全等三角形经典题型50题带答案

-.z.全等三角形证明经典50题〔含答案〕：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADAADBC延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+24<AD<6又AD是整数,则AD=5：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：DADABC：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2ABABCDEF21BACDF2BACDF21E证明：

过E点，作EG//AC，交AD延长线于G

则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2

又∵CD=DE

∴⊿ADC≌⊿GDE〔AAS〕

∴EG=AC

∵EF//AB

∴∠DFE=∠1

∵∠1=∠2

∴∠DFE=∠DGE

∴EF=EG

∴EF=AC：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CACACDB证明：

在AC上截取AE=AB，连接ED

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠BAD

又∵AE=AB，AD=AD

∴⊿AED≌⊿ABD〔SAS〕

∴∠AED=∠B，DE=DB

∵AC=AB+BD

AC=AE+CE

∴CE=DE

∴∠C=∠EDC

∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C

∴∠B=2∠C：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

因为CE⊥AB

所以∠CEB＝∠CEF＝90°

因为EB＝EF，CE＝CE，

所以△CEB≌△CEF

所以∠B＝∠CFE

因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

所以∠D＝∠CFA

因为AC平分∠BAD

所以∠DAC＝∠FAC

又因为AC＝AC

所以△ADC≌△AFC〔SAS〕

所以AD＝AF

所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE

12.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.

∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;

AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°;

又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;

又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.

所以,BC=BF+FC=AB+CD.DCBAFE13.：AB//ED，∠EAB=∠DCBAFEAB//ED,AE//BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF全等于三角形DCB，所以:∠C=∠F：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠CABABCD则：

△AED是等腰三角形。

所以：AE=DE

而AB=CD

所以：BE=CE(等量加等量，或等量减等量〕

所以：△BEC是等腰三角形

所以：角B=角C.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB作B关于AD的对称点B‘，因为AD是角BAC的平分线，B'在线段AC上〔在AC中间，因为AB较短〕

因为PC<PB’+B‘C,PC-PB’<B‘C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-ABPPDACB∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE∠BAC=180-〔∠ABC+∠C=180-4∠C

∠1=∠BAC/2=90-2∠C

∠ABE=90-∠1=2∠C

延长BE交AC于F

因为，∠1=∠2，BE⊥AE

所以，△ABF是等腰三角形

AB=AF,BF=2BE

∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C

BF=CF

AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求FAFAEDCB作AG∥BD交DE延长线于G

AGE全等BDEAG=BD=5

AGF∽CDF

AF=AG=5

所以DC=CF=218．〔5分〕如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．延长AD至H交BC于H;

BD=DC;

所以:

∠DBC=∠角DCB;

∠1=∠2;

∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;

∠ABC=∠ACB;

所以:

AB=AC;

三角形ABD全等于三角形ACD;

∠BAD=∠CAD;

AD是等腰三角形的顶角平分线

所以:

AD垂直BC19．〔5分〕如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB

所以MA=MB

所以∠MAB=∠MBA

因为∠OAM=∠OBM=90度

所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA

所以∠OAB=∠OBA20．〔5分〕如图，AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．证明：

做BE的延长线，与AP相交于F点，

∵PA//BC

∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线

∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形

在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线

∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF

在三角形DEF与三角形BEC中，

∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，

∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC

∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

21．〔6分〕如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B证明：在AB上找点E，使AE=AC

∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD

∴△ADE≌△ADC。DE=CD，∠AED=∠C

∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE

∠B=∠EDB

∠C=∠B+∠EDB=2∠B

22．〔6分〕如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，假设AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．〔1〕求证：MB=MD，ME=MF〔2〕当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？假设成立请给予证明；假设不成立请说明理由．分析：通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论．

解答：解：〔1〕连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，

∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA，

∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形．

∴MB=MD，ME=MF；

〔2〕连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，

∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA，

∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形．

∴MB=MD，ME=MF．

23．〔7分〕：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，〔1〕求证：△AED≌△EBC．〔2〕观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．〔直接写出结果，不要求证明〕：(1)DC∥AE，且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。由AE=BE，所以△AED≌△EBC。

〔2〕△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。24．〔7分〕如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．证明：延长BA、CE，两线相交于点F

∵BE⊥CE

∴∠BEF=∠BEC=90°

在△BEF和△BEC中

∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC

∴△BEF≌△BEC(ASA)

∴EF=EC

∴CF=2CE

∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°

又∵∠ADB=∠CDE

∴∠ABD=∠ACF

在△ABD和△ACF中

∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°

∴△ABD≌△ACF(ASA)

∴BD=CF

∴BD=2CE25、〔10分〕如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。26、〔10分〕如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。证明：

∵BE‖CF

∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM

∵BE=CF

∴△BEM≌△CFM

∴BM=CM

∴AM是△ABC的中线.27、〔10分〕如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDB相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC28、〔10分〕AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF证明：在△ABD与△ACD中AB=AC

BD=DC

AD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴∠ADB=∠ADC

∴∠BDF=∠FDC

在△BDF与△FDC中

BD=DC

∠BDF=∠FDC

DF=DF

∴△FBD≌△FCD

∴BF=FC29、〔12分〕如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。因为AB=DC

AE=DF,

CE=FB

CE+EF=EF+FB

所以三角形ABE=三角形CDF

因为角DCB=角ABF

AB=DCBF=CE

三角形ABF=三角形CDE

所以AF=DE

30.公园里有一条“Z〞字形道路ABCD，如下图，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.证：

∵AB平行CD〔〕

∴∠B=∠C〔两直线平行，错角相等〕

∵M在BC的中点〔〕

∴EM=FM〔中点定义〕

在△BME和△CMF中

BE=CF〔〕

∠B=∠C〔已证〕

EM=FM〔已证〕

∴△BME全等与△CMF〔SAS〕

∴∠EMB=∠FMC〔全等三角形的对应角相等〕

∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°〔等式的性质〕

∴E，M，F在同一直线上

31．：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．证明：

∵AF=CE

∴AF+EF=CE+EF

∴AE=CF

∵BE//DF

∴∠BEA=∠DFC

又∵BE=DF

∴⊿ABE≌⊿CDF〔SAS〕DBCcAFE32.：如下图，ADBCcAFE连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等腰△两底角相等得：角ABC=角ADC在结合条件证得：△ADE≌△ABF得AE=AF33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:∠5=∠6．因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.

又因为AC是公共边，所以AAS==>三角形ADC全等于三角形ABC.

所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC

三角形DEC全等于三角形BEC

所以∠5=∠634．因为D,C在AF上且AD=CF

所以AC=DF

又因为AB平行DE，BC平行EF

所以角A+角EDF，角BCA=角F〔两直线平行，错角相等〕

然后SSA〔角角边〕三角形全等ACBDEF35．：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点FACBDEF证明：因为AB=AC，

所以∠EBC=∠DCB

因为BD⊥AC，CE⊥AB

所以∠BEC=∠CDB

BC=CB(公共边)

则有三角形EBC全等于三角形DCB

所以BE＝CD如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。AEBDAEBDCFAAS证△ＡＤＥ≌△ADFDCBAE37.：如图,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE．假设AB=5,求ADDCBAE角C=角E=90度

角B=角EAD=90度-角BAC

BC=AE

△ABC≌△DAE

AD=AB=5

38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC证明∵AB=AC

∴△ABC是等腰三角形

∴∠B=∠C

又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形

∴△BEM全等于△CEM

∴MB=MC39.如图，给出五个等量关系：①②③④⑤．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论〔只需写出一种情况〕，并加以证明．ABABCＤＥ求证：证明：1,2

求证4

因为AD=BCAC=BD，在四边形ADBC中，连AB

所以△ADB全等于△BCA

所以角D=角C以4,5为条件，1为结论。

即：在四边形ABCD中，∠D=∠C，∠A=∠B，求证：AD=BC

因为∠A+∠B+∠C+∠D=360

∠D=∠C，∠A=∠B，

所以2(∠A+∠D)=360°，

∠A+∠D=180°，

所以AB//DC40．在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①≌②；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，〔1〕中的结论还成立吗？假设成立，请给出证明；假设不成立，说明理由.证明：∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠ACD=∠CBE．

在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB，

∴Rt△ADC≌Rt△CEB〔AAS〕，

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=DC+CE=BE+AD；

〔2〕不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB，

∴△ADC≌△CEB〔AAS〕，

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=CE-CD=AD-BE；

41．如下图，AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：〔1〕EC=BF；〔2〕EC⊥BFAAEBMCF证明;因为AE垂直AB

所以角EAB=角EAC+角CAB=90度

因为AF垂直AC

所以角CAF=角CAB+角BAF=90度

所以角EAC=角BAF

因为AE=ABAF=AC

所以三角形EAC和三角形FAB全等

所以EC=BF

角ECA=角F

(2)延长FB与EC的延长线交于点G

因为角ECA=角F(已证〕

所以角G=角CAF

因为角CAF=90度

所以EC垂直BF42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，=AB。求证：〔1〕AM=AN；〔2〕AM⊥AN。证明：

〔1〕

∵BE⊥AC，CF⊥AB

∴∠ABM+∠BAC=90°，∠A+∠BAC=90°

∴∠ABM=∠A

∵BM=AC，=AB

∴△ABM≌△NAC

∴AM=AN

〔2〕

∵△ABM≌△NAC

∴∠BAM=∠N

∵∠N+∠BAN=90°

∴∠BAM+∠BAN=90°

即∠MAN=90°

∴AM⊥AN43．如图,∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF连接BF、CE，证明△ABF全等于△DEC〔SAS〕，然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF从而求得BC平行于EF44．如图,AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由在AB上取点N,使得AN=AC

∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN

所以∠ANE=∠ACE

又AC平行BD

所以∠ACE+∠BDE=180

而∠ANE+∠ENB=180

所以∠ENB=∠BDE

∠NBE=∠EBN

BE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD

所以BD=BN

所以AB=AN+BN=AC+BD45、〔10分〕如图,:AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．证明：

∵AD是中线

∴BD=CD

∵DF=DE，∠BDE=∠CDF

∴△BDE≌△CDF

∴∠BED=∠CFD

∴BE‖CFADECBF46、(10分)：