2024届一轮复习人教A版 一元二次不等式及其解法 课件（43张）

课前·基础巩固【教材回扣】“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集______________________________R一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集________________∅________{x|x<x1或x>x2}

{x|x1<x<x2}∅

【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(

)2．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(

)3．不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ＝b2－4ac≤0.(

)4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(

)√××√

答案：C

答案：D

答案：(－3，0)

题组三易错自纠1．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围是(

)A．[－5，－4]

B．(－∞，－4]C．(－∞，－5]D．(－∞，－5)答案：C解析：令y＝x2＋mx＋4，由题意知x＝1与x＝2时，y的值恒小于等于0，即1＋m＋4≤0且4＋2m＋4≤0，所以m≤－5且m≤－4.所以m≤－5.

答案：AC

3．要使函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，则m的取值范围为________．答案：(－∞，0]

课堂·题型讲解

答案：[－1，7]解析：(1)由题意知7＋6x－x2≥0.即x2－6x－7≤0.解得－1≤x≤7，故函数的定义域为[－1，7].

答案：当x≥0时，由x2＋2x>3得x<－3或x>1，所以x>1；当x<0时，由－x2＋2x>3得x2－2x＋3<0，即(x－1)2＋2<0，无解．故不等式f(x)>3的解集为{x|x>1}．类题通法解一元二次不等式的4个步骤

答案：D解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y＝3x2－2x＋1开口向上，与x轴无交点，故3x2－2x＋1>0恒成立，即不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.

(2)解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0，其中a∈R.答案：不等式可化为(x－1)(x－a)<0且不等式对应方程的实数根为1和a，①当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}；②当a＝1时，不等式可化为(x－1)2<0，解集为∅；③当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}．变式探究：将本例(2)中的不等式“x2－(a＋1)x＋a<0”改为“ax2－(a＋1)x＋1<0”，求不等式的解集．

类题通法解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)对于ax2＋bx＋c>0(<0)的形式：当a＝0时，转化为一次不等式；当a<0时，转化为二次项系数为正的形式；当a>0时，直接求解．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根或一个根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．

答案：{x|x≤2或x≥3}(2)解不等式12x2－ax>a2，a∈R.

题型二一元二次不等式恒(能)成立问题角度1

|在R上的恒成立问题[例3]

已知函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈R，f(x)<0恒成立，则实数m的取值范围为________．答案：(－4，0]

类题通法解决此类问题常利用一元二次不等式在R上恒成立的条件，注意如果不等式ax2＋bx＋c>0恒成立，不要忽略a＝0时的情况．

答案：A解析：令f(x)＝x2－2x＋5.则f(x)的最小值为4，所以a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.故选A.角度2

|在给定区间上的恒成立问题[例4]

已知函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围是________．

巩固训练4：不等式x2－2kx－1>0对一切1≤x≤3都成立，则k的取值范围为________．答案：(－∞，0)

答案：D

类题通法不等式能成立问题，一般也是转化为函数最值，即：a>f(x)能成立⇒a>f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.巩固训练5：已知函数f(x)＝－x2＋2x－4.①若对于∀x∈[0，3]，不等式m＋f(x)>0成立，求实数m的取值范围；②若∃x∈[0，3]，使得不等式m＋f(x)>0成立，求实数m的取值范围．

解析：当x∈[0，3]时，－f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3∈[3，7].(1)依题意，m＋f(x)>0即m>－f(x)对x∈[0，3]恒成立，故m>[－f(x)]max，∴m>7，即实数m的取值范围为(7，＋∞)．(2)依题意，m＋f(x)>0即m>－f(x)对x∈[0，3]能成立，故m>[－f(x)]min，∴m>3，即实数m的取值范围为(3，＋∞)．题型三一元二次不等式的实际应用[例6]

要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600m，如果某段铁路两端相距156m，弧所对的圆心角小于180°，试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围．

类题通法利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤可概括如下：①阅读理解材料：应用题多为“文字语言，符号语言，图形语言”并用，而且不少应用题文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型．②建立一元二次不等式模型：分析题意，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题．③解数学模型：解一元二次不等式得出数学模型的解．④还原成实际问题的解：将此一元二次不等式的解集转化为实际问题的解．巩固训练6：某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．

高考·命题预测[预测1]核心素养——直观想象已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为________．答案：(－1，0)

6

8

状

元

笔

记一元二次方程根的分布情况设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x1，x2，且x1<x2，相应的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)．表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于0(x1<0，x2<0)两个正根即两根都大于0(x1>0，x2>0)一正根一负根即一个根小于0，一个根大