高一数学 必修一 教案

第一章 集合与函数概念1.1集合一、集合的概念1．集合与元素一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示．说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．2．元素与集合的关系如果是集合的元素，就说属于集合，记作___________；如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作___________．注意：与取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A，与这两种情况中必有一种且只有一种成立．3．集合中元素的特征（1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准．（2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．（3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系．4．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．二、常用的数集及其记法1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作或；3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z；4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q；5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R．易错点：为非负整数集（即自然数集），包括0，而表示正整数集，不包括0，注意区分．三、集合的表示方法1．列举法把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用表示所有实数是错误的，应是．2．描述法用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式．四、Venn图，子集1．Venn图的概念我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图．说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．2．子集（1）子集的概念一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）．用Venn图表示AB如图所示：（2）子集的性质①任何一个集合是它自身的子集，即．②传递性，对于集合，，，如果，且，那么．五、从子集的角度看集合的相等如果集合是集合的___________（），且集合是集合的___________（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．用Venn图表示如图所示．六、真子集1．真子集的概念如果集合，但存在元素___________，我们称集合是集合的真子集，记作（或）．如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示：2．真子集的性质对于集合，，，如果，，那么．辨析：子集与真子集的区别：若，则或；若，则．七、空集1．空集的概念我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集．2．空集的性质（1）空集是任何集合的___________，即；（2）空集是任何非空集合的___________，即．注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．八、并集1．并集的概念一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示：（1）（2）（3）由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集．注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．2．并集的性质对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得：（1），；（2）；（3）；（4）．九、交集1．交集的概念一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：___________（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示：（1）A与B相交（有公共元素）（2），则（3）A与B相离（）注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．2．交集的性质（1）；（2）；（3）；（4）．十、全集与补集1．全集的概念一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集．2．补集的概念对于一个集合A，由全集U中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示：说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．（2）若，则或，二者必居其一．3．全集与补集的性质设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的定义可得：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．K知识参考答案：一、1．研究对象一些元素2．3．确定性互异性无序性二、1．非负整数2．正整数3．整数4．有理数5．实数三、1．一一列举2．共同特征共同特征四、1．封闭曲线2．（1）任意一个元素五、子集子集六、1．，且七、1．不含2．（1）子集（2）真子集八、1．所有A∪B九、1．属于集合A且属于集合BA∩B十、2．不属于K—重点1．并集与交集的概念，补集的有关运算及数轴的应用，数形结合的思想；2．K—难点1．能利用Venn图表达集合间的关系；2．集合中元素的三个特性；K—易错1．在分析有关集合问题时，要注意空集的地位；2．判断集合之间的关系时，要从元素入手．1．集合的概念判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象．【例1】下列各组对象中不能构成集合的是A．正三角形的全体 B．所有的无理数C．高一数学第一章的所有难题 D．不等式2x＋3>1的解2．元素与集合之间的关系元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征．若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解．【例2】已知，则有A． B． C． D．3．集合的表示方法对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示．但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式．【例3】选择适当的方法表示下列集合：（1）1和70组成的集合；（2）大于1且小于70的自然数组成的集合．（3）大于1且小于70的实数组成的集合．（4）平面直角坐标系中函数图象上的所有点组成的集合．4．集合相等从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．【例4】已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a，2，，且两集合相等，求a，b的值．5．判断两个集合之间的关系（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B．（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素；对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断．【例5】指出下列各组中两个集合的包含关系：（1），；（2），；（3），，，．6．确定集合的子集的个数有限集子集的确定问题，求解关键有三点：（1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：和自身；（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．【例6】集合的真子集个数为A．7 B．8 C．15 D．16【名师点睛】如果有限非空集合中有n个元素，则：（1）集合的子集个数为；（2）集合的真子集个数为；（3）集合的非空子集个数为；（4）集合的非空真子集个数为．7．集合的交、并、补运算（1）“”是指所有属于集合A或属于集合B的元素并在一起所构成的集合．注意对概念中“所有”的理解：不能认为“”是由A中的所有元素和B中的所有元素组成的集合，即简单拼凑，要满足集合中元素的互异性，A与B的公共元素只能作并集中的一个元素．（2）“”是指属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合．注意对概念中“且”的理解：不能仅认为中的任意元素都是A和B的公共元素，它同时还表示集合A与B的公共元素都属于，而且并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A和集合B没有公共元素时，．（3）．全集与补集的性质：①一个集合与其补集的并集是全集，即；②一个集合与其补集的交集是空集，即；③一个集合的补集的补集是其本身，即；④空集的补集是全集，即；⑤全集的补集是空集，即．⑥若，则；反之，若，则；⑦若，则；反之，若，则；⑧德▪摩根定律：并集的补集等于补集的交集，即；交集的补集等于补集的并集，即．（4）解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求时，先求出，再求交集；求时，先求出，再求补集．【例7】设集合，则＝A． B． C． D．（2）已知集合，则A． B． C． D．（3）已知全集，则集合A． B． C． D．1．下列选项正确的是A．0∈N* B．π∉R C．1∉Q D．0∈Z2．在下列命题中，不正确的是A．{1}∈{0，1，2} B．Φ⊆{0，1，2} C．{0，1，2}⊆{0，1，2} D．{0，1，2}={2，0，1}3．下列哪组对象不能构成集合A．所有的平行四边形B．高一年级所有高于170厘米的同学C．数学必修一中的所有难题D．方程x2–4=0在实数范围内的解4．已知集合A={2，3}，下列说法正确的是A．2∉A B．2∈A C．5∈A D．3∉A5．集合{3，x，x2–2x}中，x应满足的条件是A．x≠–1 B．x≠0C．x≠–1且x≠0且x≠3 D．x≠–1或x≠0或x≠36．已知集合A={2，–1}，B={m2–m，–1}，则A=B，则实数m=A．2 B．–1 C．2或–1 D．47．集合A={x|–2≤x≤2}，B={0，2，4}，则A∩B=A．{0} B．{0，2} C．[0，2] D．{0，1，2}8．已知集合A={1，2，3}，B={x|x2–x–2<0，x∈Z}，则A∪B=A．{1} B．{1，2}C．{0，1，2，3} D．{–1，0，1，2，3}9．已知集合A={1，2}，B={0，2，5}，则A∪B中元素的个数为A．2 B．3 C．4 D．510．设全集U={3，1，a2–2a+1}，集合A={1，3}，∁UA={0}，则a的值为A．0 B．1 C．–2 D．–111．已知全集U={0，1，2，3，4}，A={2，4}，B={1，3，4}，则（∁UA）∩B=A．Φ B．{0} C．{1，3} D．{0，1，3，4}12．如果集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，4，8}，B={1，3，4，7}，那么（∁UA）∩B等于A．{4} B．{1，3，4，5，7，8}C．{1，3，7} D．{2，8}13．已知集合M={x∈Z||x|≤3}，则下列结论中正确的个数是①2.5∈M②0⊆M③{0}∩M={0}④Φ∈M⑤集合M是无限集．A．0 B．1 C．2 D．3．14．设集合A={x∈Z|x>–1}，则A．Φ∉A B．∉A C． D．{}⊆A15．设A∪{–1，1}={0，–1，1}，则满足条件的集合A共有个．A．1 B．2 C．3 D．416．设A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是A．[1，3] B．[3，+∞） C．[1，+∞） D．（1，3）17．如图所示的韦恩图中，若A={x|0≤x<2}，B={x|x>1}，则阴影部分表示的集合为A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2} C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}18．若全集U={–1，0，1，2}，P={x∈Z|x2–x–2<0}，则∁UP=A．{0，1} B．{0，–1} C．{–1，2} D．{–1，0，2}19．已知集合，则图中阴影部分表示的集合为A．{1} B．{–1，0} C．{0，1} D．{–1，0，1}20．设全集U={x∈N|x≤9}，集合A={2，5，8，9}，B={1，4，6，7，9}，则图中阴影部分表示的集合为A．{1，4，6} B．{1，4，7} C．{1，4，9} D．{1，4，6，7}21．已知集合A是由0，m，m2–3m+2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m为__________．22．由实数t，|t|，t2，–t，t3所构成的集合M中最多含有__________个元素．23．设A={x|1<x<4}，B={x|x–a<0}，若A⊆B，则a的取值范围是__________．24．已知集合A={0，1}，B={–1，0，a+3}，且A⊆B，则a等于__________．25．已知{1}⊆A⊆{1，2，3}，则这样的集合A有__________个．26．已知a∈R，b∈R，若{a，，1}={a2，a+b，0}，则a2019+b2019=__________．27．已知集合A={a，b，2}，B={2，b2，2a}，且A=B，则a=__________．28．已知集合A={x|–2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m–1}．若A∪B=A，求实数m的取值范围．29．已知集合A={x|x<–1或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．30．（2019•新课标Ⅱ）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=A．{3} B．{5} C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7}31．（2019•天津）设集合A={1，2，3，4}，B={–1，0，2，3}，C={x∈R|–1≤x<2}，则（A∪B）∩C=A．{–1，1} B．{0，1}C．{–1，0，1} D．{2，3，4}32．（2018•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2–x–2>0}，则∁RA=A．{x|–1<x<2} B．{x|–1≤x≤2}C．{x|x<–1}∪{x|x>2} D．{x|x≤–1}∪{x|x≥2}33．（2018•新课标Ⅰ）已知集合A={0，2}，B={–2，–1，0，1，2}，则A∩B=A．{0，2} B．{1，2}C．{0} D．{–2，–1，0，1，2}34．（2018•浙江）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁UA=A．∅ B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，