2021年浙江省新高考测评卷数学（第六模拟）

2021年浙江省新高考测评卷数学（第六模拟）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A={x\-2<x<4},8={%]x>21,C=|x|.x<3},则()

A.{M-2<元<4}B.x|2<x<4}C.3-2cx<3}D.{x|2Wx<3}

3i

2.复数z=[^^的虚部和实部的平方和是（)

751

A.1B.-C.D.-

993

x+y<1,

3.若实数％,y满足约束条件《3x—yNl,则z=x-2020y的最大值为()

x-y<l

A.-2020B.2020C.4039D.4040

(3丫

4.r^J的展开式中/的系数是（)

A.60B.80C.90D.120

5.已知P：\x+a\<2,q：x^a,且〃是q的充分不必要条件，则实数，的取值范

围是（）

A.B.S，-i）c.[1,+co)D.(L+°°)

6.若b=ln正，c=log43,贝ij()

2In2

A.c>h>aB.c>a>bC.a>c>hD.a>b>c

7.设国,x2,W《{TO,1,2},那么满足考28的所有有序数组

（玉,％2，七）的组数为（）

A.45B.46C.47D.48

22

8.已知椭圆与+/=1（a>b>0）的左、右焦点分别是耳，F2,点p在椭圆上,

27r

。是坐标原点，Nf；尸鸟=/耳。尸=7,则椭圆的离心率是（）

-

A3—^2口3-上-百^/10^^/2

A.-----D.-----C.-A/-I-U-----nD.--------

2222

9.在口相。中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若〃一"=4.，贝ij

sinA+sin2Z?=()

A.0B.—C.D.—

223

—尤2+6尤-7(x>3),

10.已知函数={/、J、若关于x的方程

|log2(x+l)|(-l<x<3),

[/(x)[+可,(力+m+2=0有6个根，则用的取值范围为()

A.(-co,2-2后)B.(-2,2-2^)C.(-2,4w)D.[-2,2-273)

二、填空题

11.已知三倍角公式sin3a=4sinasin(60°+a)sin(60°-a),则

sin20°sin60°sin100°sin140°=.

12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.

5满足忻+同邓万一斗则后在乙方向上的投影的最小值是

13.已知向量少,

三、双空题

14.已知等差数列｛a,,｝的前〃项和为S“，公差为d.若&7=102,3=12,则4=

-----，§20=-------

15.已知随机变量X的分布列为P(X=〃)=(〃++2)("=1,2,3),其中4为

实常数，则。=,E(3X)=.

16.已知双曲线。的右焦点为R(2,0),且C经过点A(4,3乔)，则双曲线。的标准

方程为；若直线AE与>轴交于点8,点P(x,y)是C右支上一动点，且

ye(—36,36)，直线AP与以A8为直径的圆相交于另一点O，贝|］|/%卜|即的最

大值是.

17.如图，直四棱柱ABC。—A4G2的底面是边长为2的正方形，M=3,E，F

分别是AB，BC的中点，过点R,E，尸的平面记为a,则平面a截直四棱柱

ABCD-A^QD,所得截面的面积为,平面a与平面BgG。所成角的余弦值

四、解答题

18.已知函数/(X)=COS(2(UX-［，+4COS2COX-((<y>0)的图象与x轴的两个

TT

相邻交点间的最短距离为2.

(1)求〃。);

(2)求函数“X)在［0,句上的单调递增区间.

19.如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,ZADC=90°,

二面角P—AO—C的余弦值为g,M是棱PC的中点，PA=PD=AD=2,BC=1,

CD=G

(1)求证：AD上PB；

(2)求直线与平面Q4O所成角的正弦值.

11工1“+I

20.已知数列｛%｝满足q-----+—=3

3«„+1«„

13/I+1

(1)证明：数列——“j为等比数列，并求数列｛%｝的通项公式;

3

(2)求证：q+%+…+。〃<彳.

21.设。为坐标原点，M是x轴上一点，过点M的直线交抛物线C：；/=而于点八，

B,且砺•砺=-4・

(1)求点M的坐标;

32

(2)求而『一怛蛆的最大值.

22.已知函数/(x)=x-ae"+l(aeR).

(1)讨论函数“X)的单调性;

(2)当4=1时，令g(x)=/(lnx),若函数g(x)的图象与直线y=+m相交于不同

的两点A，3,设为，(办＜々)分别为点A,3的横坐标，求证:—<A:+1<—

王

参考答案

1.D

【分析】

根据交集的概念运算可得结果.

【详解】

Ac8={x[2«x<4},Ac8cC={x[2Wx<3},

故选：D.

2.A

【分析】

利用复数的四则运算以及复数的概念即可求解.

【详解】

“3i（l+2"）3,-6夜r24J

z（1—2岳）（1+2衣）93+「

所以z的虚部为L，实部为一冥I,

33

门、2/万丫

故z的虚部和实部的平方和是士+-工=1.

⑴13）

故选：A

3.B

【分析】

作出可行域，将目标函数进行变形，根据目标函数的几何意义并数形结合可得最优解，得到

目标函数的最值.

【详解】

根据题意作出可行域如图中阴影部分所示，

（0,—1）时，Z取得最大值，为2020.

故选：B

4.C

【分析】

利用通项公式得〃=2,可得系数

【详解】

+的展开式的通项公式为（a=C#5T

令5-（r=2,得r=2,则/的系数为C；X32=90.

故选：C

【点睛】

求二项式展开式指定项的系数，利用通项公式4+i=C/"7/和x的基指数相等可求.

5.A

【分析】

首先求出P,记为A,再求出q,记为3,依题意可得AU8,即可得到不等式，解得即

可；

【详解】

解：因为0：|x+a|<2,所以夕：一。-2<x<-a+2,记为A={x|-a-2cxe-a+2}；

q-.x>a,记为8={x|xNa}.因为。是q的充分不必要条件，所以AU8

所以。<—u—2,解得Q4—1.

故选：A

6.B

【分析】

由己知可得。=幽£,h^~,，=岭殳a,利用对数式的单调性可得答案.

222

【详解】

10g23

a=­--=现/,/>=lnV2=—,c=log43=,由于log,3>log,e>1,

21n22242

0<In2<1,c>a>b.

故选：B.

7.C

【分析】

对西的取值进行分类讨论，结合已知分析x2和七的取值情况，然后利用排列组合知识求解

即可.

【详解】

①当％=2时，%+考=0,则4=刍=0，共1组；

②当玉=1时，—14尤;+447,则与，不同时为2,共C：・C；-1=42-1=15组；

③当玉=0时，04x；+x；S8,则£，%为{-1,0,1,2}中任一元素，共C：C：=42=16

组；

④当％i=T时，则乙，七不同时为0，共。］。：-1=42-1=15组.

故满足题意的有序数组共有47组.

故选：C.

8.D

【分析】

利用，得到△P^Os△居耳尸，利用陷=黑，求得|尸用=伍、

3rr21P

利用定义得到|尸鸟|=2a-J五，再利用余弦定理得解.

【详解】

根据/耳尸鸟=/小力=彳以及/尸与玛=NO"P,得△P£Os△6片尸，于是

照=照，所以|尸耳|=岳，又忸耳|+卢闾=勿，所以|尸引=2〃-应c.在△玛耳P中,

mi।勺

由余弦定理，得4c2=（0cy+（2a-0c）2—2x0c（2a—0c）x（—；）,g|J

c?+缶,一为2=0,所以e?+缶-2=0,因为0<e<l，所以椭圆的离心率e=巫二史

故选D

【点睛】

本题以椭圆为载体，考查三角形相似、余弦定理以及椭圆的定义与性质.利用三角形相似、

椭圆定义得到焦半径是解题关键.

9.A

【分析】

由余弦定理得2/?cosA=Z?+c,再由正弦定理得2sin3cosA

=sinB+sinAcosB+sinficosA,化简可得sinB=sin（8-A）,结合三角函数的性质得

28=〃+A可得答案.

【详解】

由〃2一"=hc^h2+c2-a2=hc+c2，由余弦定理得2/?cosA=Z?+c,

再由正弦定理得2sin5cosA=sin3+sinC=sin5+sin（A+5）

=sin3+sinAcosB+sinBcosA,即sinSeosA=sin3+sinAcosB，得

sin3=sin（8-A）,由于8£（0,4），,

所以方一月二B（舍去）或3—4+3=兀，故23=%+4,于是

sin2B=sin（〃+A）=-sinA,所以sinA+sin23=0.

故选：A.

10.B

【分析】

作出函数/(x)的图象，令，=/(x),则原方程可化为*+〃2+2=0在(0,2)上有2个

不相等的实根，再数形结合得解.

【详解】

作出函数/(力的图象如图所示.令"/(x),则［/(切2+/硝司+/〃+2=0可化为

t2+mt+m+2=0,要使关于x的方程"(x)了+久外力+加+2=0有6个根，数形结合

知需方程产+皿+机+2=0在(0,2)上有2个不相等的实根人飞，不妨设0＜%＜弓＜2,

m2-4（机+2）刈

八mA

。＜一万＜2

g=t2+mt+m+2,则＜解得——26，故山的取

g（0）=m+2乂|

g（2）=442m+Q

值范围为(-2,2-2石),

故选B.

【点睛】

形如y=g［/(x)］的函数的零点问题与函数图象结合较为紧密，处理问题的基础和关键是

作出了(X)，g(x)的图象.若已知零点个数求参数的范围，通常的做法是令r=/(x),先

估计关于r的方程g(r)=O的解的个数，再根据/(x)的图象特点，观察直线＞=，与

y=/(x)图象的交点个数，进而确定参数的范围.

3

11.——

16

【分析】

根据三倍角公式，诱导公式及&=40。，代入求值即可.

【详解】

因为sin20°sin100°sin140°=sin20°sin100°sin40°

=sin40°sin(600+40。)sin(60°-40°)

=-sin120°=—.

48

所以sin20°sin60°sin100°sinl40°=—x—.

8216

3

故答案为：一

16

13

12.——

3

【分析】

根据三视图确定空间几何体的形状，运用体积公式进行求解即可.

【详解】

由该几何体的三视图可知，该几何体为一个长方体与一个三棱锥的组合体,

长方体的体积为：72x72x2=4-

三棱锥的体积为：1x：x2xlxl=J,故该几何体的体积为4+，=U.

32333

13

故答案为：—

3

13.-

2

【分析】

对已知不等式两边平方并化简，利用平面向量数量积的定义和投影的概念，可得最小值.

【详解】

由|2@+6卜—可得—得4M2+4ZZ0+5229H一6万./；+庐，所以

2b

2ah>a-设G，5的夹角为夕，则2同•忸卜05。2区『，所以问即口在,

同

方向上的投影的最小值是二.

2

故答案为：—

2

14.3210

【分析】

利用等差数列的通项公式与前〃项和公式求出q，d,再利用等差数列的前“项和公式求

出520.

【详解】

由己知及等差数列的通项公式与求和公式可得=4+101=12①,

[^71

S”=17q+^~^d=102②，由①②得q=-18,d=3,

20x19

二§20=20x(-18)+x3=210.

2

故答案为：3：210

1029

1C5.

36

【分析】

利用分布列的性质求得a=与，进而求得尸（X=1）,P（X=2）/（X=3）,得到E（/）,

最后利用数学期望的相关公式求解即可.

【详解】

a

P(X=n)

++〃+1〃+2

由尸（X=1）+P（X=2）+P（X=3）=1,即@一@=1,得。=与，

551

XXP/XX

)一

-=(--，-=

/9-\6-

18

,55129

E(X)lx—+n2xF3X-=——

18618

29

故答案为:

~6

16.2_=]48

3

【分析】

设双曲线C的标准方程为0-芯=1(“>0力>0),利用待定系数法可求得双曲线C的标

准方程，利用平面向量数量积的运算法则可得出归山疗。|=49-归尸「，求出I尸石的最小

值，即可得解.

【详解】

由题意可设双曲线C的标准方程是冬一盘=1(。>0,b>0)，

a2+/72=c2=4r21

6r=1

则〈1645，解得<2-所以，双曲线。的标准

—T--7=1[b-=3

ab~

直线AE的斜率为％"=上叵=芷，直线AE的方程为y

4-22

在直线A尸的方程中，令x=0,可得y=—3石，即点8(0,—3有卜

因为》-=笑迤，»=>,；%.,所以，点尸为线段AB的中点，

故以为直径的圆的圆心为b，且半径为|A尸|=7,

如图，连接心、PF、BD，

由于点。是以AB为直径的圆上异于A、3的一点，则8£>_LAD，

由双曲线的几何性质可知|P可min=C-a=\,

PA=PF+FA>PB=PF+FB=PF-FA^

\PA\\PD\^-PAPD=-PA（PB+BD^-PAPB-BDPA=-PAPB

=-（而+司•（即-司=病-而2=|研T研=49-|PF|2<49-1=48.

2

故答案为：％2_2_=］；48.

3

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是会转化，会根据向量数量积的几何意义把|04卜］。。|转化为

-序•而，再根据平面向量的知识求解.

177上有

23

【分析】

设直线EF分别与DA,DC的延长线交于点P，Q,连接2尸，交A4于点M,连接DXQ,

交CG于点N,得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分

割法求得截面面积；取FN的中点G,连接QG,CG,结合平面与平面所成角的定义得到

NQGC为平面0与平面BAG。所成的角或其补角，最后利用余弦定理求解即可.

【详解】

设直线EF分别与DA,DC的延长线交于点P,Q,连接。/，交AA,于点〃，连接DXQ,

交CG于点N,连接ME，FN,

，平面a截直四棱柱ABCD-AB£Di的截面为五边形D.MEFN.

由平行线分线段成比例知：AP=BF=1,故ZP处1=3,故4DRP为等腰直角三角形，

AAM^AP^l,故A|M=2,则AM=RN=2VI,ME=EF=FN=E.连接M/V,易

知MN=23，

，五边形D】MEFN可以分成等边三角形D\MN和等腰梯形MEFN两部分，

等腰梯形MEFN的高h="及了-/［叵）=当，则等腰梯形MEF7V的面积为

亚总.又SDMT-25

•••五边形RMEFN的面积为2舟半=当.

易如CF=CQ=CN=l,则由勾股定理得田="。=尸。=点.

取FN的中点G,连接CG,QG,则,QGLFN,且CG=昱,QG=—^

22

故NQGC为平面a与平面88。。所成角或其补角.

13,

CG2+QG2_℃2/+］一］=6

在^QGC中，由余弦定理得cos/QGC=

2CGQG一°垃指一3

2x---x—

22

平面a与平面BB,C,C所成角的余弦值为且.

3

故答案为：述，且.

23

【点睛】

关键点点睛：根据直棱柱的性质，应用平面的延展性补全截面，得到面a截

ABC。—45G〃的截面为五边形。MEFN,求各边长度，进而求面积；根据二面角定

义，找到其对应的平面角并求其余弦值.

JI7乃

18.(1)0：(2)单调递增区间为0,—,—,71.

_12jL12.

【分析】

(1)将x=0代入函数/(x)的解析式，直接求值即可；

(2)先由三角恒等变换得到/(x)=6sin(25+g)-|，令/(x)=()，解出方程的根，

结合“X)的图象与x轴的两个相邻交点间的最短距离为S，求出3=1,即可得到了(力的

解析式，然后利用正弦函数的图象与性质求解即可.

【详解】

(1)〃0)=cos［一舍)+4cos20-1=-；+4-g=°.

C\6•c1c/1+COS2cox7

(2)f(X)=--sin2(ox——cos2a)x+4x-------------

v72222

33

昱sin2a)x+—cos2a)x——

222

3

=百sin2a>x+—

I32

71

令〃%)=0,则sin2a)x+-

3

所以2a工=生+2氏或2a>x+生=」+2女兀，ZwZ,

3333

,,左万97rz兀，“

故工=—或工=----1------,keZ,

co6coCD

所以/(x)的图象与x轴的两个相邻交点间的最短距离为—

6/6

故CD—\,/(x)=73sinf2x+^j-1.

3

717乃

当XG[O,〃]时,2xH--G—

333

n7T7T37r77r7万

当2X+《Gpj,即或2x+(G--,即X£[——，何时，/(X)单调

33223---------1122

递增,

JT7万

故/(X)的单调递增区间为0,—,—、兀

12

【点睛】

关键点点睛：熟练掌握三角恒等变换公式以及三角函数的图象和性质是解题关键.

19.(1)证明见解析；(2)名叵2.

51

【分析】

(1)取A。的中点Q，连接PQ，BQ,可知AOJ_平面P8Q,从而可证明.

(2)先证明平面PBQ±平面ABCD，过点P作PG_L8Q于点G,则PG，平面ABCD,

故以G为原点，以G8,G尸所在直线分别为>,z轴，过点G且与平行的直线为x轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解线面角.

【详解】

(1)、证明：取AD的中点Q，连接尸Q，BQ,

因为所以PQJ-AO.

由题意知8C//AO,BC=-AD,

2

又£>Q=；A£>,所以BC//DQ,BC=DQ,

所以四边形BCOQ为平行四边形，所以。C//3Q,

因为NA0C=9O。，所以OCA。，所以3QLA。.

又PQ,BQu平面PBQ,PQC\BQ=Q,

所以ADJ_平面P8Q,

又PBu平面P8Q,所以ADLPB.

(2)由AO1平面PBQ,AOu平面A8CZ),得平面P6Q，平面ABCO,过点尸作

26,8。于点6,则PG_L平面ABC。，故以G为原点，以GB,GP所在直线分别为

丁，z轴，过点G且与AD平行的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

易知NPQ8为二面角P—AO—C的平面角，所以cos/PQ8=；.

在心/SPOG中，PQ=0cosZPQG^-,得QG=@，PG=-，

333

则QG=§6Q,

/<11,_立,U力,Ln/f_i1,,U力,rL1i,空,U力p[o,o,竺],当,

I3)I233J

所以而G会叫

设平面PAD的法向量为7=(x,y,z)，

用2瓜门

x------y--------z=0,

n-PA=Q,33

则《即.

n-PD=Q币2瓜.

—x------y--------z=0,

33

则尤=0,令y=2叵,则z=T,故｝=(0,2立,一1)为平面P4。的一个法向量.

设直线MA与平面PAD所成的角为仇

762V102

则sin8=kos(〃,

2

即直线MA与平面PAD所成角的正弦值为竺叵.

51

方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取

1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做

辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.

2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.

3、求：求出所需平面的法向量

4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个

平面的法向量的夹角的余弦值

5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.

4

20.(1)证明见解析；%313"+(-1广]；1(2)证明见解析.

【分析】

13〃+2

(1)由题得--------，即得数列〈------为等比数列,再求数列{4}

“44

«„+i4714J

的通项公式;

(2)对〃分类讨论利用放缩法求证.

【详解】

(1)因为「一+」-=3H,

%a„

1邛+2113"

所以--------二3“制----

-4a„

193”

又-4--7444

13,,+3

所以数列!------1卜是以己为首项，一1为公比的等比数列,

44

纪，，13n+'3(,-i

所以--------=—•(—11)V

%44,

13

即一=:[3"+(-1广」

册4

11,a_13

(2)由4

当〃24且〃为偶数时,

4(1431+3"4

4-------<—

3Un-l+l3"-133"T.3"+2-3"T3

〜114111

所以q+。2+…+：+

363予十/…+F

1

112313

<—+戛五—+一一<—

231-1227545

3

3

当〃23且〃为奇数时，“+1为偶数，则+…+4,+4+1<M，

3

由于。”>。，则q+外■1----*■见<1♦

综上，

a,+a2+•••+«„<|.

【点睛】

方法点睛：方法技巧若数列的通项公式中含有则在求数列的前〃项和时，常需要对

n分奇偶分别求解.

21.(1)(2,0)；(2)2.

【分析】

/2\(2\

(1)设A^-,y}LB，M(根,0),由就丽=-4得到y%=-8,设直线

<*/'>

AB:x="+m与抛物线方程联立，由根与系数的关系得到〃2=2,即可得到点M的坐标;

111

(2)由题意及弦长公式得到|AM|,忸制,利用根与系数的关系得到---------T-----------=—

|AM|2\BMf4

32

进而得T-忸M的表达式，然后构造函数,利用函数的单调性求函数的最大值，即可

\AM\

得到\A3M2f一忸闸的最大值.

【详解】

(1)设A个，%，B，〃(私0),

I4/I—/

2、

yLv

则砺•砺=4刃解得,必=-8,

x=ty+m,、

设直线=+联立方程，得<2-得y2-4(y—4加=0,

[y-=4x,

由根与系数的关系知，-4/〃=,％=—8,所以m=2,

故点"的坐标为(2,0).

(2)由(I)知，x+%=4f,yty2=-8.

易知=jri/R，\BM\=^\+r\y2\，

]1=114+416f2+16_1

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