①②材料力学中南大学土木工程学院733、节点A的位移（以切线代弧线）①杆伸长②杆缩短300ABCF①②AF300FN1FN2A1A2A'A''A1A2A''AA3A4材料力学中南大学土木工程学院74①

强度失效由于断裂或屈服引起的失效。§2.7拉压杆的强度计算1、材料的失效形式失效—由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能的现象。②

刚度失效由于过量的弹性变形引起的失效。③

失稳失效由于平衡形态的突然转变而引起的失效。材料力学中南大学土木工程学院75④

疲劳失效由于交变应力的作用，初始裂纹不断扩展而引起的脆性断裂。⑤

蠕变失效在一定的温度和应力作用下，应变随时间的增加而增加，最终导致构件失效。⑥

松弛失效在一定的温度作用下，应变保持不变，应力随时间的增加而降低，从而导致构件失效。材料力学中南大学土木工程学院76极限应力

0ss或s0.2

塑性材料

0=sb脆性材料工作应力不允许达到极限应力！2、两种强度失效形式3、强度指标（1）屈服（2）断裂材料力学中南大学土木工程学院774、安全因数（系数）⑴计算误差，计算简图与实际结构的差异；⑵荷载估计误差；⑶材料缺陷；⑷制造工艺误差；⑸耐久性要求；⑹考虑强度储备。上述因素要求选择安全因数n材料力学中南大学土木工程学院786、强度条件smax—最大工作应力解决三类问题

强度校核

截面设计

确定许可荷载5、许用应力材料力学中南大学土木工程学院79解：1、求支座约束力FBy

考虑结构的整体平衡并利用其对称性图示三铰屋架中，均布荷载的集度q=4.2kN/m，钢拉杆直径d=16mm，许用应力[s]=170MPa。试校核拉杆的强度。ACB1.42m8.5m9.3m0.4m

qFAx

FAy

材料力学中南大学土木工程学院80取分离体如图并考虑其平衡2、求钢拉杆的轴力3、求钢拉杆的应力并校核强度故钢拉杆的强度是满足要求的。AC1.42m4.25m4.65m

qFAyFCyFCxFN材料力学中南大学土木工程学院81解：取分离体如图FA

FN

已知F=16kN，[s]=120MPa。选择图示桁架的钢拉杆DI的直径d。ACB4m6

3=18mFFFFFDEGHIJKLFmmF3m3mACIHFN

"FN

'材料力学中南大学土木工程学院82由杆件的强度条件得由于圆钢的最小直径为10mm，故取d=10mm。F'N

F"N

FA

FN

F3m3mACIH材料力学中南大学土木工程学院83

SFx

=0FN2sin450－FN1sin300=0

SFy

=0FN1cos300＋FN2cos450－F=0

解得FN1=0.732F，FN2=0.518F解：1、内力计算A1=pd12/4=706.9mm2

A2=pd22/4=314mm22、计算[F]由得已知杆①和②的直径分别为d1=30mm，

d2=20mm，许用应力[s

]=160MPa。求许可荷载[F]。②①ACB450300F取节点A分析

FN1A450300FFN2材料力学中南大学土木工程学院84∴[F]=97kN由得不正确！①、②杆不是同时达到许用值！下列解法是否正确？

[F]=[s]A1cos300＋[s]A2cos450FN1A450300FFN2材料力学中南大学土木工程学院85解：危险截面：底面(轴力最大)横截面面积为：桥墩总重为：轴向变形为：

石桥墩高度l=10m，顶面受轴向压力F=3000kN，材料许用压应力[s]C=2MPa，弹性模量E=8GPa，容重r

=3kN/m3，按照等直杆设计截面面积和石料重量，并计算轴向变形。l=12mF=3000kNxr材料力学中南大学土木工程学院862、拉压杆强度条件：讨论：二者有何异同？4、小变形情况下，计算节点位移可以用切线代替圆弧线，这样既使计算简化，又能满足精度要求。总结与讨论1、材料的强度指标：ss或s0.2

塑性材料sb脆性材料3、胡克定律的两种形式：s=Ee材料力学中南大学土木工程学院87§2.8应力集中与圣维南原理一、应力集中的概念几何形状不连续处局部应力数值较高的现象，称为“应力集中”

现象。局部数值较高的应力称为“局部应力”。材料力学中南大学土木工程学院88应力集中因数形状尺寸的影响：尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。应尽量避免

工程中常见的油孔、沟槽、轴肩、螺纹等均发生构件尺寸突变，突变处将产生应力集中现象。材料力学中南大学土木工程学院89应力集中对强度的影响：理想弹塑性材料制成的杆件受静荷载时荷载增大进入弹塑性极限荷载弹性阶段材料力学中南大学土木工程学院90（1）塑性材料——有屈服阶段可不考虑。（2）脆性材料——组织不均匀，外形不敏感，可不考虑；组织均匀，对外形敏感，应考虑。应力集中对工程的影响材料力学中南大学土木工程学院91圣维南原理：等效力系只影响荷载作用点附近局部区域的应力和应变分布。FFFF问题：两杆横截面的正应力分布是否相同？二、圣维南（Saint-Venant）原理材料力学中南大学土木工程学院92如果把物体一小部分边界上的面力变换为静力等效的面力，那么，近处的应力有显著改变，但远处应力所受的影响可以不计。圣维南原理材料力学中南大学土木工程学院93一、静定静不定概念

1、静定问题——仅用静力平衡方程就能求出全部未知力，这类问题称为静定问题.

实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。2、静不定问题——仅用静力平衡方程不能求出全部未知力，又称超静定问题。实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。简单超静定问题§6.1～§6.2概述及拉压静不定问题材料力学中南大学土木工程学院943、静不定次数：未知力数目与平衡方程数目之差，也是需要补充的方程数目。未知力：4个平衡方程：2个静不定次数=4－2=2需要补充2个方程此结构可称为2次静不定结构材料力学中南大学土木工程学院955、多余约束力：多余约束提供的约束力。

静不定次数=多余约束力数目4、多余约束：结构保持静定所需约束之外的约束，若没有这些约束结构也能保持一定的几何形状。(静定)材料力学中南大学土木工程学院96二、拉压静不定问题的解法

1、判断静不定次数；

2、列静力平衡方程；

3、列几何方程：反映各杆变形之间的几何关系(变形协调方

程)，具体问题具体分析，一般通过“变形几何图”列方程。

特别注意：力与变形相对应！！

（即杆件的伸长或缩短必须与受力图的杆件的拉压对应）

4、列物理方程：变形与力的关系；

5、列补充方程：物理方程代入几何方程即得补充方程。

材料力学中南大学土木工程学院972Dl2=Dl1+Dl32(Dl2+Dl1)=Dl3+Dl12(Dl2+Dl3)=Dl1+Dl3几何方程图示静不定结构，可列如右变形图。F刚体aa123（a）∆l1∆l2∆l3（b）∆l1∆l2∆l3（c）∆l1∆l2∆l3材料力学中南大学土木工程学院98还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。对应受力图FFN1FN2FN3（b）FFN1FN2FN3（c）FFN1FN2FN3（a）（a）∆l1∆l2∆l3（b）∆l1∆l2∆l3（c）∆l1∆l2∆l3材料力学中南大学土木工程学院99Dl3Dl2FABCD300300①②③l图示支架承受力F作用，①杆的抗拉刚度为EA，②杆的抗拉刚度为1.5EA，③杆的抗拉刚度为2EA。求各杆的轴力。解：平衡方程为AFFN1FN2FN3变形协调方程ADl1300300300300300化简得材料力学中南大学土木工程学院100物理关系为代入变形协调方程得补充方程联立平衡方程求得求拉压静不定结构注意事项内力假设与变形假设应一致。内力假设受拉，变形只能假设伸长。内力假设受压，变形只能假设缩短。材料力学中南大学土木工程学院101OAB为刚性梁，写几何方程。llF450①②OABlllFa①②OABlbCOAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。Dl1Dl2Dl1材料力学中南大学土木工程学院102aaF450①②OABOAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。Dl1Dl2解：变形协调关系即由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联立求出两杆轴力，再求应力后得结果。小技巧材料力学中南大学土木工程学院103内力按刚度比分配。思考：静定结构是否也是这样？刚度较大内力较大静不定结构的特点（1）FABCDFABC刚度增加内力不变材料力学中南大学土木工程学院104静不定结构的特点（2）

——装配应力ABCABCD静定结构

——无装配应力静不定结构？——产生装配应力材料力学中南大学土木工程学院105解：因制造误差，装配时各杆必须变形，因此产生装配内力。一次静不定问题。几何方程：Dl1＋Dl2

/cosq=d平衡方程：FN2=FN3FN1－2FN2cosq=0

已知三根杆EA相同，1杆有制造误差d，求装配后各杆的应力。dq123lABCDqDl1Dl2FN1AFN3FN2qq物理方程代入几何方程得变形协调方程，结合平衡方程求得物理方程：注意1杆变形计算时用l材料力学中南大学土木工程学院106装配应力是不容忽视的，如：d/l=0.001，E=200GPa，q=30°

s1=113MPa，s2=s3=－65.2MPa

正确注意：1杆伸长，只能是拉