新教材2023-2024学年高中数学第3章圆锥曲线与方程3.1椭圆3.1.2椭圆的简单几何性质课件湘教版选择性必修第一册

第3章3.1.2椭圆的简单几何性质课标要求1.掌握椭圆的简单几何性质,能根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形;2.通过几何条件求出椭圆的标准方程,并利用椭圆的方程研究它的性质、图形.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

学以致用·随堂检测全达标基础落实·必备知识全过关知识点椭圆的简单几何性质标准方程

=1(a>b>0)

=1(a>b>0)图象范围

-b≤x≤b,-a≤y≤a对称性对称轴:x轴和y轴.对称中心:坐标原点顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)

轴长长轴长=2a,短轴长=2b离心率e=(0<e<1)-a≤x≤a,-b≤y≤bA1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)名师点睛

1.如图,过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB|=,称为通径.通径是过椭圆的焦点的所有弦的弦长的最小值.2.椭圆上任意一点P到椭圆的一个焦点F的距离称为焦半径,且|PF|∈[a-c,a+c],特别地,若P(x0,y0)为椭圆

=1(a>b>0)上的任意一点,F1(-c,0),F2(c,0)分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,其中e=.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)椭圆

=1(a>b>0)的长轴长等于a.(

)(2)设F为椭圆

=1(a>b>0)的一个焦点,M为椭圆上任一点,则|MF|的最大值为a+c.(c为椭圆的半焦距)(

)(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.(

)×√×2.观察下图,我们发现,不同椭圆的扁平程度不同,你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗?这个量对椭圆的形状有何影响?重难探究·能力素养全提升探究点一根据椭圆的方程求椭圆的几何性质【例1】已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.分析将椭圆方程化为标准形式,用m表示出a,b,c,再由e=求出m的值,然后依据条件求解.规律方法

研究椭圆几何性质的方法求椭圆的几何性质时,应把椭圆的方程化为标准方程,注意分清楚焦点的位置,这样便于直观地写出a,b的数值,进而求出c,从而方便求出椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标等几何性质.[提醒]长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍.变式训练1已知椭圆C1:

=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C2的标准方程,并研究其性质.(2)椭圆C2:

=1,性质:①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10;②对称性:关于x轴、y轴、原点对称;③顶点:(0,10),(0,-10),(-8,0),(8,0),焦点坐标:(0,6),(0,-6);④离心率:e=.探究点二根据椭圆的几何性质求其标准方程【例2】根据下列条件求椭圆的标准方程:(1)椭圆过点(3,0),离心率e=;(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.分析(1)焦点位置不确定,应分类讨论;(2)结合图形求出a,b,c的值.解

(1)若焦点在x轴上,则a=3,如图所示,△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2上的中线(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b,∴c=b=4,∴a2=b2+c2=32.规律方法

由椭圆的几何性质求其标准方程的方法(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”,即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是:①求出a2,b2的值;②确定焦点所在的坐标轴;③写出标准方程.变式训练2已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且椭圆经过点A(2,0),求椭圆的标准方程.因为椭圆过点A(2,0),所以a=2.因为2a=2×2b,所以b=1.因为椭圆过点A(2,0),所以b=2.因为2a=2×2b,所以a=4.探究点三椭圆的离心率角度1离心率的求法

∴7(a-c)2=a2+b2=a2+a2-c2=2a2-c2,即5a2-14ac+8c2=0,规律方法

求椭圆离心率的方法(1)直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齐次方程,借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e的方程求解.变式训练3已知椭圆C的中心在坐标原点,连接椭圆的长轴的一个端点A和短轴的一个端点B,∠OAB=30°,则椭圆的离心率为

.

解析

如图所示,不妨设椭圆的焦点在x轴上,由条件得∠OAB=30°,OA=a,OB=b,角度2离心率的取值范围的求法

A规律方法

求椭圆离心率的取值范围的两种方法

方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质,如:设P(x0,y0)为椭圆

=1(a>b>0)上一点,则|x0|≤a,a-c≤|PF1|≤a+c等,建立不等关系,或者根据几何图形的临界情况建立不等关系题设条件有明显的几何关系直接法根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系,直接转化为含有a,b,c的不等关系式题设条件直接有不等关系变式训练4D解析

由点P在椭圆上可知|PF1|+|PF2|=2a,结合|PF1|-|PF2|=2b可知|PF1|=a+b.根据a-c≤|PF1|≤a+c可知b≤c,本节要点归纳1.知识清单:椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.方法归纳:根据椭圆的方程求椭圆的几何性质,根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程,定义法求离心率或取值范围.3.注意事项:根据椭圆的方程求其几何性质应将椭圆方程化为标准方程,根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程应先确定焦点的位置,求椭圆的离心率或离心率的取值范围应根据题意准确列出关于a,c关系式或不等式,要注意e∈(0,1).学以致用·随堂检测全达标123456D1234562.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是(

)A123456A1234562591234565.已知椭圆C的最高、最低的点分别为B1,B2,