《三排序不等式》教学设计(部级优课)-数学教案

选修4-5排序不等式学习目标:了解排序不等式的基本形式，掌握乱序和、反序和、顺序和的定义及基大小关系，通过排序不等式的“探究-猜想-检验-证明”过程体验研究数学问题的基本方法和基本过程。会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式.教学难点：排序不等式的证明思路.一、复习准备：1.提问：前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）1.设是实数，则①(当且仅当(i=1,2,3,…,n)或存在一个数k,使得②时等号成立.2．二维形式的三角不等式：设那么：当且仅当时，等号成立。3．二维形式的三角不等式：设那么：当且仅当时，等号成立。设计意图：通过复习前面经典不等式，让学生明白排序不等式也是经典不等式，它的规律简明，容易记忆，为学习排序不等式作出示范。新课学习：设且，是任一个排列，则.①我们把叫做数组的乱序和；②我们把叫做数组的顺序和；③我们把叫做数组的反序和；问：什么情况下S取得最大小？什么情况下S取得最小？思考1：已知两组数1，2，3和4,5,6,若是4，5，6的一个排列，则的最大值是_____,最小值是_____.如果数大一点呢?思考2：已知两组数1，2，3和45,25,30,若是45，25，30的一个排列，则的最大值是_____,最小值是_____.设计意图：通过上述两个事例，使学生体会数学学习的基本方法：“探究—猜想—检验—证明”，培养由特殊事物发现一般规律并进而证明一般规律的能力。猜想：设且，是任一个排列，则.猜想结论：设计意图：通过微视频的学习，对排序不等式的证明，重点要放在使学生认识基本证明思路上——通过逐步调整比较法，一步一步地接近目标，如此继续下去最终可以得到相应的大小关系。证明：设为两组实数，是任一个排列，则①，的排列只有个，所以S的取值最多只有个，其中必有最大值。当，设②②−①得：S′−S=这说明将①式中的第一项调换为后和式不减小.若则转而考察，并进行类似讨论..类似地，可以证明，将①式中的第一项调换为，第二项调换为后和式不减小.如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是数组{}由小到大排序的情况，即同样可以证明，最小和数是反序和，即.∴.至此我们证明了前面的猜想是正确的.定理(排序不等式或称排序原理)设为两组实数，是任一个排列,则，当且仅当或时，反序和=顺序和.例1．有10人各拿一只水桶接水，设水龙头注满第个人的水桶需要分，假定这些各不相同，问只有一个水龙头时，应如何安排人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？解：等待总时间是：∵根据排序不等式，当时，总时间取最小值设计意图：对于实际问题，关键是正确建立数学模型，即把问题数学化，使实际问题转化为数学问题，抓住问题中的关键词“等候的总时间”。例2．设是互不相同的正整数，求证：证明:取两组数与（…,）设是…,的一个排列,且∵，由排序不等式得≥.∵…,是个互不相同的正整数,∴…,是个互不相同的正整数,∵∴∴≥∴设计意图：如何应用排序不等式作出示范，即应用排序不等式证明不等式.三．课堂小结：①；②