电工学A 第4章正弦交流电路

第4章正弦交流电路4.2正弦量的相量表示法4.3单一参数的交流电路4.1正弦电压与电流4.7交流电路的频率特性＊4.6复杂正弦交流电路的分析与计算4.8功率因数的提高4.5阻抗的串联与并联4.4电阻、电感与电容元件串联的交流电路＊4.9非正弦周期电压和电流1.理解正弦量的特征及其各种表示方法；2.理解电路基本定律的相量形式及阻抗；

熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法，会画相量图；3.掌握有功功率和功率因数的计算,了解瞬时功率、无功功率和视在功率的概念；4.了解正弦交流电路的频率特性，串、并联谐振的条件及特征；5.理解提高功率因数的意义和方法。本章要求

4.1正弦电压与电流正弦量：随时间按正弦规律做周期变化的量。Ru+_

_

_iu+_正弦交流电的优越性：

便于传输；易于变换便于运算；有利于电器设备的运行；.....正半周负半周Ru+_设正弦交流电流：角频率：决定正弦量变化快慢幅值：决定正弦量的大小幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。初相角：决定正弦量起始位置

Imi04.1.1周期、频率与角频率周期T：变化一周所需的时间（s）角频率：（rad/s）频率f：（Hz）T*无线通信频率：

30kHz~30GMHz*电网频率：我国50Hz，美国

、日本60Hz*高频炉频率：200~300kHz*中频炉频率：500~8000HziO4.1.2幅值与有效值有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。幅值：Im、Um、Em则有交流直流幅值必须大写,下标加m。同理：有效值必须大写

均方根值

给出了观察正弦波的起点或参考点。

:4.1.3初相位与相位差

相位：

注意：交流电压、电流表测量数据为有效值交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值初相位：

表示正弦量在t=0时的相位角。

反映正弦量变化的进程。iO如：若电压超前电流

两同频率的正弦量之间的初相位之差。相位差

：ui

电流滞后电压

uiωt0电流超前电压电压与电流同相

电流超前电压

电压与电流反相uiωtui

Ouiωtui90°OuiωtuiOωtuiuiO②不同频率的正弦量比较无意义。

①两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时起点的选择无关。注意:tO4.2正弦量的相量表示法瞬时值表达式前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。波形图

１.正弦量的表示方法重点必须小写相量uO2.正弦量用旋转有向线段表示ω设正弦量:若:有向线段长度=ω有向线段以速度

按逆时针方向旋转则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。有向线段与横轴夹角=初相位u0xy0O+j+1Abar03.正弦量的相量表示设A为复数，其表示形式有:(1)代数式A=a+jb复数的模复数的辐角实质：用复数表示正弦量式中:(2)三角式由欧拉公式:可得:

(3)指数式

设正弦量:相量:表示正弦量的复数称相量电压的有效值相量(4)极坐标式相量表示:相量的模=正弦量的有效值

相量辐角=正弦量的初相角电压的幅值相量①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。注意:？=②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。相量的模=正弦量的最大值

相量辐角=正弦量的初相角或：③相量的两种表示形式

相量图:

把相量表示在复平面的图形相量式:⑤相量的书写方式

模用最大值表示，则用符号：

实际应用中，模多采用有效值，符号：如：已知则或④只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。可不画坐标轴，参考相量画在水平方向。旋转90°因子：⑥“j”的数学意义和物理意义设相量+1+jo相量乘以，将逆时针旋转90°，得到相量乘以，将顺时针旋转

90°，得到

落后于超前落后？解:(1)相量式(2)相量图例1:

将u1、u2

用相量表示+1+j例2:已知有效值I=16.8A求：解:例3:图示电路是三相四线制电源，已知三个电源的电压分别为：试求uAB，并画出相量图。NCANB+–++-+–––解:

(1)用相量法计算：

(2)相量图由KVL定律可知1.电压与电流的关系设②大小关系：③相位关系：u、i

相位相同根据欧姆定律:①频率相同相位差：相量图4.3单一参数的交流电路Ru+_相量式：4.3.1.电阻元件的交流电路2.功率关系(1)瞬时功率

p：瞬时电压与瞬时电流的乘积小写结论:

（耗能元件）,且随时间变化。piωtuOωtpOiu瞬时功率在一个周期内的平均值大写(2)平均功率(有功功率)P单位:瓦（W）PRu+_ppωtO注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。

基本关系式：①频率相同②U=IL

③电压超前电流90

相位差1.电压与电流的关系4.3.2电感元件的交流电路设：+-eL+-LuωtuiiO或则:感抗(Ω)电感L具有通直阻交的作用直流：f=0,XL=0，电感L视为短路定义：有效值:交流：fXL感抗XL是频率的函数可得相量式：电感电路复数形式的欧姆定律相量图超前根据：则：O2.功率关系(1)瞬时功率(2)平均功率

L是非耗能元件储能p<0+p>0分析：瞬时功率

：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0p<0放能储能放能电感L是储能元件。iuopo结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。可逆的能量转换过程用以衡量电感电路中双向能量交换的规模。用瞬时功率达到的最大值表征，即单位：var(3)无功功率Q瞬时功率

：例1:把一个0.1H的电感接到f=50Hz,U=10V的正弦电源上，求I，如保持U不变，而电源

f=5000Hz,这时I为多少？（2）当f=5000Hz时所以电感元件具有通低频阻高频的特性解：(1)当f=50Hz时例2：一只L=20mH的电感线圈，通以的电流。求：(1)感抗XL;(2)线圈两端的电压u;(3)有功功率和无功功率。解：电流与电压的变化率成正比。

基本关系式：1.电流与电压的关系①频率相同②I=UC

③电流超前电压90

相位差则：4.3.3电容元件的交流电路uiC+_设：iuiu或则:容抗（Ω）定义：有效值所以电容C具有隔直通交的作用XC直流：XC，电容C视为开路交流：f容抗XC是频率的函数可得相量式则：电容电路中复数形式的欧姆定律相量图超前O由2.功率关系(1)瞬时功率uiC+_(2)平均功率Ｐ由C是非耗能元件瞬时功率

：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0充电p<0放电+p>0充电p<0放电po所以电容C是储能元件。结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。uiou,i同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。(3)无功功率Q单位：var为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设则：单一参数电路中的基本关系小结参数LCR基本关系阻抗相量式相量图单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图(参考方向)阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设则u、i同相0LC设则则u领先i90°00基本关系+-iu+-iu+-设u落后i90°讨论交流电路、与参数R、L、C、

间的关系如何？U=IR+IXL

+I

X

C?直流电路两电阻串联时4.4RLC串联的交流电路设：RLC串联交流电路中RLC+_+_+_+_设：则(1)瞬时值表达式根据KVL可得：为同频率正弦量1.电流、电压的关系4.4RLC串联的交流电路RLC+_+_+_+_(2)相量法设（参考相量）则总电压与总电流的相量关系式RjXL-jXC+_+_+_+_1)相量式令则

Z的模∣Z∣表示u、i的大小关系，辐角（阻抗角）

为u、i的相位差。Z

是一个复数，不是相量，上面不能加点。阻抗复数形式的欧姆定律注意根据电路参数与电路性质的关系：阻抗模：阻抗角：当XL>XC时，

>0，u超前i呈感性当XL<XC时，

<0，u滞后i呈容性当XL=XC时，

=0，u.

i同相呈电阻性

由电路参数决定。2)相量图(

>0感性)XL

>

XC参考相量电压三角形(

<0容性)XL

<

XCRjXL-jXC+_+_+_+_(

=0阻性)XL

=XC2)相量图由阻抗三角形：电压三角形阻抗三角形由电压三角形可得:2.功率关系储能元件上的瞬时功率耗能元件上的瞬时功率在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。(1)瞬时功率设：RLC+_+_+_+_(2)平均功率P（有功功率）单位:W总电压总电流u与i的相位差cos

称为功率因数，用来衡量对电源的利用程度。(3)无功功率Q单位：var总电压总电流u与i的相位差根据电压三角形可得：电阻消耗的电能根据电压三角形可得：电感和电容与电源之间的能量互换(4)视在功率S电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：V·A注：SN＝UNIN称为发电机、变压器等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。

P、Q、S都不是正弦量，不能用相量表示。阻抗三角形、电压三角形、功率三角形SQP将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形R例1：已知:求:(1)电流的有效值I与瞬时值i;(2)各部分电压的有效值与瞬时值；(3)作相量图；(4)有功功率P、无功功率Q。在RLC串联交流电路中，解：(1)(2)方法1：方法1：通过计算可看出：而是(3)相量图(4)或或(4)呈容性方法2：相量计算解：例2：已知:在RC串联交流电路中，解：输入电压(1)求输出电压U2，并讨论输入和输出电压之间的大小和相位关系；(2)当将电容C改为20μF时，求(1)中各项；(3)当将频率改为4000Hz时,再求(1)中各项。RC+_+_方法1：(1)大小和相位关系比超前方法2：相量计算设：方法3：相量图设：（3）大小和相位关系比超前从本例中可了解两个实际问题：(1)串联电容C可起到隔直通交的作用(只要选择合适的C，使

)(2)RC串联电路也是一种移相电路，改变C、R或f都可达到移相的目的。思考RLC+_+_+_+_1.假设R、L、C已定，电路性质能否确定？阻性？感性？容性？2.RLC串联电路的是否一定小于1？3.RLC串联电路中是否会出现，的情况？4.在RLC串联电路中，当L>C时，u超前i，当L<C时，u滞后i，这样分析对吗？正误判断：？？？？在RLC串联电路中，

？？？？

？？？？？

？设4.5阻抗的串联与并联4.5.1阻抗的串联分压公式：一般注意：+-++--+-通式:解：同理：++--+-例1:有两个阻抗它们串联接在的电源;求:和并作相量图。或利用分压公式：注意：相量图++--+-下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？思考两个阻抗串联时,在什么情况下:成立。U=14V?U=70V?(a)3

4

V1V26V8V+_68

30V40V(b)V1V2+_4.5.2阻抗并联分流公式：对于阻抗模一般注意：+-+-通式:例2:解:同理：+-有两个阻抗它们并联接在的电源上;求:和并作相量图。相量图注意：或思考下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？两个阻抗并联时,在什么情况下:成立。I=8A?I=8A?(c)4A4

4A4

A2A1(d)4A4

4A4

A2A1思考+-2.图示电路中,已知则该电路呈感性,对不对?1.图示电路中,已知A1+-A2A3电流表A1的读数为3A,试问(1)A2和A3的读数为多少?(2)并联等效阻抗Z为多少?正弦交流电路的分析和计算若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗（

)表示，则直流电路中介绍的基本定律、定理及各种分析方法在正弦交流电路中都能使用。相量形式的基尔霍夫定律相量（复数）形式的欧姆定律

电阻电路纯电感电路纯电容电路一般电路有功功率P=UIcos

有功功率等于电路中各电阻有功功率之和，或各支路有功功率之和。无功功率等于电路中各电感、电容无功功率之和，或各支路无功功率之和。无功功率Q=UIsin

或或视在功率S=UI一般正弦交流电路的解题步骤1、根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变)2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图3、用相量法或相量图求解4、将结果变换成要求的形式例1：已知电源电压和电路参数，电路结构为串并联。求电流的瞬时值表达式。一般用相量式计算:分析题目：已知:求:+-解：用相量式计算+-同理：+-例2：下图电路中已知：I1=10A、UAB=100V，求：总电压表和总电流表

的读数。解题方法有两种：(1)用相量(复数)计算(2)利用相量图分析求解分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数求总电流和电压AB

C1VA求：A、V的读数已知：I1=10A、

UAB=100V，解法1:

用相量计算所以A读数为10安AB

C1VA即：为参考相量，设：则：V读数为141V

求：A、V的读数已知：I1=10A、

UAB=100V，AB

C1VA解法2:利用相量图分析求解设为参考相量,由相量图可求得：I=10A求：A、V的读数已知：I1=10A、

UAB=100V，超前1045°AB

C1VAUL=IXL

=100VV

=141V由相量图可求得：求：A、V的读数已知：I1=10A、

UAB=100V，设为参考相量,1001045°10045°AB

C1VA由相量图可求得：解：RXLXC+–S例3：已知开关闭合后u，i同相。开关闭合前求:(1)开关闭合前后I2的值不变。RXLXC+–S(2)用相量计算∵开关闭合后u，i同相，由实部相等可得由虚部相等可得设:解：求各表读数例4:图示电路中已知:试求:各表读数及参数R、L和C。(1)相量计算+-AA1A2V

(2)相量图根据相量图可得：求参数R、L、C+-AA1A2V方法1：方法3：45

方法2：例5：图示电路中,已知:U=220V,ƒ=50Hz,分析下列情况:(1)S打开时,P=3872W、I=22A，求：I1、UR、UL(2)S闭合后发现P不变，但总电流减小，试说明

Z2是什么性质的负载？并画出此时的相量图。解:

(1)S打开时:+-S+(2)当合K后P不变I减小,说明Z2为纯电容负载相量图如图示:方法2:+-S+例6：RZab-jXC+–acb已知Zab为感性负载。求:解：例7：RC移相电路，C=0.01μF今欲使输出电压u2在相位上前移60°，问应配多大的R？输出电压U2=?解：C+–i

u1

u2+–R

uc+–例8：负载1：40W、cos

1=0.5的日光灯100只，负载2：100W的白炽灯40只。已知：U=220V。求:电路的总电流I

和总功率因数cos

。U=220∠0°V

=36.4A

I1=P1

Ucos

1=18.2A

I2=P2

Ucos

2Z1=R1+jXL

Z2=R2[解法一]设:I=48.15A，cos

=cos40.9°=0.756Z1Z2+－ＵII2I1则:I1=36.4∠－60°A，I2=18.2∠0°AI=I1+I2=48.15∠－40.9°A解：[解法二]

P=P1+P2=40×100+100×40=8000W

Q=Q1+Q2=P1tan

1+P2tan

2

=40×100tan60o+0=6928.2varI=cos

=0.756SU=48.15A则:PS==10583V·A

S=√P2+Q2Z1Z2+－ＵII2I1同第2章计算复杂直流电路一样,支路电流法、结点电压法、叠加原理、戴维宁等方法也适用于计算复杂交流电路。所不同的是电压和电流用相量表示，电阻、电感、和电容及组成的电路用阻抗或导纳来表示，采用相量法计算。下面通过举例说明。4.6复杂正弦交流电路的分析与计算试用支路电流法求电流I3。+-+-例1:图示电路中，已知解：应用基尔霍夫定律列出相量表示方程代入已知数据，可得：+-+-解之，得：应用叠加原理计算上例。例2:解:(1)当单独作用时同理（2）当单独作用时+-+-+-++-=应用戴维宁计算上例。例3:解：(1)断开Z3支路，求开路电压+-+-+-(2)求等效内阻抗+-+-(3)4.7交流电路的频率特性前面几节讨论电压与电流都是时间的函数,在时间领域内对电路进行分析,称为时域分析。本节主要讨论电压与电流是频率的函数；在频率领域内对电路进行分析,称为频域分析。相频特性:电压或电流的相位与频率的关系。幅频特性:电压或电流的大小与频率的关系。当电源电压或电流（激励）的频率改变时，容抗和感抗随之改变，从而使电路中产生的电压和电流（响应）的大小和相位也随之改变。频率特性或频率响应：研究响应与频率的关系滤波电路主要有：

低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。(1)电路4.7.1滤波电路

滤波：即利用容抗或感抗随频率而改变的特性,对不同频率的输入信号产生不同的响应,让需要的某一频带的信号通过,抑制不需要的其它频率的信号。输出信号电压输入信号电压1.低通滤波电路均为频率的函数C+–+–R(2)传递函数（转移函数）电路输出电压与输入电压的比值。设:C+–+–R则:频率特性幅频特性：

相频特性：(3)特性曲线

0

0

10.7070频率特性曲线

0

0当

<

0时,|T(j

)|变化不大接近等于1；当

>

0时,|T(j

)|明显下降,信号衰减较大。0.707

0

01一阶RC低通滤波器具有低通滤波特性

0

0

10.7070C+–+–R通频带：

把

0<

0的频率范围称为低通滤波电路的通频带。

0称为截止频率(或半功率点频率、3dB频率)。频率特性曲线通频带：0<

0截止频率:

0=1/RCC+–+–R

0

00.707

0

012.高通滤波电路(1)电路(2)频率特性（转移函数）CR+–+–幅频特性：

相频特性：(3)频率特性曲线10.707

0

000

当

<

0时,|T(j

)|较小，信号衰减较大；当

>

0时,|T(j

)|变化不大，接近等于1。一阶RC高通滤波器具有高通滤波特性通频带：

0<

截止频率:

0=1/RC

0

0

00.70713.带通滤波电路(2)传递函数(1)电路RRCC+–+–输出信号电压输入信号电压幅频特性：相频特性：频率特性设：3.3频率特性曲线00

0

1

2

0

0

01/30RRCC+–+–

0RC串并联电路具有带通滤波特性由频率特性可知在

=

0频率附近,|T(j

)|变化不大接近等于1/3;当

偏离

0时,|T(j

)|明显下降,信号衰减较大。通频带：当输出电压下降到输入电压的70.7%处，(|T(j

)|下降到0.707/3时),所对应的上下限频率之差即：△

=(

2-

1)仅当时，与同相，U2=U1/3为最大值，对其它频率不会产生这样的结果。因此该电路具有选频作用。常用于正弦波振荡器。4.7.2谐振电路在同时含有L和C的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的双向交换，电路呈电阻性。串联谐振：L

与C

串联时u、i同相并联谐振：L

与C

并联时u、i同相研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危害。谐振的概念：同相由定义，谐振时：或：即谐振条件：谐振时的角频率串联谐振电路（1）谐振条件1.串联谐振RLC+_+_+_+_（2）谐振频率根据谐振条件：或电路发生谐振的方法：1)电源频率f一定，调参数L、C使fo=f；（2）谐振频率2)电路参数LC一定，调电源频率f，使f=fo或：（3）串联谐振特征1)

阻抗最小可得谐振频率为：当电源电压一定时：2)电流最大电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗，和