2021年中考二轮复习数学《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练八：与相似三角形相关的压轴题（附答案）

2021中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练八：

与相似三角形相关的压轴题(附答案)

方法提炼：

1、求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情

况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。

典例引领：

例：如图，直线y=-x+3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C(1,

0)三点。

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D的坐标为(-1,0),在直线y=-x+3上有一点R使AAB。与AADP相似，求出点P

的坐标；

解：(1)抛物线的解析式为y=x2-4x+3

(2)由题意可得：AABO为等腰三角形，

什EAOOB

右4ABO-△APiD，则丽=而

DP1=AD=4，,Pl(l,4)

若AABOSAADP2,过点P2作P2M_LX轴于M,AD=4,

△ABO为等腰三角形,△ADP2是等腰三角形，由三线合一可得：DM=AM=2=PzM,

即点M与点C重合，,P2(1,2)

跟踪训练:

1.如图，在平面直角坐标系xO)，中，抛物线与x轴相交于点A(-2,0)、B(4,0),与y

轴交于点C(0,-4),BC与抛物线的对称轴相交于点£＞.

(1)求该抛物线的表达式，并直接写出点。的坐标；

(2)过点A作AEJ_AC交抛物线于点E,求点E的坐标；

(3)在(2)的条件下，点尸在射线AE上，若求点尸的坐标.

2.如图1,已知二次函数-a(。为常数，且aWO)与x轴交于A、2,与y轴的交

点为C.过点A的直线/：y=kx+h(我,匕为常数，且ZWO)与抛物线另一交点为E,交

y轴于D.

(1)用含后的式子表示直线/的解析式：

(2)若“=3,k=3,点P为抛物线上第四象限上的一动点，过P作y轴的平行线交4。

4

于M,作PNJ_AO于N,当△PMN面积有最大值时，求点P的坐标；

(3)如图2,若“=3,k=l,连结AC、BC,在坐标平面内，求使得△/!＜：£＞与ABCQ

相似(其中点。与点A是对应顶点)的。的坐标.

图1图2

3.如图1,抛物线-6ar+6(aWO)与x轴交于点A(8,0),与y轴交于点B,在x

轴上有一动点E(w,0)(0</M<8),过点E作x轴的垂线交直线AB于点M交抛物线

于点尸，过点尸作于点M.

(1)求出抛物线的函数表达式；

(2)设的面积为S,硒的面积为S2,若51：52=36：25,求机的值;

(3)如图2,在(2)条件下，将线段0E绕点。逆时针旋转得到0E',旋转角为30°,

连接£71、EB,在坐标平面内找一点。，使△AOE'〜△80Q,并求出。的坐标.

4.如图1,以点A(-1,2)、C(1,0)为顶点作RtZXABC,且NACB=90°,tanA=3,

点B位于第三象限

(1)求点B的坐标；

(2)以A为顶点，且过点C的抛物线+云+c(aWO)是否经过点B,并说明理由；

(3)在(2)的条件下(如图2),AB交x轴于点。，点E为直线48上方抛物线上一动

点，过点E作E凡L8C于尸，直线EF分别交y轴、AB于点G、H,若以点8、G、H为

顶点的三角形与△ADC相似，求点E的坐标.

图1图2

5.抛物线Ci：y=a?+bx+3与x轴交于A(-3,0)、B两点，与y轴交于点C,点M(-2,

3)是抛物线上一点.

(1)求抛物线C1的表达式.

(2)若抛物线C2关于Ci关于y轴对称，点A、B、M关于)，轴的对称分别为力'、"、

M'.过点“'作M'轴于点E,交直线A'C于点。，在x轴上是否存在点P,使

得以A'、D、尸为顶点的三角形与△48'C相似？若存在，请求出点尸的坐标；若不存

在，请说明理由.

5

4

3

2

1

12345

6.如图，已知抛物线经过点A(-1,0),B(2,0),C(0,2),点。为OC中点，连接

AC.BD,并延长50交AC于点£

(1)求抛物线卬1的表达式；

(2)若抛物线卬1与抛物线卬2关于)，轴对称，在抛物线心位于第二象限的部分上取一

点。，过点Q作轴，垂足为点F,是否存在这样的F点，使得△QFO与ACDE

相似？若存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.

7.在平面直角坐标系中，如图1,抛物线)=0?+法+c的对称轴为旦，与x轴的交点A

2

(-1,0)与y轴交于点C(0,-2).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2.点P是直线BC下方抛物线上的一点，过点P作BC的平行线交抛物线于

点。(点。在点P右侧)，连结8Q,当△PCQ的面积为aBCQ面积的一半时，求尸点

的坐标；

(3)现将该抛物线沿射线AC的方向进行平移，平移后的抛物线与直线AC的交点为4'、

C(点。在点A的下方)，与x轴的交点为B',当与△AAE相似时，求出点A'

的横坐标.

8.如图，以。为顶点的抛物线y=-f+fov+c交x轴于A、8两点，交y轴于点C,直线BC

的表达式为y=-x+3.

(1)求抛物线的表达式.

(2)请你判断△BC。的形状，并说明理由.

(3)在x轴上是否存在一点。，使得以4、C、。为顶点的三角形与△BC。相似？若存

在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

9.如图，已知动圆A恒过定点5(0,-1),圆心A在抛物线＞=-2•/上运动，MN为0A

2

在x轴上截得的弦(点M在点N左侧).

(1)当点A坐标为(圾，“)时，求a的值，并计算此时GM的半径与弦MN的长；

(2)当OA的圆心4运动时，判断弦MN的长度是否发生变化？若改变，请举例说明；

若不变，请说明理由；

(3)连接BM,BN,当△OBM与△O8N相似时，计算点M的坐标.

10.如图，已知二次函数y=-f+fev+c",c为常数)的图象经过点A(3,1),点C(0,

4),顶点为点M,过点A作AB〃x轴，交y轴于点£＞,交该二次函数图象于点B,连结

BC.

(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；

(2)若将该二次函数图象向下平移〃？(加＞0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的

顶点与△ABC的外心重合，求切的取值；

(3)点P是坐标平面内的一点，使得AACB与相似，且CM的对应边为4C,请

写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).

11.如图1,已知抛物线；Ci：y=-工（x+2）Cx-m）（w>0）与x轴交于点8、C（点B

m

在点C的左侧），与），轴交于点E.

（1）求点3、点C的坐标；

（2）当△BCE的面积为6时，若点G的坐标为（0,b）,在抛物线Ci的对称轴上是否

存在点”，使得△BGH的周长最小，若存在，则求点〃的坐标（用含人的式子表示）；

若不存在，则请说明理由；

（3）在第四象限内，抛物线Ci上是否存在点F,使得以点8、C、尸为顶点的三角形与

△BCE相似？若存在，求机的值；若不存在，请说明理由.

图1备用图

12.如图，抛物线），=（x+2）2+机与x轴交于月，B两点，与y轴交于点C.点。在抛物线

上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，抛物线的顶点为例，点B的坐标为（-1,0）.

（1）求抛物线的解析式及A,C,。的坐标；

（2）判断的形状，并证明你的结论；

（3）若点P是直线8。上一个动点，是否存在以P,C,。为顶点的三角形与△A3。相

似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由

13.已知一次函数y=fcr+2的图象经过点P(l,,与x轴相交于点A,与y轴相交于点

B,二次函数y=G?+Z>x(a>0)的图象经过点A和点P,顶点为M,对称轴与一次函数

的图象相交于点N.

(1)求一次函数的解析式以及A点，8点的坐标;

(2)求顶点M的坐标;

(3)在y轴上求一点。，使得和△PBQ相似.

14.如图，已知抛物线yud+bx-3与x轴交于A、B两点，A(-1,0)与y轴交于点C,

点E(l,-4)为抛物线的顶点，且OO=OA.

(1)求抛物线的解析式;

(2)设/£>8c=a,NCBE=B，求sin(a-p)的值;

(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C三点为顶点的三角形与aBCE相似,

若存在，请指出点尸的位置，并直接写出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.

参考答案

1.解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4),将C(0,-4)代入得：-8a=-4,

解得：〃=工，

2

抛物线的解析式为y=y-….

如图1所示：记抛物线的对称轴与X轴交点坐标为F.

：抛物线的对称轴为x=-旦=

2a

：.BF=OB-OF=3.

'：BO=OC=4,NBOC=90°,

.,.ZOBC=45°.

...△BFD为等腰直角三角形.

:.FD=FB=3.

：.D(1,-3).

(2)如图2,过点E作垂足为从

VZEAB+ZBAC=90°,ZBAC+ZAC0=90°,

：.ZEAH=ZACO.

.".tanZEAH=tanZACO—

2

设EH=t,则AH=2f,

.•.点E的坐标为(-2+2t,r).

将(-2+2t,t)代入抛物线的解析式得：—(-2+2r)2-(-2+2力-4=r,

2

解得：f=［或f=0(舍去)

2

：.E(5,—).

2

(3)A、B、C、D四个点坐标分别为：A(-2,0),B(4,0),C(0,-4),D(

-3),

贝I：AD=3近,AB=6,AC=2泥，BC=4五

'：/\ADF<^^ABC,

.ADAF

••----------,

ABAC

.372.AF

••----------

6275

:.AF=yJ]0,

过点尸作x轴的垂线交x轴于点H,

122

则：AF=FH^AHf

即：10=（―x+1）2+（x+2）2,

2

解得：x=-2+2&或-2-272（舍去），

故点E坐标为（-2+2&,五）.

2.解：（1）・・,二次函数y=o?_Q（〃为常数，且〃W0）与x轴交于A,

1

.,.y=0时，ax-a=Of

解得：XI=1,X2=-1,

.♦.A（-1,0）,

•・•直线/：y=kx+b（匕b为常数,且kWO）过点A,

・・・-k+b=O,

:.b=k,

・・・直线/的解析式为

(2)'：a=3,k=3,

4

二次函数解析式为y=37-3,直线/的解析式为y=3x^，

44

：.D(0,—),

4

：.OA=\,。。=旦，

4

,'MC>=VOA2-K)D2=疗+/产-|‘

设点尸的坐标为(x,3?-3),则点MG,

.，.PM=^乂弓_(3x2_3)=-3x2普x+^，

轴，

:.NPMN=NADO.

又；NPNM=NAO£>=90°,

:.APMNsAADO,

.SAPMN_/PM2

^AADO皿

・••S/MN《X患P『=£PM2,

・••当PM有最大值时，SMMN的面积最大，此时

8

•,-3X2-3=3X("I产-3=-鬻，

zl189s

••P(T

(3)△AC。与△Q3C相似,

当〃=3,%=1时，二次函数解析式为y=3/-3,直线/的解析式为y=x+l,

：.C(0,-3),B(1,0),D(0,1),

AD—5/2>CD=4,AC—yjIQ,BC—y]10,

设点0坐标为(x,y)

若△ACQSAQBC,

.AC_AD_CD

"BQ=QC"Be'

.瓜卓二4

,•BQ-QC~V10’

••BQ节，CQ--—>

\1、2上225

(x-1)+y=-

,x2+(y+3)2=1，

X=1

，=J_f

解得：x~^2,5，

|y=-2|y=T

点的坐标为(蒋，-2)或(1,-y)；

若△AC£>S/\QCB,

.AC_AD_CD

"QC"BQ"BC'

.yru二衣二4

诙=VI3,

，CQ号,BQ=夸，

(x-1)2+y2=-|-

x2+j(yq+3\)2=—25

x=03

解得：1或，

y=-l

；.Q点的坐标为（0,-£）或弓，T），

综上所述：点Q坐标为：（1，-2）或（1,得）或（0,或（菅，-1）•

3.解：(1)把A(8,0)代入y=o?-6or+6,得64a-48a+6=O,解得

8

二抛物线的函数表达式为：y='/+2x+6；

84

(2)如图1,在y=+@x+6中，令x=O,得y=6,

84

：.B（0,6）,

设直线AB解析式为y^kx+b,则J8k+b=0，解得，k-R

1b=6b=6

直线AB解析式为y=4x+6

：PE_Lx轴，PMLAB

：・NAEN=NPMN=90°,

NANE=NPNM

.,.△ANEs^PNM

SS

.AE=EN=_MJ1=APMN^(PM)2

"PMMNPN*SAAENAE'

V5i：S2=36：25,

.PM=6

"AE"5

...迎=2即64V=5PN

PN6

,:E(w,0)(0<w<8),

:.P(ni,/■1RL2+9〃I+6),N(m,—5-/n+6)

844

33m2+旦〃+6-(-J-zn+6)=2

：.EN=m+6,PN=PE-EN=-^-m+3/n

48产448

OE=m,AE=S-m,

•••AS=VOA2-K)B2=V82+62=10

：.cosZOAB=—^—,即国

ANABAN10

：.AN=^-(8-w),

4

.•.6X互(8-m)=5X2

(-^-m+3w),解得：tn\=4,〃22=8(不符合题意，舍去),

48

Am=4；

(3)如图2,•.•线段OE绕点。逆时针旋转得到OE'，旋转角为30°,

AOE'=OE=4,ZAOE'=30°

V/\AOEf〜△B。。,

:.返一=%ZBOQ=ZAOE'=30°,

0AOB

,-.A=PQ,即。0=3,过点Q作轴于”,

.•.Q//=』OQ=2,OH=

22

二当点。在y轴右侧时，Q\(y

当点。在y轴左侧时，。2(-多

综上所述，。的坐标为：Qi(3,昌返)，Q2(-

22

4.解：(1)过C点作MN垂直x轴.过A、B两点分别作垂足为M,BNLMN,

垂足为N,

；N4CB=9()°,

：.ZCBN=ZACM,

:.丛CNB〜丛AMC,

•BCBNCN

*'AC=CM=AM'

「A(-1,2)、C(1,0),

：.AM=2,CM=2,

又；tanA=.=3,

AC

:.BN=6,CN=6,

:・B点坐标为（-5,-6）.

(2)设以4(-1,2)为顶点的抛物线为y=a(x+1)2+2,

•.•抛物线经过C(1,0)

：.a(1+1)2+2=0,

.1

2

...函数解析式为y=-y(x+l/+2，

当x=-5时，y=蒋(-5+1)2+2=-6,

••・以A为顶点，且过点C的抛物线为y=-^(x+l)2+2经过点(-5,-6).

(3),点A(-1,2)、C(1,0),

直线yAC=-x+1，ZACD=45°,

VEF1BC,

ZBHC=DAC,

，以点8、G、”为顶点的三角形与△4OC相似，有两种情况：

I.如图2（1）.NHGB=45°,VEG//AC,：.BG//CD,即BG_Ly轴，

，G坐标为（0,-6）

・二直线yEG=-x-6,

"y=-x-6

依题意得:1o

y=-^-(x+l)+2

Xi=V15fX=-V15

解得《_（不合题意舍去），得12「，

=

yi=-Vi5-6[y2vi5-6

.,.当/HG8=/AC£>=45°时△”8Gs4£）C,即：E点坐标为（飞怎，41^-6）.

II.如图2（2）.NHBG=NACD=45°时，XHBGs^ACD,

•.•过8点作BPJ_y轴，；.尸点（0,-6）

'：ZCBP=45°,

：.ZGBP^ZABC,

又：tan/GBP=空，tan/A8C=2，BP=5,

BP3

：.GP=^-,即G点坐标为（0,工），

33

.,.直线yEG=-x-孕，

f13

y=-x--

依题意得：，

19

y=-^-（x+l）+2

♦105°

6

即E点为（卫运，2ZJ05._6）,

33

综上所述：E点坐标为（-V15-V15-6）或（XI恒,壮运）,

33

图2Q)

图2(1)

5.解：（1）将点A、M的坐标代入函数表达式得：［°=9a-3b+3,解得：［a=-l

I3=4a-2b+3Ib=_2

故抛物线Ci的表达式为：y=-x2-2x+3；

(2)由题意得：点A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3)、M(-2,3)、B'(-1,0)、

A'(3,0),D(2,1),

则AB'=2,AC=3&,B'C=V10,A'O=&,

①当点P在直线AC的左侧时，

当点P在。M'左侧时，

A'、。、P为顶点的三角形与△A3'C相似,

则△A8'C^/\A'DP,则粤一=里’，

A'PA'D

即：C"),解得：A'P=3,

A'PV2

故点P(0,0),

当点尸在。M'左侧时，

同理可得点尸(P')0)；

3

②当点P在直线AC的右侧时，

则△AB'C、△D4'P"不相似，

综上，点P的坐标为(0,0)或(工，0).

3

6.解：(1)设抛物线的解析式为y^a^+bx+c,将A(-1,0),B(2,0),C(0,2)代

入抛物线的解析式得：

a-b+c=0

,4a+2b+c=0，

c=2

a=-l

解得：＜b=l，

c=2

二抛物线W］的表达式为y=-W+x+2；

(2)•..抛物线wi与抛物线卬2关于y轴对称，

...抛物线它的解析式丫=---x+2,

:点。为OC中点，C(0,2),

：.D(0,1),

；A(-1,0),B(2,0),

•.•-O-Cz:-O-B-1

OAOD

VZAOC=ZBOD=90°,

:.MAOCsXDOB,

：./ACO=/DBO,

C.BDLAC,

.CEOB2

••--=--=-=yn,

DEOD1

设F(a,0),Q(a,-a1-a+2),a<0,若△QFO与△€1£>£相似，可分两种情况考虑:

①△QFO与s/\cED时，

QF.CE

OF-DE"2n，

.-a2-a+2

,,=2，

-a

解得：a\—~1,42=2(舍去)，

：.F(-1,0)；

②△QFOS/^OEC时，

QFDE1

OF'CE

・-a^-a+21

••---------=一，

-a2

14

解得：a二a-733(舍去)，

14z4

：.F(二0).

4

综合以上可得尸点的坐标为尸(-1,0)或尸(士返，0).

4

7.解：(1)由对称性可知8(4,0)

设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-4)

将(0,-2)代入得

2

.•.产工/-&-2.

22

(2)由平行线间距离处处相等可知，当△PCQ的面积为△BC。面积的一半时，PQ-

BC

VC(0,-2),B(4,0)

：.BC=2A/5

:.PQ=A

•••PQ』(XQ-Xp)2+(yQ-yp)2=5

:直线BC的解析式为-2,PQ//BC

•••设直线PQ的解析式为y^^x+b

则yp=^LXp+b,yQ=y=-^xQ+b

(1

y=yx+bu

联立：°得

_123

|y»x亍-2

7-4x-4-2b=0

则XP+XQ=4

2XX2+2=5

,"•^C=(Q-P)(yQ-yp)

♦,号(XQ-Xp)2=5，XQ-xp—2

点尸(1,-3)

(3)由点A(-1,0),C(0,-2)得直线AC的解析式为y=-2x-2

设点4坐标为(a,-2a-2),由平移的性质，可知AC=4C=旄

平移距离为AA'=J^(a+1)

AAC=V5(。+2)

当△ABC与△AAE相似时，只有当△AbC's4b

：.AB'2=AA'XAC=5(a+1)(a+2)

过点B作/VV的平行线，交原抛物线于点。，连接A。，

由平移知四边形ADB7T为平行四边形，点D的纵坐标为2a+2

设点。的横坐标为"?，则点B,坐标为(机+a+l,0)

：.AB'2^(m+a+2)2=5(a+1)(a+2),①

将点。(m,2a+2)代入y=L?一3工-2得

-22

■^-m2_"^'n'2=2a+2,②

2

联立①②，解得：典二囱坦，

4

62-9m+15=0,

..=如叵，或〃二殳恒(舍)

22

.,_m2-3m-8_6m-23_3721+4

••Czl----------------------

444

二点A'的横坐标为3屈十%

4

8.解：(1)把尤=0代入y=-工+3,得：y=3,

：.C(0,3)

把y=0代入y=-x+3,得：x=3,

：.B(3,0)

-=

将C(0,3)、B(3,0)代入y=-7+Z?x+c得:f9+3b+c0

Ic=3

解得仆=2

Ic=3

抛物线的解析式为y=-/+2x+3；

(2)△BCD是直角三角形，理由如下：

由y--x^+2x+3--(x-1)2+4,

：.D(1,4)

又：C(0,3)、B(3,0)、D(1,4),

•••8=d(4-3)2+12=&，8c=^7^=3圾，—=山2+⑶i)2=2旄

(V2)2+(3&)2=20,(275)2=20,

/.CD2+BC2^BD2,

：.ZBCD^90°.即△BCD是直角三角形；

(3)如图，连接AC,把y=0代入y=-，+2x+3,

解得：x=-1或x=3,

・・・A(-1,0),

：.OA=\f

.0A_1

••，

0C3

..CD_V2-1

•前勾75’

•0ACD

0CBC

又；N4OC=£>CB=90°,

:.XAOSXDCB.

...当。的坐标为(0,0)时，XAQCs/XOCB、

过点C作CQLAC,交x轴与点Q.

:△ACQ为直角三角形，COVAQ,

.♦.△ACQs&oc.

又；△AOCS^DCB,

：./XACQ^/XDCB,

.CDACV2715

••=»即BI17==-=--，

BDAQ2V5AQ

解得：AQ=\O.

：.Q（9,0）.

综上所述，当。的坐标为（0,0）或（9,0）时，以A、C、。为顶点的三角形与△BCD

相似.

9.解：（1）把点A（V2>a）代入丫=总*2得,

-yX2=-l>

'：B（0,-1）,

轴，

GM的半径为J5，

如图1,过点A作AE_LMN于点E,连接

图1

则AM—AB—y[2<

A/W£=VAM2-AE2=V(V2)2-l2=1,

由垂径定理，MN=2ME=2X}=2.

故此时OA的半径为我,弦MN的长为2；

(2)MN不变.如图2,理由如下：

2

设点ACm,n),则4解=力2+(n+i),

在RtZ\4ME中，ME2=AM2-AE2=/;z2+(〃+1)2-n2=m2+2n+l,

•••点A在抛物线y=-尹上，

--n^—n,

2

将n--代入MEr—nr+ln+X得，

ME2=I,

ME=l,

由垂径定理得，MN=2ME=2Xl=2(是定值，不变)；

(3)由(2)知MN=2,

设M(x,0),则N(x+2,0).

当AOB例与△08N相似，有以下情况:

①M、N在y轴同侧，

■:AOBM与AOBN相似，

.OBON

,•而同，

即OB2=OM・ON,

x(x+2)=1,

整理得，/+2r-1=0,

解得：x|=-I+A/2'x2=-l-V2,

.•.当M、N在y轴右侧时，M(-1+J5，0),

当M、N在y轴左侧时，M(-1-V2-0),

②M、N在y轴两侧时，

,?△OBM与△OBN相似，

•.•-O--B----0-N--,

ON0B

即O型=OM,ON,

-x(x+2)=1,

整理得，/+2x+l=0,

解得x=-1,

此时△O8M与△OBN全等，M(-1,0),

综合以上可得，M点的坐标为(-1+如，0)或(-1-我，0)或(-1,0).

10.解：(1)C(0,4),则c=4,抛物线表达式为：y--x^+bx+4,

将点A的坐标代入上式并解得：b=2,

故抛物线的表达式为：＞=-，+2%+4,

则点M(1,5)；

(2)点A(3,1)函数的对称轴为：x=l,则点8(-1,1),点C(0,4),

直线8c的中点坐标为：(-」，$),

22

则线段的中垂线的函数表达式为：y=-』x+Z,

33

当x=l时，y=2,即外心坐标为(1,2),

则二次函数图象向下平移了5-2=3个单位；

(3)ZSACB与△MCP相似，且CM的对应边为AC,存在△ACBs^cMP或△CABs4

CMP,

点A、B、C、M的坐标分别为：(3,1)、(-1,1)、(0,4)、(1,5),

则AB=4,BC=7I5，AC=3后，CM=&,

①当△ACBsaCMP时，如下图左侧图，

贝匹墨4,即四百』，

CMPMPCV2PMPC

解得：PM=^^-,PC=—,

33

设点P(r,s'),

则J+(.v-4)2=—,(r-1)2+(s-5)2=—,

99

解得：r——,s=4或r=0,s=-^

33

故点P,4)或(0,西)；

33

②当△CABs/^CMP时，如上图右侧图，

则点P在直线C4上，直线4c的表达式为：y=-x+4,

同理可得：

3

设点P(",-”+4),则川+(4-〃-4)

9

解得：”=1或-2，

3

故点P(1,—)或(-上，5)；

33

综上，点P的坐标为P(―,4)或(0,—)或(1,—)或(-工，5).

3333

11.解：(l)y=-2(x+2)(x-/H)(m>0),令y=0,贝iJx=-2或”?，

m

故点8、C的坐标分别为：(-2,0)、(m,0)；

(2)存在，理由：

)，=-』(x+2)(%-/«),令x=0,则y=2,故点E(0,2),

m

△BCE■的面积=工XBCX。E=工x（w+2）X2=6,解得：m=4,

22

则抛物线的对称轴为：X——(-2+4)=1,

2

点8关于函数对称轴的对称点为点C(〃?，0),连接CG交对称轴于点”，则点H为所

求，

将点C、G的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线CG的表达式为：y=-^bx+b,当x=1时，y=^-b,

4-4

故点4(1,3/>)；

4

(3)，：OE=OB=2,故/E8O=45°,

过点F作轴于点7;

①当△BECs/XBC尸时,

则BC2=BE-BF,NFBO=EBO=45°,

则直线8尸的函数表达式为：y=-x-2,故点尸（x,-x-2）；

将点尸的坐标代入抛物线表达式得：-x-2--1（x+2）（X-/77）,

m

解得：x=-2（舍去）或2，"，

故点F(2m,-2nz-2),

贝ij8尸=2&(%+1),BE=2贬,

'：BC2=BE*BF,

则5+2)2=2&(>77+1),解得：m=2±2M(舍去负值),

故，”=2+2加；

②当△BECs/XFCB时，

则BC2=BF,EC,ZCBF=ZECO,

则△BFT's/xcOE,

贝喘悬4则点取一小2］，

91

将点尸的坐标代入抛物线表达式得:--(x+2)=-—(x+2)(x-tn),

mm

解得：X--2（舍去）或加+2；

则点F[/n+2,-2(加+4)]

m

22

BC=BF'EC,贝Ij(〃?+2)=77不丫(m+2+2)2+(2(74)

化简得：)/+4机2+4僧=A/i3+4/??2+4/n+16,

此方程无解;

综上，，"=2+2&.

12.解：(1)把8(-1,0)代入抛物线解析式得，

(-1+2)，m=0,

解得m=-1,

，抛物线的解析式为y=(x+2)2-1,

当y=0时，(x+2)2-1=0,解得x\--I,xi--3,

(-3,0).

当x=0时，y=(x+2)2-1=3,

：.C(0,3)

；抛物线对称轴是直线x=-2,C,力两点关于抛物线对称轴对称,

：.D(-4,3)；

(2)△ABM是等腰直角三角形；

证明：：抛物线＞=(x+2)2-1的顶点是

：.M(-2,-1),

作MNVx轴于N,则N(-2,0).

图1

:.AN=BN=MN=\,

tanZMAN=tanZMBN=1,

:./MAN=/MBN=45°,

・・・NAMB=180°-/MAN・NMBN=90°,

...△ABM是等腰直角三角形；

(3)存在，理由:

①当时,

过点户分别作x、y轴的垂线交于点M、N,

则加=返/>。=返乂色但=_1=£>M,