新教材2023-2024学年高中数学第1章数列1.3等比数列1.3.3等比数列的前n项和第2课时等比数列前n项和的性质及应用课件湘教版选择性必修第一册

第1章1.3.3第2课时等比数列前n项和的性质及应用课标要求1.掌握等比数列前n项和的性质的应用;2.能用等比数列的前n项和解决实际问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升学以致用·随堂检测全达标目录索引

基础落实·必备知识全过关知识点等比数列前n项和的性质

1.若Sn表示数列{an}的前n项和,且Sn=Aqn-A(A,q∈R,且Aq≠0,q≠1),则数列{an}是等比数列.2.若数列{an}是公比为q的等比数列,前n项和为Sn,则①Sn+m=Sn+qnSm.②在等比数列中,若项数为2n(n∈N+),偶数项的和与奇数项的和之比等于公比q,则

=q.③若公比为q≠-1,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等比数列,其公比为qk.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若Sn为等比数列的前n项和,则S2,S4,S6成等比数列.(

)(2)若一个等比数列的前n项和为45,前2n项和为60,则前3n项和为65.(

)2.等比数列前n项和的性质Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等比数列,为什么要求q≠-1?×√提示当公比q=-1时,若k为偶数,则Sk=0.重难探究·能力素养全提升探究点一等比数列前n项和的性质的应用【例1】

(1)在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=

.

分析根据所给题目特征选择运用等比数列前n项和的性质求解.28解析

∵数列{an}是等比数列,且易知公比q≠-1,∴S2,S4-S2,S6-S4也构成等比数列,即7,S4-7,91-S4构成等比数列,∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,∴S4=28.(2)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=

.

2解析

令S奇=a1+a3+…+a2n-1,S偶=a2+a4+…+a2n,由题意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,∴S奇=-80,S偶=-160,∴q==2.(3)若数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k等于

.

解析

∵Sn=3n+1-2k=3·3n-2k,且{an}为等比数列,∴3-2k=0,即k=.规律方法

等比数列前n项和性质的应用技巧(1)若数列{an}为非常数列的等比数列,且其前n项和为Sn=A·qn+B(A,B∈R,A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和为Sn=A·qn-A(A,q∈R,A≠0,q≠0,q≠1),则该数列必为等比数列.(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特别地,如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.变式训练1B解析

设S2=k,S4=3k,k∈R,且k≠0.由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠-1),得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列.又S2=k,S4-S2=2k,∴S6-S4=4k.(2)已知等比数列{an}共有32项,其公比q=3,且奇数项之和比偶数项之和少60,则数列{an}的所有项之和是(

)A.30 B.60C.90 D.120D解析

设等比数列{an}的奇数项之和为S1,偶数项之和为S2,则S1=a1+a3+a5+…+a31,S2=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+a3+a5+…+a31)=3S1.又S1+60=S2,则S1+60=3S1,解得S1=30,S2=90,故数列{an}的所有项之和是30+90=120.探究点二等比数列的前n项和的实际应用【例2】

某企业进行技术改造,有两种方案.甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加0.5万元.两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计息,试比较两种方案,哪种方案净获利更多?(1.0510≈1.629,1.310≈13.786,1.510≈57.665)分析依题意,甲方案每年的获利的增长率相同,因此每年的获利构成等比数列;而乙方案每年获利的增长量相同,因此构成等差数列.可利用这两种模型分别计算两种方案的利润.解

甲方案:十年获利中,每年获利数构成等比数列,首项为1,公比为1+30%,前10项和为S10=1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9.又贷款本息总数为10×(1+5%)10=10×1.0510≈16.29万元,所以甲方案净获利约42.62-16.29=26.33万元.故乙方案净获利约32.50-13.21=19.29万元.比较两方案可得甲方案净获利更多.规律方法

银行存款中单利、复利问题的计算方法

种类模型计算方法单利等差数列本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和公式为S=P(1+nr)复利等比数列本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和公式为S=P(1+r)n变式训练2某家庭打算以一年定期的方式存款,计划从2021年起,每年年初到银行新存入a元,年利率p保持不变,并按复利计算,到2031年年初将所有存款和利息全部取出,共取回多少元?解

设从2021年年初到2030年年初每年存入的a元到2031年年初的本利和组成数列{an}(1≤n≤10).则a1=a(1+p)10,a2=a(1+p)9,…,a10=a(1+p),故数列{an}(1≤n≤10)是以本节要点归纳1.知识清单:等比数列的前n项和的性质.2.方法归纳:利用等比数列的前n项和性质求解等比数列的基本量,利用数学建模求解等比数列问题.3.常见误区:不能正确地使用等比数列的性质;涉及与数列有关的数学问题,不能准确地转化为等比、等差数列问题.学以致用·随堂检测全达标123451.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=p·3n-2,则p等于(

)A.-3 B.3

C.-2 D.2D解析

依题意公比q≠1,所以等比数列{an}的前n项和为

123452.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=(

)A.72 B.81

C.90

D.99B解析

易知公比q≠-1,由等比数列的性质,可得S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,则(S6-S3)2=S3(S9-S6),即(36-9)2=9(S9-S6),解得S9-S6=81,即a7+a8+a9=81.故选B.123453.已知等比数列{an}的公比为2,且其前3项和为3,那么{an}的前6项和等于(

)A.24 B.27

C.31

D.24B解析

设{an}的公比为q,由题意,q=2,a1+a2+a3=3,则a4+a5+a6=q3(a1+a2+a3)=3×23=24,故S6=3+24=27.123454.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若q=2,S100=36,则a1+a3+…+a99等于(

)A.24 B.12

C.18

D.22B解析

记S=a1+a3+a5+…+a99.S100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100)=(a1+a3+…+a99)+q(a1+a3+…+a99)=(1+q)(a1+a3+a5+…+a99).∵S100=36,q=2,∴3S=36,∴a1+a3+a5+…+a99=12.123455.某住宅小区计