角接触球轴承刚度矩阵计算模型

角接触球轴承刚度矩阵计算模型

角接触轴是轴承系统中常用的轴承，其刚性参数对旋转的动态特性有重要影响。为提高轴承-转子系统的动态分析精度,建立了角接触球轴承刚度矩阵计算模型,模型考虑了径向载荷、轴向载荷、球离心力和陀螺力矩的影响。计算了某型发动机角接触球轴承在实际工况中的刚度矩阵,为该型发动机轴承-转子系统的动态分析提供了较为准确的边界条件。1圈产生相对位移角接触球轴承在外载荷F=[Fx,Fy,Fz,Mx,My]T及球离心力和陀螺力矩的共同作用下,使轴承内外圈产生相对位移Δj=[δx,δy,δz,θx,θy]T,如图1所示。在考虑轴承实际运行的基础上建立角接触球轴承力学模型时,作如下假设:(1)轴承受载时,外圈固定,内圈产生刚体位移。(2)轴承所有变形均发生在球上,且变形在球材料弹性范围内。(3)球与沟道之间的弹性接触力与接触变形的关系满足Hertz接触理论。2刚性矩阵理论的导出2.1旋转温度lm根据套圈控制理论,对外圈固定、内圈随轴系运转的角接触球轴承,建立如图2所示坐标系。球的公转速度ωm、自转速度ωb以及各运动量间有如下关系ωm=ω[1+(1+rcosαe)(cosαi+tanβsinαi)(1-rcosαi)(cosαe+tanβsinαe)]-1(1)ωb=-ω[(cosαe+tanβsinαe1+rcosαe+cosαi+tanβsinαi1-rcosαi)⋅rcosβ](2)ωm=ω[1+(1+rcosαe)(cosαi+tanβsinαi)(1−rcosαi)(cosαe+tanβsinαe)]−1(1)ωb=−ω[(cosαe+tanβsinαe1+rcosαe+cosαi+tanβsinαi1−rcosαi)⋅rcosβ](2)式中:ω为轴承内圈转速,rad/s;r=Dw/Dpw;Dw为球直径,m;Dpw为轴承球组节圆直径,m;αe、αi为球与外、内圈间的压力角,rad;β为球的姿态角,rad,且有tanβ=sinαe/(cosαe+r)。2.2球平衡方程在轴承运转中,球承受着多种载荷。在满足工程计算精度的前提下,本例主要考虑球所受的离心力Fc和陀螺力矩Mg。Fc=πρD3wDpwω2m12(3)Μg=Jωmωbsinβ(4)式中:ρ为球的密度,kg/m3;J为球的转动惯量,kg·m2‚J=160ρπD5w。图3为球的受力示意图,根据球上力和力矩的平衡条件,可得第j个球的平衡方程Qejsinαej-Qijsinαij-2ΜgjDwcosαej=0(5)Qejcosαej-Qijcosαij+2ΜgjDwsinαej-Fcj=0(6)式中:Qej、Qij为第j个球与外、内圈间的接触载荷,N;αej、αij为第j个球与外、内圈间的压力角,rad。2.3rad计算的程序固定外圈沟曲率中心为坐标原点A,在xz平面内,轴承沟曲率中心与球的位移变形关系如图4所示。在外载荷作用下,球中心由O移动到O′,内圈沟曲率中心由B移动到B′。根据文献,得以下方程Aaj=Dsinα+δz+R(θxsinϕj+θycosϕj)(7)Arj=Dsinα+δxcosϕj+δysinϕj(8)(Aaj-xaj)2+(Arj-xrj)2-[(fe-0.5)Dw+δij]2=0(9)x2aj+x2rj-[(fi-0.5)Dw+δej]2=0(10)tanαej=xaj/xrj(11)tanαij=(Aaj-xaj)/(Arj-xrj)(12)式中:Arj、Aaj为内圈沟曲率中心最终位置坐标,m;α为球与外圈的初始接触角,rad;D为内、外圈沟曲率中心初始距离,m,且D=(fe+fi-1)Dw;fe、fi为外、内圈沟曲率半径系数;R为球旋转时的中心圆半径,m,且R=Dpw/2+(f2-0.5)Dwcosα;ϕj为第j个球与基准球间的夹角,rad;δej、δij为第j个球与外、内圈间的接触变形,m;αej、αij为第j个球与外、内圈间的实际接触角,rad;xrj,xaj为第j个球中心最终位置坐标,m。根据Hertz接触理论,第j个球与外、内圈间的法向作用力可表示为Qej=KeδejQij=Kiδij(13)式中:Ke、Ki为第j个球与外、内圈间的接触刚度系数,与轴承的结构参数和材料有关。2.4角接触轴承有限元分析根据轴承受力平衡条件,作用在轴承上的外力与所有球对轴承内圈的作用力平衡,可得以下平衡方程[FxFyFz]=n∑j=1Qij[cosαijcosϕjcosαijsinϕjsinαij](14)[ΜxΜy]=12n∑j=1DpwQij[sinαijsinϕjsinαijcosϕj](15)采用Newton-Raphson迭代法对(5)、(6)、(14)和(15)式进行求解,直到满足收敛精度为止,可得角接触球轴承在一定工况下的变形δx,δy,δz,δx,δy等参数。由刚度矩阵的定义,可得角接触球轴承的刚度矩阵K为Κ=[kij]=[∂Fx/∂δx∂Fx/∂δy∂Fx/∂δz∂Fx/∂θx∂Fx/∂θy∂Fy/∂δx∂Fy/∂δy∂Fy/∂δz∂Fy/∂θx∂Fy/∂θy∂Fz/∂δx∂Fz/∂δy∂Fz/∂δz∂Fz/∂θx∂Fz/∂θy∂Μx/∂δx∂Μx/∂δy∂Μx/∂δz∂Μx/∂θx∂Μx/∂θy∂Μy/∂δx∂Μy/∂δy∂Μy/∂δz∂Μy/∂θx∂Μy/∂θy](16)3沟道沟记录运行工况以某型发动机支承轴承为例,根据其实际工况,计算角接触球轴承的刚度矩阵。轴承的结构参数为:轴承内径为190mm,外径为290mm,球直径为28mm,球数28,内、外圈沟道沟曲率半径R分别为14.42mm和14.56mm,初始接触角α为25°。运行工况:F=[15000,18000,35000,100,300]T,内圈转速为1500r/min,外圈静止。计算结果为Κ=[21058002408901625690291101.9420120004901800321.4381.65.90.114.21204.9180