2021年新高考全国I卷数学真题试卷及答案

绝密★启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上,

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.设集合A={x|-2<x<4},8={2,3,4,5},则AA8=

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.已知z=2—i,则zQ+i）=

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

3.已知圆锥的底面半径为近，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为

A.2B.2&C.4D.4&

4.下列区间中，函数/（x）=7sin（x-巴）单调递增的区间是

6

7TTT3冗3

A.（0,；）B.（不冗）C.（K,—）D.（―,2TT）

2222

22

5.已知"，鸟是椭圆C：5+q=l的两个焦点，点加在C上，贝力〃与卜|g|的最大值

为

A.13B.12C.9D.6

.sin0（1+sin20）

6.若tan0=-2,则mi-------------=

sin夕+cos。

八6B.二D.9

A.——C.-

5555

7.若过点（a,份可以作曲线y=e，的两条切线，则

A.eb<aB.e"<bC.0<a<efcD.0<b<

8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次

取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是r,乙表示事件”第二次取出的球

的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的

球的数字之和是7"，则

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.有一组样本数据为,务,…,X,，由这组数据得到新样本数据如必，”，其中

yi=x；+c(z=1,2,•••,n),c为非零常数，则

A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同

10.已知O为坐标原点，点R(cosa,sina),P2(cos/y,-sin夕)，£(cos(a+4),sin(a+4))，

A(l,0),则

A.|西|=|西B.|丽|=|南|

c.o鼠OF\=OP\.OP；D.OAOPt=OP^OPy

11.已知点P在圆(x—5)2+(y—5)2=16上,点A(4,0),3(0,2),则

A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线4?的距离大于2

C.当NPB4最小时，|PB|=3四D.当ZPS4最大时，\PB\=3>/2

12.在正三棱柱ABC—A4cl中，AB=AAt=1,点尸满足8户=%8。+〃8瓦，其中4e[0,l"

/zefOJ],则

A.当2=1时，△AgP的周长为定值

B.当么=1时，三棱锥P-ABC的体积为定值

C.当时，有且仅有一个点P,使得AP，BP

D.当〃=g时，有且仅有一个点尸，使得从8人平面A4P

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数=是偶函数，则〃=.

14.已知O为坐标原点，抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为尸，P为。上一点，P尸与x轴

垂直，。为x轴上一点，且PQ_LOP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.

15.函数/(x)=|2x-l|-21nx的最小值为.

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格

为20dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以得到lOdmx12dm,20dmx6dm两种规

格的图形，它们的面积之和5)=240dm2，对折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,

20dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和S?=180dm:以此类推.则对折4次共

可以得到不同规格图形的种数为;如果对折〃次，那么£&=

k=l

dm2.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

已知数列｛可｝满足4=1,《小=卜+；"然:’

U+2,〃为偶数.

（1）记2=a2n,写出白，b2,并求数列出,｝的通项公式；

（2）求｛可｝的前20项和.

18.（12分）

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类

问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确

则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问

题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，

否则得。分。

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能

正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

19.(12分)

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知从=ac,点。在边AC上,

BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2DC,求cos/AfiC.

20.(12分)

如图，在三棱锥A-88中，平面平面

BCD,AB=AD,O为BC的中点.

(1)证明：ft4±CD；

(2)若△08是边长为1的等边三角形，点E

在棱4)上，DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小

为45。，求三棱锥A-38的体积.

21.(12分)

在平面直角坐标系X。)，中，已知点耳(-而',())，/=；(717,0),点M满足

\MF,\-\MF2\=2.记M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点7在直线x上，过7的两条直线分别交C于A,8两点和P,Q两点，且

\TA\-\TB\^\TP\-\TQ\,求直线他的斜率与直线P。的斜率之和.

22.(12分)

已知函数/(x)=x(l-lnx).

(1)讨论“X)的单调性；

(2)设。，6为两个不相等的正数，且61na-aln/?=a—6,证明：2<1+』<e.

ab

绝密★启用前试卷类型：B

2021年普通高等学校招生全国统一考试

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题

卡右上角”条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答

案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在

试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.设集合A={x|-2c<4},B={2,3,4,5},则AA8=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

【答案】B

2.已知z=2—i,则z(W+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

3.已知圆锥的底面半径为其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()

A.2B.2及C.4D.4>/2

【答案】B

4.下列区间中，函数〃x)=7sin(x-£|单调递增的区间是()

【答案】A

5.已知百，鸟是椭圆C：5+?=1的两个焦点，点M在C上，则眼/讣明用的最大值为

()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

6.若tan”-2,则网一2叽()

sin6+cos。

A.--B.--C.-D.-

5555

【答案】C

7.若过点(a,b)可以作曲线y=e，的两条切线，则()

A.eh<aB.e"<bC.0<a<ehD.0<h<ea

【答案】D

8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次

取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的数

字是2"，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数

字之和是7"，则()

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

【答案】B

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得()分。

9.有一组样本数据西，々，…，x“，由这组数据得到的新样本数据%,丫2,…，然，其中

y=%+c(i=l,2,…,〃)，c为非零常数，贝！I()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

【答案】CD

10.已知O为坐标原点，点4(cosa,sina),鸟(cos/?,-sin/?),

巴(cos(a+£),sin(a+£)),A(l,0),则()

A.网=网B.同=同

C.OAO^=Of>OP2D.丽•西=西西

【答案】AC

11.已知点P在圆(x-5y+(y-5)2=I6上，点A(4,0),8(0,2),则()

A.点尸到直线他的距离小于10

B.点尸到直线他的距离大于2

C.当NP54最小时，|P8|=3应

D.当NP84最大时，|尸8|=3直

【答案】ACD

⑵在正三棱柱A8C-ABC中，=1，点P满足所5=2豆C+〃方瓦，其中

则()

A.当4=1时，AA与P的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥P-ABC的体积为定值

C.当；1=,时，有且仅有一个点P,使得APLBP

2

D.当〃=；时，有且仅有一个点P,使得平面AgP

【答案】BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(力=丁(。2-2-')是偶函数，贝Ua=.

【答案】1

14.已知O为坐标原点，抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为为C上一点，尸尸与x轴

垂直，。为x轴上一点，且PQLOP.若|召。|=6,则C的准线方程为.

【答案】x=--

2

15.函数/(x)=|2x-1卜21nx的最小值为.

【答案】1

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格

为20dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dmxl2dm,20dmx6dm两种规

格的图形，它们的面积之和£=240dm2,对折2次共可以得到5dmxl2dm,

lOdmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和S?=180dm?,以此类

推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折几次，那么

f&=------------------dm2•

hl

【答案】5,720-240.-

2"

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知数列⑷满足4=1,…T篇

[an+2〃为偶数

(1)记2=%〃，写出伪，打,并求数列｛〃｝的通项公式；

(2)求｛〃“｝的前20项和.

【答案】(1)2〃为偶数，

则/向=4“+2，生“+2=%，，+|+1'

・'乌"+2=%"+3，即％=,+3,且4=g=4+1=2,

.••｛〃,｝是以2为首项，3为公差的等差数列，

..4=2,4=5，bn=3/?—1.

(2)当，为奇数时,an=an+[-1,

.,.｛%｝的前20项和为

6Z|+Cl2+•••+。20

=(4+%+•••+%9)+(。2+〃4+•••+020)

=[(a2+-1)+,--+(^20-1)]+(a2+tZ4+…+々2。)

=2(%+%+…+〃2())-1°・

由(1)可知,

etc+%+…+々20=b[+历+…+包)

=2x10+33

2

=155.

.,.{q}的前20项和为2x155—10=300.

18.（12分）

某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,8两类问题.每位参加比赛的同学先在两类

问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答

正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结

束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答

正确得80分，否则得0分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答8类问题的概率为0.6,且能正

确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【答案】（1）X的取值可能为0,20,100,

P（X=0）=l-0.8=0.2,

P（X=20）=0.8x（l-0.6）=0.32,

P（X=100）=0.8x0.6=0.48,

X的分布列为

X020100

p0.20.320.48

（2）假设先答5类题，得分为y,

则y可能为o,so,loo,

p（y=0）=l-0.6=0.4,

p(y=80)=0.6x(l-0.8)=0.12,

p(y=100)=0.6x0.8=0.48,

的分布列为

Y080100

P0.40.120.48

.-.£(y)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6,

由(1)可知E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4,

.-.£(y)>£(x),

应先答B类题.

19.(12分)

记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,已知方=，点。在边AC上,

BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2£)C,求ssZABC.

【答案】

ACAB

(1)在AABC中,①，

sinZABCsinC

BDsinZABC=6/sinC，

•BD=a②，

sinCsinZABC

联立①②得空=丝，即呢=

BDa

•/h2=ac,

BD=b.

(2)若AD=2DC,

2>22

△ABC中，cosC=+7———③，

2-a-b

△BCD中,④，

•.◎④,

(a2+/?2-C2)=3-b2

整理得"+b2-c2=3a2+--3b2，

3

2a2--b1+C1=0,

3

*/b2=ac，

r3

6a2—1\ac+3c2=0,即。=—或a=—c,

32

,•2

若。=一时，b'=ac=r—,

33

则cosZABC=M+c二一"

2ac

3

72

-c

:9

-2）

-r

3

=-（舍），

6

.3130

右〃=—c，b~=ac=­c~

229

则cosZABC=殳+c=”

7

"121

20.(12分)

如图，在三棱锥A-BCZ)中，平面AB£>_L平面8c£),AB=AD,O是8。的中点.

(1)证明：OAVCD-,

(2)若AO8是边长为1的等边三角形，点E在棱4)上，DE=2EA,且二面角

E-BC-O的大小为45。，求三棱锥A—BCD的体积.

(：

【答案】

AZ

A)’

(1)-：AB=AD,O为BD中点,

:.AO±BD,

•.•AOu面ABD,

面ABDI.面38且面面BCD=BD,

.,.AO_L面88,

:.AO±CD.

(2)以O为坐标原点，8为y轴，OA为z轴，垂直C©且过O的直线为x轴,

设0日3°，8(0,—1,0),4(0,0,祖)，

t.,EB=[m\,BC=—,—,0,

I33)t22J

设〃；=(x,,»,zJ为面EBC法向量,

一一42

EBn.=——y.——mz.=0

,133

8."=日%+|y=o

2yt+mz1=0

XI+6y=0

2

y=1,Z|—----，玉=—^3,

m

勺—[―----),

面3c。法向量为。4=(0,0,相)，

:,OA=\,

•q=—xBDxOA=—x2xl=l

…°4ABD22

^A-BCD=^人身)

21.（12分）

在平面直角坐标系xQy中，已知点耳卜J万,0），玛（、/万,0）,点〃满足

用-|M用=2.记M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线x=J上，过T的两条直线分别交C于A,8两点和P,0两点,

2'

S.\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\,求直线AB的斜率与直线尸°的斜率之和.

【答案】（1）•,LITM周=2,

轨迹。为双曲线右半支，？=17,2a=2,

21

a=1fb=16,

x~—=1(x>0).

⑵设T]

设AB：y-n

y-n=kl

联立4

,（16—婷+（婷_2攵]"卜_；左；一外+攵/_]6=0,

k}-2k.n

—k；+n~-k,n+16

41