2022-2023学年天津市双港中学高二上学期期末数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat12页2022-2023学年天津市双港中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．过点且倾斜角为的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据倾斜角求斜率，应用点斜式写出直线方程即可.【详解】由题设，所求直线的斜率，且过，所以直线方程为.故选：B2．准线为的抛物线的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据抛物线的准线得到，进而写出抛物线方程.【详解】由准线为，即抛物线焦点为，即，所以抛物线方程为.故选：D3．已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程．【详解】解：由题意可知，，的中点为，又圆的半径为，故圆的方程为．故选：B．4．下列图案关于星星的数量构成一个数列，该数列的一个通项公式是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据已有的图形结合选项验证求解.【详解】由图形可知：当n=1时，有1个，排除BD,当n=3时，有6个，排除A故选：C5．下列命题中正确的个数为（

）①直线的一个方向向量为②双曲线的渐近线方程为

③椭圆的长轴长为

④圆的半径为.A． B． C． D．【答案】B【解析】由直线的斜率，结合直线的方向向量的概念，可判定①正确的；由双曲线方程，求得的值，得出渐近线的方程，可判定②不正确；由椭圆方程，求得的值，可判定③不正确；化为圆的标准方程，可判定④正确.【详解】对于①中，由直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，所以是正确的；对于②中，由双曲线，可得，所以其渐近线方程为，所以不正确；对于③中，由椭圆，可得，所以其长轴长为，所以不正确；对于④中，由圆，可得，所以圆的半径为，所以是正确.故选：B.6．已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意可得，，再由即可求出，得出方程.【详解】∵双曲线1(a>0，b>0)的焦距为，，，又双曲线的一条渐近线与直线2x+y+1=0平行，∴，结合，可解得，∴双曲线的方程为.故选：B.7．如图所示，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线与BF交于点D，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设左顶点，左焦点，上顶点，下顶点，由两点间斜率公式求出直线的斜率与直线的斜率，由题意，直线的斜率与直线的斜率的积为，联立椭圆中，即可求出椭圆的离心率．【详解】解：设左顶点，左焦点，上顶点，下顶点则直线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以，所以，即，又，所以，所以，解得，因为，所以，故选：B．8．已知平行六面体的各棱长均为，，，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析得出，利用空间向量数量积可求得的值.【详解】由已知可得，，，所以，，所以.故选：A.9．已知数列满足，，记数列的前项和为，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用求通项公式，进而可得，再应用分组求和，结合等差、等比前n项和公式求.【详解】由题设且(n≥2)，故且，所以，又也满足，故，则，所以.故选：B二、填空题10．已知为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=【答案】15【分析】根据等差数列的性质求解．【详解】∵为等差数列，∴，∴．故答案为：15．【点睛】本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质是解题关键，等差数列中，若正整数满足，则．特别地若，则．11．已知，且，则.【答案】【解析】利用空间向量垂直的坐标表示结论求解即可【详解】故答案为：12．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是.【答案】相交【解析】分别求出圆与圆的圆心与半径，再利用圆心距与半径之间的关系确定两圆的位置关系.【详解】圆，圆心，圆，圆心，又圆心距，则，所以两个圆是相交的.故答案为：相交【点睛】方法点睛：本题考查两圆的位置关系，利用几何法：圆心距d与r1，r2的关系判断：方法位置关系几何法：圆心距d与的关系外离外切相交内切内含13．圆与圆关于直线对称，则圆的方程为．【答案】【分析】求得圆的圆心，由此求得圆的方程.【详解】设关于直线对称点为，则，解得，所以圆的方程为.故答案为：14．若直线与双曲线始终有公共点，则取值范围是．【答案】【分析】联立方程得到，讨论，两种情况，计算得到答案.【详解】直线方程与双曲线方程联立：得：,当时，即时，直线与渐近线平行，有一个公共点，显然符合条件；当时，由，解得，所以且；综上，取值范围是.故答案为：.15．给出下列命题：①直线与线段相交，其中，则的取值范围是；②圆上恰有3个点到直线的距离为1；③直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆恰好与直线相切.其中正确的命题有.（把正确的命题的序号填上）【答案】②③【分析】求直线所过定点与线段端点所成直线斜率，数形结合求的范围判断①；根据圆心到直线距离与圆的半径数量关系确定点的个数判断②；联立抛物线与直线，结合韦达定理、弦长公式求及中点横坐标，进而可判断③.【详解】由过定点，该点与所成直线斜率为，与所成直线斜率为，如下图示，要使直线与线段相交，则，①错；

圆心且半径，则到直线距离，如下图示，在直线左上方圆弧存在一点到直线距离为1，右下方圆弧存在两点到直线距离为1，所以圆C上恰有3个点到直线的距离为1，②对；

将直线代入抛物线整理得且，则，，所以，故以为直径的圆C的半径为，又圆心C的横坐标为，故C到的距离为，综上，以为直径的圆恰好与直线相切，③对.

故答案为：②③三、解答题16．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0.（1）若圆C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M、N两点，且|MN|，求m的值；（2）在（1）成立的条件下，过点P（2，1）引圆的切线，求切线方程.【答案】（1）m＝4（2）切线方程为x＝2或y＝1【分析】（1））易得到圆心的距离，，由弦长公式可得的方程，解方程可得．（2）由（1）可得圆的方程，可知在圆外，分斜率存在与否讨论可得.【详解】（1）圆方程可化为，则圆心，半径，所以圆心到直线l的距离则弦长，解得；（2）由（1）得圆方程表示为，可知点在圆外，①当斜率不存在时，直线方程为时，圆心到直线的距离等于半径，该直线与圆相切；②当直线斜率存在时，设过的直线方程为，即，则，解得，此时切线方程为，所以切线方程为或.【点睛】本题考查直线与圆相交弦长的计算与过圆外一点的圆的切线问题，属于中档题.17．如图，平面，.

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）利用线面平行的判定证面、面，再由面面平行的判定得面面，最后根据面面平行的性质证结论；（2）构建空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值；（3）由（2）所得坐标系，向量法求面面角的余弦值；【详解】（1）由，面，面，则面，由，面，面，则面，而，面，故面面，由面，则平面；（2）由平面，平面，则，又，以为原点构建空间直角坐标系，，，所以，则，，，令面的一个法向量，则，若，则，所以，即直线与平面所成角的正弦值为.

（3）由（2）知：，则，令面的一个法向量，则，若，则，所以，即平面与平面夹角的余弦值为.18．已知椭圆的一个顶点为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，与轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于（其中为原点），证明直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆离心率得关系，又可得，即可求得，从而得椭圆的方程；（2）设直线方程为，，，直线与椭圆联立即可得交点坐标关系，从而可得中点的坐标，根据直线与垂直，即可得直线的斜率，利用点斜式得的方程，即可确定直线的定点.【详解】（1）依题意，，∴，又，，∴，∴∴椭圆的标准方程为.（2）由（1）知右焦点坐标为，设直线方程为，，，由得，，恒成立，∴，∴，则，∴直线的斜率∵直线过点且垂直于∴直线的斜率，令得点坐标为，∴直线的方程为，即∴直线恒过定点.19．已知数列的前项和是公比大于0的等比数列，且满足.(1)求和的通项公式；(2)若数列的前项和为，求证：；(3)对任意的正整数，设数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)