专题10课题学习最短路径问题（2个知识点2种题型）

专题10课题学习最短路径问题（2个知识点2种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.最短路径问题（重点）知识点2.“造桥选址”问题【方法二】实例探索法题型1.解决最短路径的选址问题题型2.求图形的最小周长问题【方法三】成果评定法【学习目标】能运用“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”探索最短路径问题。能运用“三角形两边之和大于第三边”说明关于最短路径的选址问题的道理。会运用图形的轴对称、平移等变换转化图形，进而利用数学模型解决实际问题。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.最短路径问题（重点）1.垂直线段最短问题动点所在的直线已知型方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。【例1】如图，在锐角三角形中，，，的平分线交于点D，点M、N分别是和上的动点，则的最小值为（

）A． B． C．6 D．5【答案】D【分析】如下图，先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．解：如图，在上取一点E，使，连接，是的平分线，，在和中，，，，，由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，又由垂线段最短得：当时，取得最小值，，，解得，即的最小值为5，故选D．【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键．【变式】如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（）A． B． C． D．【答案】．B【详解】试题分析：在中，，AD是的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时最小，为EC的长，故选B.2.将军饮马问题方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．①两定一动②一定两动③两定两动【例2】如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（

）A．7 B．9 C．10 D．14【答案】A【分析】连接，根据线段垂直平分线性质得，周长，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出，，即可得出答案．【详解】解：如图所示．连接，∵是的垂直平分线，∴，∴周长．连接，∵，点F是的中点，∴，∴．∵，∴，，∴周长的最小值是．故选：A．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据轴对称求线段和最小值等，判断周长的最小值是解题的关键．【变式】如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是．【答案】【分析】分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接，当点M、N在上时，的周长最小．解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，∴；∵点P关于的对称点为D，∴，∴，，∴是等边三角形，∴．∴的周长的最小值．故答案为：．【点拨】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定．作点P关于OA、OB的对称点C、D是解题的关键所在．知识点2.“造桥选址”问题A方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．AMMNN【例3】如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两点间直线距离最短，使EFP'P为平行四边形即可，即P【详解】解：作PP'垂直于河岸l2连接QP'，与另一条河岸相交于F，作FE⊥l则EF∥PP'且∴四边形EFP∴P'根据“两点之间线段最短”，QP'最短，即∴C选项符合题意，故选：C．【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，解题的关键是利用“两点之间线段最短”．【变式】如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条桥梁连接P，Q两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，根据平行线的判定与性质，易证得此时PM+NQ最短.【详解】解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查最短路径问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.【方法二】实例探索法题型1.解决最短路径的选址问题1.如图，直线a是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（

）B．C．D．【答案】C【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．【详解】解：作点M关于直线a的对称点M'，连接M'N交直线a根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短．故选：C．【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．2.如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两点间直线距离最短，使EFP'P为平行四边形即可，即P【详解】解：作PP'垂直于河岸l2连接QP'，与另一条河岸相交于F，作FE⊥l则EF∥PP'且∴四边形EFP∴P'根据“两点之间线段最短”，QP'最短，即∴C选项符合题意，故选：C．【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，解题的关键是利用“两点之间线段最短”．3.如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：故选：D．【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．题型2.求图形的最小周长问题4.如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．（1）若，则的度数是；（2）连接，若，的周长是．①求的长；②在直线上是否存在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并直接写出的最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）50°（2）①6cm②8cm【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；（2）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB＋PC与AC的关系．．【详解】解：（1）若∠B＝70°，∵∴∠ABC=∠ACB=70°∴∠A=180°70°70°=40°∵的垂直平分线交于，∴MN⊥AB∴∠NMA=90°∠A=50°，故答案为：50°；（2）如图：①∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是14cm，∴AC＋BC＝14cm，∴BC＝6cm．②当点P与点M重合时，PB＋CP=AP+PC=AC的值最小，最小值是8cm．故P点为所求，的最小值是8cm．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出PB＝PA．5.如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．（1）见详解；（2）【分析】（1）由等边三角形的性质可知,再利用等量代换可得，最后利用SAS可证全等；（2）由△ABD≌△ACE可知,AD=AE,当四边形ADCE的周长取最小值时,即AD取最小值时，此时AD⊥BC，求出此时BD的值即可得出答案.【详解】（1）∵△ABC是等边三角形∵∠DAE=60°即在和中，（2）∵△ABD≌△ACE∴,AD=AE,∴四边形ADCE的周长为∴当四边形ADCE的周长取最小值时,即AD取最小值时，此时AD⊥BC，【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.6.如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC=70°，则∠MBC的度数是度；（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．（1）30；（2）①BC=6cm；②△PBC周长的最小值为14cm．【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠A，根据线段垂直平分线的性质可求∠MBA，然后用角的和差即可得到结论；（2）①根据线段垂直平分线上的性质可得AM=BM，然后求出△MBC的周长=AC+BC，再代入数据进行计算即可得解；②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°，∵MN垂直平分AB，∴AM=MB，∴∠MBA=∠A=40°，∠MBC=∠ABC∠MBA=30°；故答案为：30°．（2）①由（1）可知，AM=BM，∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，∵AB=8cm，△MBC的周长是14cm，∴BC=14－8=6（cm）；②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，如图，∵MN垂直平分AB，∴PB=PA∴PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14（cm）．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等的性质，熟记并能熟练运用这些性质是解题的关键【方法三】成果评定法一．选择题（共9小题）1．（2022秋•德州期末）如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．10【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．故选：C．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．2．（2022秋•澄迈县期末）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【分析】首先求得点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，即可求得答案．【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM+PN最短，∵M′N与直线l交于点C，∴点P应选C点．故选：C．【点评】此题考查了轴对称﹣最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．3．（2022秋•平舆县期末）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（）A．13 B．14 C．15 D．【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．【解答】解：∵直线m垂直平分BC，∴B、C关于直线m对称，设直线m交AB于D，∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，∴△APC周长的最小值是AB+AC＝6+7＝13．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．4．（2022秋•肇源县期末）如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（）A． B． C． D．【分析】作点A关于l的对出现A′，则OA＝OA′，故此AO+BO＝OA′+OB，然后依据两点之间线段最短的性质解答即可．【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点O，则点O即为所求点．故选：D．【点评】本题主要考查的是轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握轴对称相关的知识是解题的关键．5．（2023春•阜新期中）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝5，AC＝4，BC＝6，则△APC周长的最小值是（）A．9 B．10 C． D．11【分析】根据垂直平分线的性质得BP＝PC，所以△APC周长＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP≥AC+AB＝9．【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，∴BP＝PC∴△APC周长＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP∵两点之间线段最短∴AP+BP≥AB∴△APC的周长＝AC+AP+BP≥AC+AB∵AC＝4，AB＝5∴△APC周长最小为AC+AB＝9故选：A．【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短．做本题的关键是能得出AP+BP≥AB，做此类题的关键在于能根据题设中的已知条件，联系相关定理得出结论，再根据结论进行推论．6．（2022秋•江北区校级期末）如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【分析】作A关于CD的对称点H，由CD是△ABC的角平分线，得到点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，过A作AG⊥BC于G，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．【解答】解：作A关于CD的对称点H，∵CD是△ABC的角平分线，∴点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，过A作AG⊥BC于G，∵△ABC的面积为12，BC长为6，∴AG＝4，∵CD垂直平分AH，∴AC＝CH，∴S△ACH＝AC•HF＝CH•AG，∴HF＝AG＝4，∴AE+EF的最小值是4，故选：B．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE+EF的最小值为三角形某一边上的高线．7．（2023•肇东市校级二模）如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4，CD为△ABC的中线，点E、点F分别为线段CD、CA上的动点，连接AE、EF，则AE+EF的最小值为（）A． B． C．6 D．5【分析】连接BF交CD于点I，连接BE、AI，作BG⊥AC于点G，由等腰三角形的性质得CD⊥AB，则点A与点B关于直线CD对称，所以AE＝BE，AI＝BI，由BE+EF≥BF，BF≥BG，可以证明当点E与点I重合，且BF与BG重合时，AE+EF＝BF＝BG，此时AE+EF的值最小，由×5BG＝×6×4＝S△ABC，求得BG＝，则AE+EF的最小值为，于是得到问题的答案．【解答】解：如图，连接BF交CD于点I，连接BE、AI，作BG⊥AC于点G，∵CD为△ABC的中线，AB＝6，CD＝4，∴AD＝BD＝AB＝×6＝3，∵AC＝BC＝5，∴CD⊥AB，∴点A与点B关于直线CD对称，∴AE＝BE，AI＝BI，∴AE+EF＝BE+EF，∵BE+EF≥BF，BF≥BG，∴当点E与点I重合时，AE+EF＝AI+IF＝BI+IF＝BF，∴当BF与BG重合时，AE+EF＝BF＝BG，此时AE+EF的值最小，∵AC•BG＝AB•CD＝S△ABC，∴×5BG＝×6×4，∴BG＝，∴AE+EF的最小值为，故选：A．【点评】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．8．（2023春•海门市期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）A． B． C．a+b D．a【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小．【解答】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AF＝CF＝a，BF＝b，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，∵CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AM＝AC，∵BF⊥AC，∴FM＝BF＝b，∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，故选：B．【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．9．（2022秋•天山区校级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP＝CD，此时周长最小，根据CD＝5可求出α的度数．【解答】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．∴∠COA+∠DOB＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝OP＝5，∴∠COD＝2α．又∵△PEF的周长＝PE+EF+FP＝CE+EF+FD＝CD＝5，∴OC＝OD＝CD＝5，∴△COD是等边三角形，∴2α＝60°，∴α＝30°．故选：A．【点评】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．二．填空题（共6小题）10．（2022秋•孝南区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，D为AB的中点，P为BC上一动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是6．【分析】作A关于BC的对称点A'，连接A′B，易求∠A＝60°，则PA＝A'P，且△AA'B为等边三角形，AP+DP＝A'P+PD为A'与直线AB之间的连接线段，其最小值为A'到AB的距离＝BC＝6，所以最小值为6．【解答】解：作A关于BC的对称点A'，连接A′B，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵PA＝A'P，∴△AA'B为等边三角形，∴AP+DP＝A'P+PD为A'与直线AB之间的连接线段，∴最小值为A'到AB的距离＝BC＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．11．（2023春•渭南期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是15．【分析】如图，连接PC．求出PA+PB的最小值可得结论．【解答】解：如图，连接PC．∵EF垂直平分线段BC，∴PB＝PC，∴PA+PB＝PA+PC≥AC＝9，∴PA+PB的最小值为9，∴△ABP的周长的最小值为6+9＝15，故答案为：15．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．12．（2023春•管城区期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点G为线段EF上一动点，则△CDG周长的最小值为11．【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CG+GD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝18，解得AD＝9，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CG+GD的最小值，∴△CDG的周长最短＝（CG+GD）+CD＝AD+BC＝9+＝11．故答案为：11．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．13．（2022秋•渭滨区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是10．AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为7．【分析】由垂直平分线的性质可得A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点P，则当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小为AF+FB的长．【解答】解：∵ED是线段AB的垂直平分线，∴A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点P，∵AP＝PB，∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB，当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，∵F为BC边的中点，AB＝AC，∴AF⊥BC，∴S△ABC＝×BC×AF＝10，∵BC＝4，∴AF＝5，∴△PBF周长＝AF+FB＝5+2＝7，∴△PBF周长的最小值为7，故答案为7．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．14．（2023春•遂平县期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别为BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为80°．【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C＝50°，∴∠DAB＝130°，∴∠HAA′＝50°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80°．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．15．（2023春•西峡县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝112°．【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案．【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α，∴∠ADC＝180°﹣α，由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC＝180°﹣（180°﹣34）＝34°∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝34，∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）＝180°﹣68°＝112°故答案为：112°．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．三．解答题（共7小题）16．（2022秋•吉林期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，BC＝20，则△ADE的周长为20．（2）如图③，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，E、P分别是AB、AD上任意一点，若AB＝6，△ABC的面积为30，则BP+EP的最小值是10．【分析】教材呈现：根据“SAS”证明△PCA≌△PCB即可；定理应用：（1）根据线段垂直平分线的性质定理证明AD＝BD，AE＝EC，那么△ADE的周长就转化为BC的长；（2）根据等腰三角形的三线合一性质，可知AD是BC的垂直平分线，所以想到过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点P，此时EP+BP＝CE，EP+CP的值最小．【解答】教材呈现：证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB（SAS），∴PA＝PB；定理应用：解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，∴AD＝BD，AE＝EC，∵△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝20，故答案为：20．（2）过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点P，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴BP＝PC，∴BP+EP＝CP+EP＝CE，此时BP+EP的值最小，在Rt△ABD中，∴△ABC的面积＝AB•CE＝3CE＝30，∴CE＝10，则BP+EP的最小值为10．故答案为：10．【点评】本题考查了轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．17．（2023•老河口市一模）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝70°，则∠MBC的度数是30度；（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．【分析】（1）依据△ABC是等腰三角形，即可得到∠ACB的度数以及∠A的度数，再根据MN是垂直平分线，即可得到MA＝MB，∠MBA＝∠A＝40°，进而得出∠MBC的度数；（2）①依据垂直平分线的性质，即可得到AM＝BM，进而得出△BCM的周长＝AC+BC，再根据AB＝AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，即可得到BC的长；②依据PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，即可得到当P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小，进而得出△PBC的周长最小值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70°，∴∠A＝40°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，∴MA＝MB，∴∠MBA＝∠A＝40°，∴∠MBC＝30°，故答案为：30；（2）①∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴△BCM的周长＝BM+CM+BC＝AM+MC+BC＝AC+BC，∵AB＝AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，∴BC＝14﹣8＝6（cm）；②当P与M重合时，△PBC的周长最小．理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，∴当P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，∴△PBC的周长最小值＝AC+BC＝8+6＝14（cm）．【点评】本题主要考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．18．（2022秋•思明区期末）如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，A′，B′均在网格点上．（1）已知△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请在图上把△ABC和△A′B′C′补充完整：（2）在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（﹣a，b）；（3）在直线l上画出点P，使得PA+PC最短．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可；（3）连接A'C，与直线l交于点P，连接PA，此时PA+PC最短．【解答】解：（1）如图，△ABC和△A′B′C′即为所求；（2）由题意可得，点A′的坐标为（﹣a，b）．故答案为：（﹣a，b）；（3）如图，点P即为所求．【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题、作图﹣轴对称变换、坐标与图形性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．19．（2022秋•启东市期末）如图，B、C两点关于y轴对称，点A的坐标是（0，b），点C坐标为（﹣a，﹣a﹣b）．（1）直接写出点B的坐标为（a，﹣a﹣b）；（2）用尺规作图，在x轴上作出点P，使得AP+PB的值最小；（3）∠OAP＝45度．【分析】（1）根据关于y轴对称的点的特点即可得到结论；（2）如图所示，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于P，点P即为所求；（3）过B作BD⊥y轴于D，D（0，﹣a﹣b），则BD＝﹣a，OD＝﹣a﹣b，由（2）知A与A′关于