2023年中考复习专题解直角三角形

中考二轮复习之——解直角三角形课标要求1.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角；2.探索勾股定理及其逆定理，并掌握运用它们解决一些简单的实际问题；3.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA、cosA、tanA)；知道30、45、60角的三角函数值；4．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角；5.能用锐角三角函数解直角三角形，并用相关知识解决一些简单的实际问题．知识回顾1．知识脉络直角三角形直角三角形边的关系：勾股定理边角关系：锐角三角函数解直角三角形角的关系：两个锐角互余锐角三角函数的应用2．基础知识(1)勾股定理及其逆定理①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．即：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．②勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．ACB斜边ACB斜边c∠A的对边a∠A的邻边b图71①锐角三角函数的定义如图71，在Rt△ABC中，∠C=90，则sinA==，cosA==，tanA==．sinA、cosA、tanA分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数．②锐角三角函数的取值范围0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0．③各锐角三角函数间的关系sinA=cos(90−A)，cosA=sin(90−A)．④特殊角的三角函数值sincostan3045160⑤使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．(3)解直角三角形①解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角.②解直角三角形的依据角的关系：两个锐角互余；边的关系：勾股定理；边角关系：锐角三角函数；②解直角三角形的常见类型及一般解法Rt△ABC中的已知条件一般解法两边两直角边a，b(1)；(2)由求出∠A；(3)∠B=90−∠A.一直角边a，斜边c(1)；(2)由求出∠A；(3)∠B=90−∠A.一边一锐角一直角边a，锐角A(1)∠B=90−∠A；(2)；(3).斜边c，锐角A(1)∠B=90−∠A；(2)a=c·sinA；(3)b=c·cosA.③实际问题中术语的含义如图72，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．铅垂线铅垂线视线视线水平线仰角俯角图72i=h:lhl图73如图73，坡面的铅垂高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即．坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，有=tan．显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角．④解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度确定答案．例题分析：1.勾股定理与锐角三角函数知识的应用例1在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosA的值为()A．B．C．D．【分析】先画出图形，由于cosA=，故只需求得AC，AB的关系，可利用sinA=先求得BC，AB的关系，再利用勾股定理即可求得．【解】选D．【说明】本题主要是要学生了解三角函数的定义及勾股定理．解决这一类问题，必须熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理的应用，把它们有机地结合起来，因此在复习时要引导学生加强对基础知识的巩固．变式：如图74，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=.

求BC的长和tanB的值．【分析】用正弦的定义即可求得BC，而要求tanB则先要用勾股定理求得AC．BAC图74【解】∵sinA==，AB=10，∴BCBAC图74∵AC=，∴tanB==．【说明】本题是最基本的解直角三角形问题．2.仰角、俯角、方位角、坡角和坡度(或坡比)的概念图761CDBHAE45°60°例1如图761，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，图761CDBHAE45°60°(1)求点B距水平面AE的高度BH；(2)求广告牌CD的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732)【分析】(1)显然在Rt△ABH中，通过坡度的概念求出BH、AH；(2)在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GEDE即可求出宣传牌的高度．【解】(1)如图762，过B作BG⊥DE于G，CDBHAECDBHAE45°60°G图762∵i=tan∠BAH==，∴∠BAH=30.∴BH=AB=5；(2)由(1)得：BH=5，AH=5，∴BG=AH+AE=5+15.在Rt△BGC中，∵∠CBG=45，∴CG=BG=5+15．在Rt△ADE中，∵∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15．∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+515=2010≈2.7m．答：宣传牌CD高约2.7米．【说明】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．图77145°36°52′AEBDC例2如图771，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部图77145°36°52′AEBDC【分析】根据楼高和山高可求出EF，继而得出AF，在Rt△AFC中表示出CF，在Rt△ABD中表示出BD，根据CF=BD可建立方程，解出即可．【解】如图772，过点C作CF⊥AB于点F．设塔高AE=x，由题意得：EF=BECD=5627=29，AF=AE+EF=(x+29)，在Rt△AFC中，∵∠ACF=36°52′，AF=(x+29)，45°36°52′AEBDCF45°36°52′AEBDCF图772在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，AB=x+56，∴BD=AB=x+56.∵CF=BD，∴x+56=x+.解得：x=52.答：该铁塔的高AE为52米．【说明】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，注意利用方程思想求解，难度一般．图78145°60°BCPA东北例3如图78，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，图78145°60°BCPA东北(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号)【分析】(1)过点P作PD⊥AB于点D，设PD=xkm，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列出关于x的方程，解方程即可；(2)过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF=AB=1，再解Rt△BCF，得出BC=BF=．【说明】本题中涉及到方位角的问题，引导学生分析三角形的形状后，通过作高构造直角三角形是解题的关键．这一问题的解决，会让学生进一步感悟到数学知识在现实生活中的广泛应用．变式：1．如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面点A测得点C的仰角为45°，从地面点B测得点C的仰角为60°．已知AB=20m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留根号)．2．如图所示，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里／时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向．问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?3.数形结合思想与转化思想的渗透例3如图751是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部,形成一个斜坡,货物通过斜坡进行搬运．根据经验,木板与地面的夹角为20(即图1052中∠ACB=20)时最为合适,已知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m,木板超出车厢部分AD=0.5m,请求出木板CD的长度．(参考数据：sin20≈0.3420,cos20≈0.9397,精确到0.1m)．AABCD图751图752【分析】在Rt△ABC中,利用∠ACB的正弦即可求得AC的长,进而可得CD．【说明】本题考查学生运用数学知识分析、解决简单实际问题的能力．本题取材于学生熟悉的生活实际,解决这类题目的难度虽不大,但有利于引导学生关注生活中的数学,关注身边的数学,培养他们从实际问题中抽象出数学模型的能力,促进学生形成学数学、用数学、做数学的良好意识变式：1.如图所示，某风景区内有一古塔AB，在塔的北面有一建筑物，冬至日的正午光线与水平面的夹角是30°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD；而在春分日正午光线与地面的夹角是45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C有15米的距离（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度（结果保留根号）2．如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角为60°，铁塔底部B的仰角为45°．已知塔高AB=20m，观察点E到地面的距离EF=35m，求小山BD的高（精确到0.1m，≈1.732）．3．如图所示，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度i=1：，斜坡BD的长是50米，在山坡的坡底处测得铁架顶端A的仰角为45°，在山坡的坡项D处测得铁架顶端A的仰角为60°．（1）求小山的高度；（2）求铁架的高度．（≈1.73，精确到0.1米）

综合演练填空题1．如图1，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC等于6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡AB的长为_______米．2．如图2所示，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于E，则等于（）A．tan∠AEDB．cot∠AEDC．sin∠AEDD．cos∠AED3．如图3，在矩形ABCD中DE⊥AC于E，设∠ADE=a，且cosα=，AB=4，则AD的长为（）A．3B．4．如图．两条宽度为l的带子以角交叉重叠，则重叠部分(阴影部分)的面积是A、sinB．C．D．5．有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6m，下底长为10m，高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是()A．，60°B．，30°C．，60°D．，30°解答题：1．某地某时刻太阳光与水平线的夹角为31°，此时在该地测得一幢楼房在水平地面上的影长为30m，求这幢楼房的高AB．（结果精确到1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）2．为测量某塔AB的高度，在离该塔底部20m处目测塔顶，仰角为60°，目高为1.5m，试求该塔的高度．（精确到0.1m，≈1.7）3．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：，，）（图6）4．某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，图6是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18o，C在BD上，BC＝．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果．（结果精确到）（图6）参考数据：Sin180=0.31,Cos180=0.95,tan180新5．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，∠A的平分线AD=8，求BC，AB．6．两建筑物AB和CD的水平距离为45m，从A点测得C点的俯角为30°，测得D点的俯角为60°，求建筑物CD的高度．7．如图，甲、乙两幢高楼的水平距离BD为90米，从甲楼顶部C点测得乙楼顶部A点的仰角α为30°，测得乙楼底部B点的仰角β为60°，求甲，乙两幢高楼各有多高？（计算过程和结果不取近似值）8．震泽中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆AB的高度．如图所示，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆AB的顶端A的影子落在教学楼前的坪地C处，测得影长CE=2m，DE=4m，BD=20m，DE与地面的夹角为α=30°．在同一时刻，测得一根长为1m的直立竹竿的影长恰为4m．根据这些数据求旗杆AB的高