马尔可夫骨架过程理论在肥胖症中的应用

马尔可夫骨架过程理论在肥胖症中的应用

0控食健康的影响你的体重正常吗？你可以通过联合国组织公布的所谓体重指数（简记为bmi）来测量。bmi被定义为以体重（单位：kg）为基础的水平（单位：m）的比例。根据这一点，bmi通常为18.5-25，大于25，超过30，呈胖。中国的相关机构考虑到了中国当地人的特点，计划将25改为24和30。在国人逐渐过上小康生活后,不少自己感觉肥胖的人纷纷奔向减肥药品、食品的专柜,可是大量事实说明,多数减肥药品、食品根本达不到减肥的目标,或者即使能减肥一时,也难以维持下去,许多医生和专家的意见是只有通过控制饮食和适当的运动,才能在不伤害身体的条件下,达到适当减轻体重并维持下去的目的.通常,当体内能量守恒被破坏时就会引起体重的变化,人们通过饮食吸收热量,转化为脂肪等,导致体重增加;又由于代谢和运动消耗热量,引起体重减少.减肥时应以不伤害身体为前提,即吸收热量不要过少,减少体重不要过快最好.在以前对减肥模型的讨论中,都是对模型进行假设,然后列出一个差分方程,对其求解,从而对以后体重作出估算,但是对于在任一时刻t的体重L(t)的瞬时分布所满足的方程组,至今还没有讨论过,本文将利用中南大学侯振挺教授等人提出的马尔可夫骨架过程理论来讨论减肥模型,并对减肥模型进行马尔可夫骨架过程建模,得出结论:在任一时刻t的体重L(t)的瞬时分布是某一方程的最小非负解.1nn及n0且n假设(E,ε)是可测空间,X={X(t,ω),0≤t<∞}是定义在完备概率空间(Ω,F,P)上取值于(E,ε)的随机过程.定义1称随机过程X={X(t,ω),0≤t<∞}为马尔可夫骨架过程,如果存在一停时列{τn}n≥0,满足(C1)τ0=0且τn↑∞,并对任意的n≥0,τn<∞⇒τn<τn+1;(C2)对于一切n=0,1,…,有τn+1=τn+θτnτ1;(C3)对于每个τn和任意定义在E[0,∞)上有的界ε[0,∞)—可测函数f,有E[f(X(τn+·))|FXτnXτn]=E[f(X(τn+·))|X(τn)],P-a.s.定理1设X={X(t),t≥0}是以{τn}∞n=0为骨架时序列的正则马尔可夫骨架过程,则对于任意的x∈E,t≥0,A∈ε,有Ρ(x,t,A)=h(x,t,A)+∫E∫t0(∞∑n=1q〈n〉(x,ds,dy))h(y,t-s,A)从而{P(x,t,A)}是如下非负方程组的最小非负解:P(x,t,A)=h(x,t,A)+∫E∫t0q(x,ds,dy))p(y,t-s,A)更多的马尔可夫骨架过程知识可参看或或.2模型a:吸收热量法本文将利用马尔可夫骨架过程理论来考虑减肥数学模型,根据引言中的分析,并参考有关生理数据,作出如下假设:假定在时刻0某要减肥人的体重为i个单位(i>0).由于体重的增加或减少都是连续的,但这样在实际中操作性太差,因此在模型中我们体重的增加与减少作为离散型来处理,即每次只考虑增加或减少一个单位的体重,具体如下:①体重的增加正比于吸收热量,假定每次增加一个单位的体重,且增加体重的时间间隔am独立同分布.其分布函数为:A(t)=P(am≤t)②运动量引起的体重减少正比于体重,且与运动形式有关,假定每次减少一个单位的体重,且减少体重的时间间隔bm独立同分布.其分布函数为:B(t)=P(bm≤t)③正常代谢引起的体重减少正比于体重,假定每次减少一个单位的体重,且减少体重的时间间隔dm独立同分布.其分布函数为:D(t)=P(dm≤t)在此模型中,我们只考虑在这三个因素对体重的影响,而对于代谢消耗系数、个人特殊的生理条件等因素不予考虑.用L(t)表示时刻t此人的体重,由假设可知L(t)一般不是马尔可夫过程,现利用中的方法引进补充变量:ˉθ(t),ˆθ(t),˜θ(t).ˉθ(t)表示到时刻t为止已有多长时间此人未增加一个单位的体重;ˆθ(t)表示到时刻t为止已有多长时间此人没有因为运动而减少一个单位的体重;˜θ(t)表示到时刻t为止已有多长时间此人没有因为正常代谢而减少一个单位的体重.则{L(t)‚ˉθ(t),ˆθ(t),˜θ(t)}为一马尔可夫过程.以上假设中,am,bm,dm均相互独立,m∈Z.3下面利用马尔可夫骨架过程理论来讨论减肥模型:以B表示IR+=[0,∞)上所有的Borel集的全体,假设τ0≡0,τ1,τ2,…,τn(n≥1)表示其一系列断点,即在{τn},(n≥1)处此人增加一个单位的体重;或者此人因为运动而减少一个单位的体重;或者此人因为正常代谢而减少一个单位的体重;或者以上两个、三个事件同时发生.则{L(t)‚ˉθ(t),ˆθ(t),˜θ(t)}也是以{τn},(n≥1)为其骨架时序列的马尔可夫骨架过程.令Aˉθ(t)=A(ˉθ+t)-A(ˉθ)1-A(ˉθ)Bˆθ(t)=B(ˆθ+t)-B(ˆθ)1-B(ˆθ)D˜θ(t)=D(˜θ+t)-D(˜θ)1-D(˜θ)显然以上三式分别表示此人增加一个单位的体重、此人因为运动而减少一个单位的体重、此人因为正常代谢而减少一个单位的体重的剩余时间分布.显然有:τn↑+∞,(n→+∞),对于i＞0‚j＞0‚ˉθ,ˆθ,˜θ∈ΙR+‚ˉA,ˆA,˜A∈B(ΙR+).令h(i,ˉθ,ˆθ,˜θ,j,ˉA,ˆA,˜A‚t)=Ρ{L(t)=j,ˉθ(t)∈ˉA‚ˆθ(t)∈ˆA‚˜θ(t)∈˜A‚t＜τ1|L(0)=i,ˉθ(0)=ˉθ,ˆθ(0)=ˆθ,˜θ(0)=˜θ}q(i,ˉθ,ˆθ,˜θ,ds,j,ˉA,ˆA,˜A)=Ρ{τ1∈ds‚L(τ1)=j,ˉθ(τ1)∈ˉA‚ˆθ(τ1)∈ˆA‚˜θ(τ1)∈˜A|L(0)=i,ˉθ(0)=ˉθ,ˆθ(0)=ˆθ,˜θ(0)=˜θ}显然有引理1h(i,ˉθ,ˆθ,˜θ,j,ˉA,ˆA,˜A‚t)={0(1-Aˉθ(t))(1-Bˆθ(t))(1-D˜θ(t))⋅ΙˉA(ˉθ+t)ΙˆA(ˆθ+t)Ι˜A(˜θ+t)j≠ij=i从而我们有如下定理:定理2Ρ(i,ˉθ,ˆθ,˜θ,j,ˉA,ˆA,˜A‚t)是下列非负线性方程的最小非负解,也是其唯一有界解:Ρ(i,ˉθ,ˆθ,˜θ,j,ˉA,ˆA,˜A‚t)=h(i,ˉθ,ˆθ,˜θ,j,ˉA,ˆA,˜A‚t)+∫t0(1-Bˆθ(s))((1-D˜θ(s))dAˉθ(s)Ρ(i+1,0,ˆθ+s‚˜θ+s‚j,ˉA,ˆA,˜A,t)+∫t0(1-Aˉθ(s))((1-D˜θ(s))dBˆθ(s)Ρ(i-1,ˉθ+s‚0‚˜θ+s‚j,ˉA,ˆA,˜A,t)+∫t0(1-Aˉθ(s))((1-Bˆθ(s))dD˜θ(s)Ρ(i-1,ˉθ+s‚ˆθ+s‚0‚j,ˉA,ˆA,˜A,t)+∑s≤t(Αˉθ(s)-Αˉθ(s-))(Bˆθ(s)-Βˆθ(s-))⋅(1-D˜θ(s))Ρ(i,0,0,˜θ+s,j,ˉA,ˆA,˜A‚t)+∑s≤t(Αˉθ(s)-Αˉθ(s-))(1-Bˆθ(s))(D˜θ(s)-D˜θ(s-))Ρ(i,0,ˆθ+s,0,j,ˉA,ˆA,˜A‚t)+∑s≤t(1-Αˉθ(s))(Bˆθ(s)-Βˆθ(s-))(D˜θ(s)-D˜θ(s-))Ρ(i-2,ˉθ+s‚0,0,j,ˉA,ˆA,˜A‚t)+∑s≤t(Αˉθ(s)-Αˉθ(s-))(Bˆθ(s)-Bˆθ(s-))⋅(D˜θ(s)-D˜θ(s-))Ρ(i-1,0,0,0‚j,ˉA,ˆA,˜A‚t)(以上i＞0‚j＞0‚ˉθ,ˆθ,˜θ∈ΙR+,ˉA,ˆA,˜A∈B(ΙR+)证明:因为{L(t),ˉθ(t),ˆθ(t),˜θ(t)}为一马尔可夫过程,也是以{τn}为其骨架时序列的马尔可夫骨架过程,易知{L(t),ˉθ(t),ˆθ(t),˜θ(t)}是正则的,由定理1立得本定理.定理3若A(t),B(t),D(t)皆为连续函数,则Ρ(i,ˉθ,ˆθ,˜θ,j,ˉA,ˆA,˜A‚t)是下列非负线性方程的最小非负解,也是其唯一有界解:Ρ(i,ˉθ,ˆθ,˜θ,j,ˉA,ˆA,˜A‚t)=h(i,ˉθ,ˆθ,˜θ,j,ˉA,ˆA,˜A‚t)+∫t0(1-Bˆθ(s))(1-D˜