【高中数学】2023-2024学年人教A版必修第一册 判断函数单调性的方法教案

《判断函数点的单调性》授课年级高一主备人审核人课题名称判断函数的单调性课型新课授课日期学情分析《函数的单调性与最大（小）值》是高中数学新教材第一册第三章第2节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。学生在初中已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数的图象，在此基础上学生对增减性有一个初步的感性认识，所以本节课是学生数学思想的一次重要提高。函数单调性是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础，对进一步研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，对解决各种数学问题有着广泛作用。学习目标课程目标1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；2、会根据单调定义证明函数单调性；3、理解函数的最大（小）值及其几何意义；4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示函数单调性和最值；2.逻辑推理：证明函数单调性；3.数学运算：运用单调性解决不等式；4.数据分析：利用图像求单调区间和最值；5.数学建模：在具体问题情境中运用单调性和最值解决实际问题。教学重点重点：1、函数单调性的定义及单调性判断和证明；2、利用函数单调性或图像求最值.教学难点难点：根据定义证明函数单调性．教具准备*（辅助工具）教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练教学工具：多媒体函数单调性的判断方法1．定义法证明函数的单调性利用函数单调性的定义证明函数的单调性，其步骤为：（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；（2）作差变形：作差或，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；（3）定号：确定差或的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；（4）下结论：根据定义得出结论．2．小结论2．口诀：增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；

增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数．

【注意】1．借助记忆方法：＋＋＋＝＋；－＋－＝－；＋－－＝＋；－－＋＝－；2．增函数＋减函数单调性未知，所以＋+－=结果未知．3．复合函数“同增异减”若内外层函数单调性相同，则复合函数单调递增；若内外层函数单调性相反，则复合函数单调递减．内外层函数单调性增增相同增增减相异减减增相异减减减相同增【说明】设一个由三层函数复合而成的复合函数，讨论单调性时，先讨论的单调性，再将看成一个内层函数，讨论它与单调性的异同，进而得出复合函数的单调性．简而言之，就是从内层开始，一层一层向外讨论．注意：复合函数的单调性是在复合函数的定义域上讨论的，因此一定要注意复合函数的定义域．复合函数的单调性的判定步骤如下：【说明】如下图，设g(x)为单调递增的函数，则当x1<x2时，有gx令t=g(x)，故t1所以fg(如下图，设g(x)为单调递减的函数，则当x1<x2时，有gx令t=g(x)，故t1所以fg(其他情况，请读者自行证明．抽象函数单调性的推断求抽象函数的单调性通常由两种方法：

（1）“凑”：凑定义或凑已知，从而使用定义或已知得到结论．

（2）“赋值”：给变量赋值，要根据已知的条件与结论的关系，有时要进行多次赋值．若给出的是和型（）抽象函数，判定符号时的变形为，；

若给出的是积型（）抽象函数，判定符号时的变形为，．没有给出具体解析式的函数我们称之为抽象函数．证明抽象函数的单调性常采用定义法．分段函数单调性的推断分段函数在定义域上单调：

（1）应首先满足各分段区间单调递增（或减）；

（2）其次需要满足每个相邻区间分段处左边的函数值比右边的小（或大）