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中国矿业大学（北京）2011级理学院“大学生创新训练计划”项目研究报告项目名称：高等数学相关问题探讨及研究报告名称：关于高等数学相关问题的研究报告项目类别：□规划□重点■一般所在学院：理学院专业年级：作者：龙纯鹏指导教师:关于高等数学相关问题的研究报告级数的收敛和证明一直是困扰学生的一个难题，无论是正项级数还是幂级数在求解的时候即使知道定义但是不知道解题的技巧也是相当困难的。我学习研究的过程中，理解了一些基本级数的证明，并与小组探讨了一些典型的正项级数习题，如：设为正项级数，满足（1）对n有界（2），要证明级数收敛。要证明正项级数收敛，只要证明，使得有。已知有界，所以，使得（）(i)现任意固定一个，取，于是利用条件（2）以及（i)有（ii）此式对任意皆成立，令，因，故（ii)式成为。由n的任意性，知收敛。这道题中，运用了利用部分和有界来求证级数的收敛。在此基础之上，我还对求缺项幂级数的收敛半径进行学习。如果一个幂级数有无限多个项的系数为零这样的幂级数称为缺项幂级数，对这种幂级数，不能直接用公式．常用方法是：进行变量替换．将原幂级数变为一个无缺项的幂级数．计算出后一幂级数的收敛半径，再根据两变量之间的关系得出原幂级数的收敛半径。例如幂级数，可令，化为幂级数，而幂级数的收敛半径为，从而当时，原幂级数收敛，当时，原幂级数发散，由此推出原幂级数的收敛半径为.级数这方面还存在很多难点，此处仅举两个典型例子。在学习级数的时候，和函数的理解也十分重要，尽管和函数并不存在重要的考点，但学好和函数对于连续和极限的理解会更进一步。我主要研究了和函数的性质。特别地研究求解了一下的问题，在例行的报告上，我们对于这个问题进行了专门的讨论。设（n=1,2，...)在连续，并且，，n=1,2,，，，若在收敛于，去证明在上达到最大值。因为，所以（），因在上连续，所以有上界M，故，（），因此为上上确界存在。假若在上达不到上确界，则由确界定义，可知，使得。利用致密性原理，在有界序列里，必存在收敛的子序列（当时）。可以证明。不然的话，因为上确界，从而使得。因，所以使得。又因连续，所以，当时，有，据（当），对，当时，于是，则可知，故，与已知矛盾，由此得出来以上的结论。通过学习和函数，我发现能有助于自己在极限和连续方面加深理解。在学习完级数这方面的知识之后，接下来的一段时间里，这次我的研究重点放在了可积方面，其中着重探究了Riemann引理。尽管微积分方面我们主要学习积分和求导，可积这部分的内容偏于理论，但是学好这方面的知识无论对于微积分还是极限都有很大的帮助。在小组讨论时，我们针对下面的问题进行了讨论。通过在上可积，以T为周期，在上可积，则证：定义，分别称为的正部和负部。以T为周期，在上可积，故，

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