2021年中考第一次模拟考试《数学卷》含答案解析

数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩

一.选择题（共10小题）

1.-2020的倒数是(

11

A.2020B・土盛D.--------

20202020

2.2020年初全球处于新型冠状病毒引起的巨变之中，中国有2万名以上的医护人员在短时间就集结完毕，他

们是我们心中的“最美逆行者”！其中数据2万用科学记数法表示为（）

A.2X103B.2X104C.0.2X105D.20X103

3.如图，一个几何体由5个大小相同的正方体搭成，则这个立体图形的俯视图是（）

4.“2019武汉军运会”部分体育项目的示意图中是轴对称图形的是（）

A扁4B才C4MD

i2a+3>4

5•不等式组5〃+］。<2。的解集为（）

A.

6.如图，将一张矩形纸片折叠，若Nl=78。，则N2的度数是（)

A.51°B.56°C.61°D.78°

7.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布

置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2.图中各行

从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟

3x+2v=19

悉的方程组形式表述出来，就是，，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（）

x+4y=23

图2)

2x+y=\\2x+y=113x+2y=192x+y=6

4x+3y=274x+3y=22x+4y=234x+3y=27

8.为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了15名同学，结果如表:

每天使用零

花钱（单位：02345

元）

人数14532

关于这15名同学每天使用零花钱的情况，下列说法正确的是（）

A.中位数3元B.众数是5元

C.平均数2.5元D.方差是4

9.如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角它们重叠部分（阴影部分）的

面积是1.5,那么sina的值为（）

3123

A.-B.——C.一D.-

4232

10.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：，犷）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0。＜xW90°）

近似满足函数关系、="2+公+。（“W0）.如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y

的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度可能为（）

C.54°D.58°

二.填空题（共6小题）

11.分解因式：9af-〃）,2=_

12.若某正六边形的边长是4,则该正六边形的边心距为

13.关于x的一元二次方程x?-2x+k-1=0没有实数根，则k的取值范围是_

3

14.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上,顶点A在反比例函数y=-

x

的图像上，则菱形的面积为.

15.某服装商预测--种应季衬衫能畅销市场，就用400（）元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，该服装商又

用9000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量2倍，但单价贵了5元.则该服装商第一

批进货的单价是元.

16.如图，在网格纸中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，点A,B,

C,。均落在格点上，点E是4B的中点，过点E作E尸〃AD,交BC于点尸，作AGLE凡交尸E延长线于

点G,则线段EG的长度是.

三.解答题（共9小题）

17.计算：712+l>/3-2|-2Xcos30°+（y））

18.某商场开业，为了活跃气氛，用红、黄、蓝三色均分的转盘设计了两种抽奖方案，凡来商场消费的顾客

都可以选择一种抽奖方案进行抽奖（若指针恰好停在分割线上则重转）.

方案一：转动转盘一次，指针落在红色区域可领取一份奖品；

方案二：转动转盘两次，指针落在不同颜色区域可领取一份奖品.

（1）若选择方案一，则可领取一份奖品的概率是;

（2）选择哪个方案可以使领取一份奖品的可能性更大？请用列表法或画树状图法说明理由.

19.我校为了了解九年级学生身体素质测试情况，随机抽取了本校九年级部分学生的身体素质测试成绩为样

本，按A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如图不完

整的统计图，请你结合图表所给信息解答下列问题：

（1）请在答题卡上直接将条形统计图补充完整；

（2）扇形统计图中“B”部分所对应的圆心角的度数是°；

（3）若我校九年级共有1500名学生参加了身体素质测试，试估计测试成绩合格以上（含合格）人数.

20.如图，在菱形A8CQ中，对角线AC,8。交于点。，AE_LBC交C8延长线于点E,CF〃AE交AO延长

线于点F.

(1)求证：四边形4ECF是矩形;

(2)连接OE,若AE=12,>40=13,则线段0E的长度是

21.如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60。方向行

驶6千米至8地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达景区C,小明发现景区C恰好在4地的正北方向，

求A,C两地相距多少千米？(结果保留根号)

22.如图，四边形ABCO内接于。。，点。在AB上，BC=CD,过点C作。O的切线，分别交AB,的延

长线于点E,F.

(1)求证：AFLEF；

3

(2)若cos/ZMB==，BE=1,则线段AO的长是

4

23.如图,在平面直角坐标系中，矩形。4BC边。4,0C分别在X轴，y的正半轴上，且0A=8,0c=6,

连接AC,点。为AC中点，点E从点C出发以每秒1个单位长度运动到点。停止，设运动时间为，秒(0

</<6),连接。£,作交OA于点F,连接EF.

(1)当f的值为时，四边形。EOF是矩形；

(2)用含r的代数式表示线段。F的长度，并说明理由;

备用图

24.思维探索：

在正方形ABCD中，AB=4,NE4尸的两边分别交射线CB,DC于点E,F,ZEAF=45°.

(1)如图I,当点E,尸分别在线段BC,CD上时，ACEF的周长是；

(2)如图2,当点E,F分别在CB,OC的延长线上，CF=2时，求△CEF的周长；

拓展提升：

如图3,在Rt^ABC中，NAC8=90°,CA=CB,过点B作连接AO,在8c的延长线上取一点

E,使NED4=30°,连接AE,当BO=2,ZE4D=45°时，请直接写出线段CE的长度.

图1图2图3

25.在平面直角坐标系中，抛物线>="2+公+工叵与x轴分别交于点A(-1,0),B(3,0),点C是顶点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,线段。E是射线AC上的一条动线段(点。在点E的下方)，且£>E=2,点。从点A出发沿着

射线AC的方向以每秒2个单位长度的速度运动，以。E为一边在AC上方作等腰RtaDE凡其中NEDF=

90°,设运动时间为r秒.

①点。坐标是(用含，的代数式表示)；

②当直线BC与△£)£：/有交点时，请求出f的取值范围；

(3)如图2,点P是aABC内一动点，BP=),前M,N分别是AB,BC边上的两个动点，当△「〃代的

2

周长最小时，请直接写出四边形PN8M面积的最大值.

答案与解析

一.选择题（共10小题）

1.-2020的倒数是（）

1

2020

【答案】C

【解析】

【分析】

乘积是1的两数互为倒数.依据倒数的定义回答即可.

【详解】-2020的倒数是-=

2020

故选：C.

【点睛】此题考查的是倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键.

2.2020年初全球处于新型冠状病毒引起的巨变之中，中国有2万名以上的医护人员在短时间就集结完毕，他

们是我们心中的“最美逆行者”！其中数据2万用科学记数法表示为（）

A.2X103B.2X104C.0.2X105D.20X103

【答案】B

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为“Xio”的形式，其中iwiavio,〃为整数.确定”的值时，要看把原数变成〃时,

小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值》10时，〃是正数；当原数的绝

对值＜1时，"是负数

【详解】解：将数据“2万”用科学记数法表示为2X1（/,

故选：B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax1。11的形式，其中上间＜10,n为整

数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.如图，一个几何体由5个大小相同的正方体搭成，则这个立体图形的俯视图是（）

【解析】

【分析】

根据从上边看得到的图形是俯视图.

【详解】解：从上边看第一列是两个小正方形，第二列上层是一个小正方形，第三列上层是一个小正方形,

故选：D.

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图.

4.“2019武汉军运会”部分体育项目的示意图中是轴对称图形的是（）

B

A扁4-畀04MD.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据轴对称图形性质进行判断.

【详解】图A,不是轴对称图形，故排除A；

图B,不是轴对称图形，故排除B；

图C,是轴对称图形，是正确答案；

图D,不是轴对称图形，故排除D；

综上，故本题选C.

【点睛】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对

称图形.

4

5.不等式组I-7n的解集为（）

\5a+10<20

A!------।AB।--------1iA

-11O123-11O123

22

八一1~6-------1--------------n-1■----------------------------------------------------1---------------

C・-110123D--110123

22

【答案】C

【解析】

【分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定

不等式组的解集.

详解】解：解不等式2a+3>4,得：a>~,

2

解不等式5a+10<20,得：a<2,

则不等式组的解集为g<〃<2,

将不等式的解集表示在数轴上如下：

2

故选：C.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取

小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

6.如图，将一张矩形纸片折叠，若Nl=78。，则N2的度数是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据翻折可得，Z2=Z4,根据矩形纸片的对边平行，得Nl=/3=78。，进而可求/2的度数.

【详解】解：如图，

1

根据翻折可知：Z2=Z4,

根据矩形纸片的对边平行，得N1=N3=78。，

AZ2=-（180°-78°）=51。.

2

故选：A.

【点睛】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是掌握翻折的性质.

7.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布

置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2.图中各行

从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟

悉的方程组形式表述出来，就是《，’_,类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（）

x+4y=23

图1)图2)

2x+)=112x+y=113x+2y=192x+y-6

4x+3y=274x+3y=22x+4y=234x+3y=27

【答案】A

【解析】

【分析】

由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10,每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第

二个数是y的系数，第三个数是相加的结果：前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式.

【详解】解：第一个方程x的系数为2,y的系数为1,相加的结果为11；第二个方程x的系数为4,），的系

2x+y=11

数为3,相加的结果为27,所以可列方程为

4x+3y=27

故选：A.

【点睛】本题主要考查的是列二元一次方程组，读懂图意，得到所给未知数的系数及相加结果是解题的关

键.

8.为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了15名同学，结果如表:

每天使用零

花钱(单位：02345

元)

人数14532

关于这15名同学每天使用零花钱的情况，下列说法正确的是()

A.中位数是3元B.众数是5元

C.平均数是2.5元D.方差是4

【答案】A

【解析】

【分析】

分别计算该组数据的众数、平均数、方差及中位数后找到正确答案即可.

【详解】解：；一共有15人，

中位数为第8人所花钱数，

.•.中位数为3元，故A正确；

•••每天使用3元零花钱的有5人，最多，

.•.众数为3元，故B错误；

Oxl+2x4+3x5+4x3+5x2

平均数为:=3,故C错误;

15

方差为：、X[1X(0-3)2+4X(2-3)2+5X(3-3)2+3X(4-3)2+2X(5-3)2]=1.6,故力错误.

故选：A.

【点睛】本题考查了方差、加权平均数、中位数及众数，在解决此类题目的时候一定要细心，特别是求中

位数的时候，首先排序，然后确定数据总个数.

9.如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角它们重叠部分(阴影部分)的

面积是1.5,那么sina的值为()

3}_23_

A.B.C.D.

4232

【答案】C

【解析】

【分析】

重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AE,再根据面积求出sina.

【详解】解：如图示：作5CJ.C。交CO于C点，4。_1<7。交。。于。点,

CED

由阴影部分是两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形，

则有A5=AE,AD=\,

AB=AE=--

sina

/.S阴影=AB[]AD=—5—xl=1.5

sina

解之得：sina=2,

3

故选：C

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，三角函数的应用，判断出阴影部分是一个菱形是解题的关键.

10.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：，"）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0。VxW90°）

近似满足函数关系y=ax2+/»+c（aWO）.如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y

的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度可能为（）

C.54°D.58°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题.

【详解】解：由图象可得,

该函数的对称轴x>比>且x<54,

2

，36<x<54,

故选:B.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

二.填空题（共6小题）

11.分解因式：9ar2-畋2=_

【答案】a(3x+y)(3x-y)

【解析】

【分析】

原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【详解】解：原式=〃(9?-/)=a(3x+y)(3x-y),

故答案为：a(3x+y)(3x-y)

【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

12.若某正六边形的边长是4,则该正六边形的边心距为一

【答案】2g

【解析】

分析】

根据题意画出图形，利用等边三角形的性质及锐角三角函数的定义直接计算即可.

【详解】解：如图，正六边形A8CDEE内接于口。，连结04、0B,过。作0GLA8于G,

；/408=」360。=60。，0A=0B,AB=4,

6

...□A0B为等边三角形，则QA=A8=4,ZOAB=60°,

OGLAB,

.••口AOG为直角三角形，则sinZOAB=sin60°=—,

OA

即空=@,解得：OG=26,

42

该正六边形的边心距为26，

故答案为：2G.

【点睛】本题主要考查是正多边形与圆、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟知正六边形的

性质是解答此题的关键.

13.关于x的一元二次方程x2-2x+k-1=0没有实数根，则k的取值范围是.

【答案】k>2

【解析】

•••关于x的一元二次方程x2-2x+k-1=0没有实数根，

.'.△<0,即(-2)2-4(k-I)<0,

解得k>2,

故答案为k>2.

14.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y=巳

x

的图像上，则菱形的面积为.

【答案】6

【解析】

【分析】

连接AC交0B于D,由菱形的性质可知ACLOB.根据反比例函数），=人中k的几何意义，得出^AOD的

x

3

面积=-,从而求出菱形OABC的面积=ZiAOD的面积的4倍.

2

【详解】解：如图，连接AC交OB于D.

•.•四边形OABC是菱形，

.\AC±OB.

3

•.•点A在反比例函数y='的图象上，

x

13

/.△AOD的面积=-x3=—,

22

3

，菱形的面积=4x—=6.

2

故答案为&

【点睛】本题主要考查菱形的性质及反比例函数的比例系数k的几何意义.反比例函数图象上的点与原点

所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S=g|k|.

15.某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用4000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，该服装商又

用9000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了5元.则该服装商第一

批进货的单价是元.

【答案】40

【解析】

【分析】

设第一批进货的单价为x元/件，根据第二批这种衬衫所购数量是第一批购进数量的2倍，列出方程即可解

决问题.

【详解】解：设第一批进货的单价为工元/件，

4000_9000

由题意2x

xx+5

解得x=40,

经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，

答：第一次进货单价为40元/件，

故答案为：40.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，

列方程求解.

16.如图，在网格纸中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，点A,B,

C,。均落在格点上，点E是4B的中点，过点E作E/〃AO,交BC于点凡作AGLEF,交FE延长线于

点G,则线段EG的长度是.

【答案】野.

【解析】

【分析】

EGAE

如图，作D/J_A8于解直角三角形求出A。，AJ,DJ,再证明△A/OsaEGA,可得——=——，由此

AJAD

即可解决问题.

【详解】解：如图，作D7LAB于J.

A

A

\k

\、

cDvFB

在RSACB中，VAC=3,BC=4,ZC=90°,

‘A"VAC2+BC2=A/32+42=5,

■:S〉ABD=万x3x3=-xABxDJ,

…9

:.DJ=一,

5

••,AO=VAC2+o)2=V32+i2=Vio，

•R=YIAD2-DJ2=摩=J,

VAGIEG,

：.ZG=ZAJD=90°,

•:AD"EG,

：.ZDAJ^ZAEG,

：./\AJD^/\EGA,

.EG_AE

"A7-ID'

EG5

•••亘=2，

5M

.Pr13V10

20

故答案为巨叵

20

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线，构造相似三角形解决问题.

三.解答题(共9小题)

17.计算：V12+173-2|-2Xcos30°+(^-)

【答案】4

【解析】

【分析】

根据二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数累计算.

【详解】解：原式=2石+2-6-2X曰+2

=26+2-邪-6+2

=4.

【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解本题的关键.

18.某商场开业，为了活跃气氛，用红、黄、蓝三色均分的转盘设计了两种抽奖方案，凡来商场消费的顾客

都可以选择一种抽奖方案进行抽奖（若指针恰好停在分割线上则重转）.

方案一：转动转盘一次，指针落在红色区域可领取一份奖品；

方案二：转动转盘两次，指针落在不同颜色区域可领取一份奖品.

（1）若选择方案一，则可领取一份奖品概率是;

（2）选择哪个方案可以使领取一份奖品的可能性更大？请用列表法或画树状图法说明理由.

X,黄/

【答案】（1）；；（2）方案二获得奖品的可能更大，理由详见解析

【解析】

【分析】

（1）直接利用概率公式求解可得；

（2）列表得出所有等可能结果，从中找到指针落在不同颜色区域的结果数，再根据概率公式计算，比较大

小即可得.

【详解】解：（1）若选择方案一，则可领取一份奖品的概率是5，

故答案为：—；

3

（2）方案二中出现的可能性如下表所示：

一次

第泳、红黄蓝

红（红，红）（黄，红）（蓝，红）

黄（红，黄）（黄，黄）（蓝，黄）

蓝（红，S）（黄，蓝）（蓝，蓝）

共有9种不同的情况，其中指针落在不同颜色区域的有6种结果，

可领取一份奖品的概率为g=?,

93

,12

•一〈一，

33

方案二获得奖品的可能更大.

【点睛】此题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可

能性是均等的，即为等可能事件.

19.我校为了了解九年级学生身体素质测试情况，随机抽取了本校九年级部分学生的身体素质测试成绩为样

本，按4（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如图不完

整的统计图，请你结合图表所给信息解答下列问题：

（1）请在答题卡上直接将条形统计图补充完整；

（2）扇形统计图中“B”部分所对应的圆心角的度数是°；

（3）若我校九年级共有1500名学生参加了身体素质测试，试估计测试成绩合格以上（含合格）的人数.

【答案】（1）100,图详见解析；（2）144；（3）1350

【解析】

【分析】

（1）首先根据两种统计图中的8级的人数和所占的百分率求得总人数，然后即可求的A级的人数，从而补

全统计图；

（2）根据B级所占的百分比乘以360。即可求的其圆心角的度数；

（3）用总人数乘以合格的百分率即可求的合格的人数.

【详解】解：（1）A所占的百分比是1-40%-30%-10%=20%,

40

抽取的总人数是：行7=10（）（人），

A的人数有100x20%=20（人），补图如下：

（2）扇形统计图中“8”部分所对应的圆心角的度数是360°x40%=144°；

故答案为：144；

(3)根据题意得：

1500x(I-10%)=1350(人),

答：测试成绩合格以上（含合格）的人数为1350人.

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是

解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.扇形统计图直接反映部分占总体的百分比

大小.

20.如图，在菱形A8CQ中，对角线AC,BD交于点、O,AE_LBC交C8延长线于点E,（?/〃4£交4。延长

线于点F.

（1）求证：四边形AEC尸是矩形；

（2）连接OE,若AE=12,AD=]3,则线段OE的长度是.

【答案】（1）详见解析；（2）3g

【解析】

【分析】

（1）根据菱形的性质得到AD〃BC,推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论;

（2）根据已知条件得到得到CE=18,根据勾股定理得到AC=6jW，于是得到结论.

【详解】（1）证明：•.•四边形ABCD是菱形，

・・・AD〃BC,

・・'CF〃AE,

・・・四边形AECF是平行四边形.

VAE1BC,

AZAEC=90°,

，平行四边形AECF是矩形;

（2）解：如图，连接OE,

D

VAE=12,AD=13,

；.AB=13,

；.BE=5,

：AB=BC=13,

.\CE=18,

AC=ylAE2+CE2=7122+182=6后，

•.•对角线AC,BD交于点O,

；.AO=CO=3底.

：.OE=3y/l3,

故答案为：3而.

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键.

21.如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行

驶6千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达景区C,小明发现景区C恰好在4地的正北方向，

求A,C两地相距多少千米？（结果保留根号）

【答案】A,C两地的距离是（3+3屈）千米.

【解析】

【分析】

过B作于点£）,在直角△A3。中利用三角函数求得A。，8力的长，然后在直角△SCO中利用三角

函数求得co的长即可得到结论.

【详解】解：过B作BDLAC于点。

在RtZxABQ中，AD=AB*cosZBAD=6X-=3（千米），

2

BO=AB・sin/BAO=6XXI=3百（千米），

2

•在△BC。中，NCBO=45。，

...△BCO是等腰直角三角形，

：.CD=BD=3y/\3（千米），

：.AC=AD+CD^（3+3V13）（千米），

答：A,C两地的距离是（3+39）千米.

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值和利用三角函数解三角形，掌握知识点是解题关键.

22.如图，四边形ABC。内接于。0,点。在AB上，BC=CD,过点C作。0的切线，分别交AB,4。的延

长线于点E,F.

（1）求证：AFLEF-,

3

（2）若cosND4B=—,BE=1,则线段AO的长是.

9

【答案】（1）详见解析；（2）

2

【解析】

【分析】

(1)如图(见解析)，连接0C,先根据圆周角定理得出/1=/2,再根据等腰三角形的性质得出/2=/0CA,

从而可得/1=NOCA,然后根据平行线的判定可得OC〃AF,最后根据圆的切线的性质得OC_LEF,从而

得到AF1EF；

(2)先利用OC〃AF得至Ij/COE=/DAB,在RfDOCE中，设OC=r,利用余弦的定义得到一J=二，

解得r=3,如图(见解析)，连接BD,根据圆周角定理得到NAO8=90。，然后根据余弦的定义即可计算

出AD的长.

【详解】(1)如图，连接OC

VCD=BC

:・CD=BC

AZ1=Z2

VOA=OC

AZ2=Z0CA

AZ1=ZOCA

・・・OC〃AF

•・・EF为切线

AOC±EF

AAF1EF；

(2)VOC/7AF

・・・ZCOE=ZDAB

3

/.cosZ.COE-cosZDAB=一

4

设OC=r

QQ3

在Rf口OCE中，cosZ-COE-,即—-——

OEr+14

解得r=3

/.AB=2OC=2r=6

如图，连接BD

VAB为直径

：.ZADB=90°

Af)A[J3

在RtQADB中，cosNDAB,即=—

AB64

9

解得AO=不

2

【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、余弦三角函数值等知识点，较难

的是题(2),通过作辅助线，结合圆周角定理构造直角三角形是解题关键.

23.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC边OA,0C分别在x轴，y的正半轴上，且。4=8,0C=6,

连接AC,点。为AC中点，点E从点C出发以每秒1个单位长度运动到点0停止，设运动时间为/秒(0

<r<6),连接。E,作OFLCE交。4于点F,连接EF.

(1)当/的值为时，四边形OEOF是矩形；

(2)用含f的代数式表示线段。厂的长度，并说明理由；

13

(3)当面积为—时,请直接写出直线OE的解析式.

2

备用图

731113

【答案】(1)3；(2)—I—I；(3)y---x+4或y—--x-i---.

44433

【解析】

【分析】

(1)根据。E_LOC得到DE〃OA,由线段的中点的定义得到CD=AD,从而可得到结论；

(2)如图所示：作DM_LOA于M,DN±OC于N,推出四边形DMON是矩形，求得DM=^OC=3,

13

DN=-0A=4,根据相似三角形的性质得到FM=-EN,于是得到结论；

24

(3)由0A=8,0C=6,得至IJA(8,0),C(0,6),求得D(4,3),根据三角形的面积列方程得到t=2或

从而可得到直线QE的解析式.

3

【详解】(1)根据平行线的判定定理得到OE〃Q4,由线段的中点的定义得到CO=AO,于是得到结论，

(2)如图所示：作。M_LOA于M,DN工OC于N,推出四边形DWON是矩形，求得OA/=[oC=3,DN

13

^-OA=4,根据相似三角形的性质得到FM=-EM于是得到结论；

24

(3)由。4=8,OC=6,得到A(8,0),C(0,6),求得。(4,3),根据三角形的面积列方程得到/=2

或1"，于是得到结论.

3

【解答】解：(1)当OELOC时，四边形DEOF是矩形；

DELOC,

：.DE//OA,

・・,点。为AC中点，

：.CD=ADf

1

：.CE=OE=—OC=3,

2

.\t=3,

.•.当f的值为3s时，四边形DEO尸是矩形，

故答案为:3；

(2)如图所示：作£>MJ_OA于M,DNLOC于N,

•..四边形OABC是矩形，

：.OA±OC,

四边形0MoN是矩形,

；.NMDN=90°,DM//OC,DN//OA,

CDCNADAM

：.——=——，——=----，

ADONCDOM

・・,点。为08的中点，

・・・M、N分别是OA、A8的中点，

11

：.DM=—OC=3DN=—OA=4,

22f

VZEDF=90°,

・・・NFDM=NEDN,

又,J4DMF=/DNE=92。,

：,4DMFs/\DNE,

・FMDM_3

^~EN~^DN~4f

3

:.FM=-EN,

4

1

°：CN=—OC=3,CE=t,

2

:・EN=3-t,

393

FM=-EN=-—-t,

444

73

A0F=4-FM=-+T；

44

(3),：0A=8,0C=6,

：.A(8,0),C(0,6),

・.,点。为AC中点，

：.D(4,3),

*：CE=t,

：.OE=6-tf

73

VOF=—+-t,

44

1i7313

.•.△0£/面积=—0£>0尸=—(6-r)(-+-f)=—

22442

解得：，=2或

当f=2时，点E(0,4),

直线DE的解析式为y=--x+4

4;

,5^113、

当时，点E(0,—),

33

113

直线。E的解析式为y=->

1113

综上所述，直线0E的解析式为y=-］》+4或)，=-yx+—.

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，正确的

作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

24.思维探索：

在正方形ABC。中，AB=4,NEAF的两边分别交射线CB,0c于点E,F,NE4F=45°.

(1)如图1,当点E,F分别在线段BCCO上时，△CEF的周长是；

(2)如图2,当点E,F分别在C8,OC的延长线上，CF=2时，求ACEF的周长；

拓展提升：

如图3,在RtZ\ABC中，ZACB=90Q,CA=CB,过点B作连接40,在8c的延长线上取一点

E,使/EDA=30°,连接AE,当BD=2,ZEAD=45°时，请直接写出线段CE的长度.

【答案】思维探索：(1)8；(2)12；拓展提升：CE=6-1.

【解析】

【分析】

思维探索：(1)利用旋转的性质，证明△4GE丝/XAFE即可；

(2)把aABE绕点A逆时针旋转90°至IJAO,交CD于点G,证明△4EF也△4GF即可求得尸-BE；

拓展提升：如图3,过A作交8。的延长线于G,推出四边形ACBG是矩形，得到矩形ACBG是正

方形，根据正方形的性质得到AC=AG,NCAG=90°,在2G上截取GF=CE,根据全等三角形的性质得

至l」AE=AF,ZEAC=ZFAG,ZADF=ZADE=30°,解直角三角形得到。E=QF=4,BE=2百，设CE

=x,则GF=CE=x,BC=BG=2y/j-x,根据线段的和差即可得到结论.

【详解】思维探索：

(1)如图1,将绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,

:.GB=DF,AF=AG,NBAG=NDAF,

•••四边形ABC。为正方形，

AZBAD=90°,

VZ£AF=45°,

AZBAE+ZDAF=45°,

：.ZBAG+ZBAE=450=ZEAF,

AG=AF

在△AGE和△/!尸E中<ZGAE=ZEAF

AE=AE

.,.△AGE丝△AFE(SAS),

：.GE=EF,

•：GE=GB+BE=BE+DF,

：.EF=BE+DF,

：./\CEF的周长=CE+CF+EF=CE+BE+DF+CF=BC+CD=8,

故答案为：8；

(2)如，2,把△ABE绕点A逆时针旋转90°至ijAO,交CD于点G,

同(1)可证得△AEF也△AGF,

:.EF=GF,KDG=BE,

：.EF=DF-DG=DF-BE,

：.ACEF的周长=CE+CF+EF=CE+CF+。尸-BE=BC+£>F+CF=4+4+2+2=12；

拓展提升：如图3,过A作AG,BO交8。的延长线于G,

•：BD±BC,/ACB=90°,

.../4CB=/CBG=/G=90°,

四边形ACBG是矩形，

"：AC=BC,

，矩形4CBG是正方形，

；.AC=AG,NCAG=90°,

在8G上截取GF=CE,

/.AAEC^AAGF(5AS),

：.AE=AFtZEAC=ZFAG,

VZEAD=ZBAC=ZGAB=45°,

：.ZDAF=ZDAE=45°,

9：AD=AD,

：./\ADE^/\ADF(SAS),

AZADF=ZADE=30°,

AZBDE=60°,

•；/DBE=900,80=2,

：.DE=DF=49BE=2®

设CE=JG则GF=CE=X,BC=BG=2y/3一心

：.DG=2+2y/3r，

：.DG-FG=DF9

即2+2G-x-x=4,

/.x=5/3-1,

：.CE=y/j-1.

【点睛】本题以正方形为背景，结合旋转，三角形全等，解直角三角形进行综合性考查，熟知常见的全等

模型，旋转性质，三角形的判定及性质，正方形，矩形的性质是解题的关键.

25.在平面直角坐标系中，抛物线y=a?+/»+X5与％轴分别交于点人(-1,0),B(3,0),点C是顶点.