2021年内蒙古包头市中考数学试卷（解析版）

2021年内蒙古包头市中考数学试卷

一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分.每小题只有一个正确选项，请将

答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

1.（3分）（2021•包头）据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车

46.61万辆,将46.61万用科学记数法表示为4.661X10",则"等于（）

A.6B.5C.4D.3

2.（3分）（2021•包头）下列运算结果中，绝对值最大的是（）

A.1+（-4）B.（-1）4C.（-5）1D.V4

3.（3分）（2021•包头）已知线段AB=4,在直线AB上作线段BC,使得BC=2,则线段

A。的长为（）

A.1B.3C.1或3D.2或3

4.（3分）（2021•包头）柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋

是同一双的概率为（）

A.AB.Ac.AD.A

3456

5.（3分）（2021•包头）如图，在Rt/XABC中，ZACB=90°'后，BC=2,以点A为圆心，

交AB于点D,交AC于点C,AC的长为半径画弧，交AB于点E,则图中阴影部分的面

积为（）

A.8-ITB.4-TCC.2-—D.1--

44

6.（3分）（2021•包头）若尢=&+1,则代数式W-2r+2的值为（）

A.7B.4C.3D.3-272

7.（3分）（2021•包头）定义新运算规定：a®b=a-2b.若关于x的不等式x颔>3

的解集为x>-\,则机的值是（）

A.-1B.-2C.1D.2

8.（3分）（2021•包头）如图，直线直线/3交于点A,交/2于点B,过点8的直

线/4交八于点C.若N3=50°,Nl+/2+N3=240°,则/4等于（）

C.60°D.50°

9.（3分）（2021•包头）下列命题正确的是（）

A.在函数>=-」一中，当x>0时，y随x的增大而减小

2x

B.若a<0,则l+a>l-a

C.垂直于半径的直线是圆的切线

D.各边相等的圆内接四边形是正方形

10.（3分）（2021•包头）已知二次函数了二办2-bx+cQW0）的图象经过第一象限的点（1,

-b）,则一次函数-ac的图象不经过（）

A.第一象限B.第C.第三象限D.第四象限

11.（3分）（2021•包头）如图,C中，AB=AC,连接与8C相交于点O,垂

足为C,与AD相交于点E,则20E+AE的值为（

BD

c.5D.反

34

12.（3分）（2021•包头）如图,在平面直角坐标系中，矩形的OA边在x轴的正半

轴上，点8的坐标为（4,2）,反比例函数y=2（x>0）,线08交于点E,与AB

交于点F,DE,EF

®sinZDOC=cosZBOC；②OE=BE；③S.D0E=SABEF;®OD：DF=2：3.

其中正确的结论有（）

二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在答题卡上对应的横线

上。

2

13.（3分）（2021•包头）因式分解：至L_+or+“=

4

14.（3分）（2021•包头）化简：（2m+-A-）4--^-=____.

m2-42-mm+2

15.（3分）（2021•包头）一个正数。的两个平方根是26-1和44,则a+b的立方根为.

16.（3分）（2021•包头）某人5次射击命中的环数分别为5,10,7,x,10.若这组数据的

中位数为8.

17.（3分）（2021•包头）如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,垂足为B,且B£>=3,与

AB相交于点M,过点用作仰_1_（?8,则MN的长为.

18.（3分）（2021•包头）如图，在nA8C£>中，>40=12,连接OC.若OC=AB,贝gABCO

的周长为.

19.（3分）（2021♦包头）如图，8。是正方形ABC。的一条对角线，E是8。上一点，连接

CE,EF,EF=EC,则NBAF的度数为

20.（3分）（2021•包头）已知抛物线y=7-2%-3与x轴交于A,B两点（点A在点B的

左侧）与y轴交于点C（4,y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，△ACE的

面积为.

三、解答题：本大题共有6小题，共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写

在答题卡的对应位置。

21.（8分）（2021•包头）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛.参

加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名（如图），已知竞赛成绩满分为100

分，统计表中“，解答下列问题：

甲组20名学生竞赛成绩统计表

成绩（分）708090100

人数3“b5

（1）求统计表中a,人的值；

（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（70+80+90+100）+4=

85（分）.根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，请写出正确的算式并计算出结果；

（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由.

乙组20名学生竟骞成绩统计图

22.（8分）（2021•包头）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线的同一

侧选定C,。两个观测点2@机，CD长为反（物网），8。长为ZC£）B=135°

242

（4、B、C、O在同一水平面内）.

（1）求A、。两点之间的距离;

（2）求隧道AB的长度.

23.Q0分）（202。包头）小刚家到学校的距离是1800X.某天早上，小刚到学校后发现

作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校.已

知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速

度的1.6倍.

（1）求小刚跑步的平均速度；

（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说

明理由.

24.（10分）（2021•包头）如图，在锐角三角形ABC中，AO是BC边上的高，交AC于点F,

过点F作FGLAB,交标于点G,交AO于点M,DE,DF.

（1）求证：ZGA£>+Z£DF=180°；

（2）若/ACB=45°,AD=4,tanZABC=2

25.（12分）（2021•包头）如图，已知AABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，CP.

（1）如图1,以BC为直径的半圆。交A8于点Q,交AC于点R正上时，连接力P,CD

=AP,连接。P；

（2）如图2,E是BC边上一点，月.EC=3BE,连接EP并延长，交AC于点尸，若、。，

求证：4EF=3AB；

（3）如图3,M是AC边上一点，当AM=2MC时，AB=6mMP=y[^i\,△BCP的面

积为S2,求SI-52的值（用含“的代数式表示）.

26.（12分）（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-7+4x经过坐标原点，

与x轴正半轴交于点A,点〃）

（1）如图1,当山>0,n>0,

①求点M的坐标；

②若点8（至，y）在该抛物线上，连接OM,C是线段8M上一动点（点C与点M,B

4

不重合），过点C作CD〃MO,线段。。与MC是否相等？请说明理由；

（2）如图2,该抛物线的对称轴交x轴于点K,点E（x,工），当〃?>2,〃>0,过点A

3

作x轴的垂线，交直线EM于点M点G的坐标为（0,工&）,连接GF.若EF+NF=2MF

5

图1图2

2021年内蒙古包头市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分.每小题只有一个正确选项，请将

答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

1.（3分）（2021•包头）据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车

46.61万辆，将46.61万用科学记数法表示为4.661X10",则"等于（）

A.6B.5C.4D.3

【解答】解:因为46.61万=466100=4.66IX1（A

所以将46.61万用科学记数法表示为7.661X13，则n等于5.

故选:B.

2.（3分）（2021•包头）下列运算结果中，绝对值最大的是（）

A.1+（-4）B.（-1）4C.（-5）1D.日

【解答】解：因为|1+（-4）|=|-8|=3,|（-1）5|=|1|=1,|（-6）'|=|-^=1,

45

函，

且工<6<2<3,

5

所以绝对值最大的是选项人

故选：A.

3.（3分）（2021•包头）已知线段AB=4,在直线48上作线段BC,使得BC=2,则线段

4。的长为（）

A.1B.3C.1或3D.2或3

【解答】解：根据题意分两种情况，

①如图1,

：AB=4,BC=5,

：.AC=AB-BC=2,

•••Q是线段AC的中点，

.-.AD=lAC=lx2=r

②如图2,

"：AB=4,BC=2,

.\AC=AB+BC=6,

是线段AC的中点，

.,.A£）=$AC=』X6=3.

25

线段4。的长为2或3.

故选：C.

|II|

ADBC

图2

illI

ADCB

图1

4.（3分）（2021•包头）柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋

是同一双的概率为（）

A.AB.Ac.AD.A

3456

【解答】解：两双不同的鞋用A、a、B、b表示、a表示同一双鞋，B,

画树状图为：

开始

aBbABbAabAaB

共有12种等可能的结果，其中取出的鞋是同一双的结果数为4,

所以取出的鞋是同一双的概率=_£=旦.

123

故选：A.

5.（3分）（2021•包头）如图,在RtZ\ABC中，Z4CB=90°丑BC=2,以点A为圆心，

交AB于点D,交AC于点C,4c的长为半径画弧，交AB于点E,则图中阴影部分的面

积为（）

A.8-TTB.4-TIC.2------D.1~——

44

【解答】解：根据题意可知AC=Q/_BC2={/蕾-23=1，

设NB=”°,ZA=m°,

VZACB=90°,

AZB+ZA=90°,即”+，*=90,

.c_czc.c、_1,n兀XZ2m兀XI，（n+m）兀

••5阴影部分一SAABC-（SmEBF+S^DAC）——X9X1------------------“u——

2360360360

=1-A,

4

故选：D

6.（3分）（2021•包头）若》=&+1,则代数式/-2x+2的值为（）

A.7B.4C.3D.3-2&

【解答】解：•.”=&+1,

-4=亚，

（x-1）8=2,即/-7x+l=2,

Ax6-2x=l,

-2x+2=8+2=3.

故选：C.

7.（3分）（2021•包头）定义新运算"⑥"，规定：a®b=a-2b.若关于x的不等式

的解集为x>-1,则，”的值是（）

A.-1B.-2C.1D.2

【解答】解•：a⑻b=a-2b,

=x-Im.

Ax-2m>3,

.\x>2m+3.

;关于x的不等式x®m>3的解集为x>-3,

:・2/??+3=-2,

.•.加=-2.

故选：B.

8.（3分）（2021•包头）如图，直线八〃/2,直线/3交/1于点A,交/2于点3,过点8的直

线由交4于点C.若/3=50°,Nl+N2+/3=240°,则N4等于（）

A.80°B.70°C.60°D.50°

【解答】解：如图，

.*.Z7+Z3=180°,

：Nl+/7+/3=240°,

.,.N2=240°-（Z5+Z3）=60°,

VZ3+Z6+Z5=180°,Z3=50°,

.*.Z7=180°-Z2-Z3=70°,

：/7〃/2,

；./4=/4=70°,

故选:B.

9.（3分）（2021•包头）下列命题正确的是（）

A.在函数>=-」一中，当x>0时，y随x的增大而减小

2x

B.若a<0,则l+a>l-a

C.垂直于半径的直线是圆的切线

D.各边相等的圆内接四边形是正方形

【解答】解：A、在函数），随x的增大而增大，不符合题意;

2x2

B、若〃<6,故原命题错误;

C、垂直于半径且经过半径的外端的直线是圆的切线，不符合题意;

。、各边相等的圆内接四边形是正方形，是真命题，

故选：

10.（3分）（2021•包头）已知二次函数ynaf-fer+cCa/。）的图象经过第一象限的点（1,

-b）,则一次函数y=/zr-ac的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：•••点（1,-b）在第一象限.

-b>0.

：.h<l.

•••二次函数y=af-6x+c（aWO）的图象经过第一象限的点（3,-b）.

/•-b=a-6+c.

〃+c=0.

a#0.

ac<6.

；.一次函数y=6x-ac的图象经过一、二、四象限.

故选：C.

11.（3分）（2021•包头）如图，在AABC中，AB=AC,连接A。，与BC相交于点O,垂

足为C,与A。相交于点E,BC=6,则20E+AE的值为（）

BD

【解答】解：：△O8C和△ABC关于直线8C对称,

：.AC=CD,AB=BD,

"：AB=AC,

：.AC=CD=AB=BD,

二四边形ABAC是菱形,

：.AD.LBCfAO=DO=4fZACO=ZDCO,

SD=24=9+16=5

,1,VDO+BO^'

VC£1CD,

/./DC0+NEC0=9Q°^ZCAO+ZACO=ZDCO+ZCAO,

：.ZCAO^ZECO,

AtanZECO=M=CO,

COAO

•••E-O=--3,

34

：.EO=^-,

4

：.AE=L,

3

.20E+AE^2X7V_5

BD5~2

方法二，也可以通过证明△OCES^QOB.

故选：D.

12.（3分）（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABe的04边在x轴的正半

轴上，点B的坐标为（4,2）,反比例函数y=2（x>0）,与对角线。8交于点E,与A8

X

交于点F,DE,EF

@sinZ£）OC=cosZBOC；®OE=BE；③SADOE=S£、BEF；®0D：DF=2：3.

【解答】解：①矩形0A8C中,

*：B（4,2）,

・・・0A=8,0C=2,

由勾股定理得：。8=在百，=4遥，

当y=2时，8=2,

x

•,X=1f

：.D(4,2),

：.CD=],

由勾股定理得：0口=、m+、3=娓,

：.sinZDOC=^-=-L=J^-,

ODV35

cosZBOC―—2=2^1.,

2755

sinZDOC=cosZBOC,

故①正确；

②设08的解析式为：y=kx(攵W0),

把(7,2)代入得：4k=3,

.\k=­f

2

...y="JC,

2

当L=2时，

6x

：.E(2,3),

；.E是。8的中点，

：.OE=BE,

故②正确；

③当x=4时，y=—>

7

：.F(4,A),

6

：.BF=2-A=3.,

42

.'.S^BEF=—X—(4-2)=—,

242

171

SAD0£=AX2x4-yXix2-yX4X1

=4-4-A

2

-_-7，

2

:.SADOE=SABEF,

故③正确；

④由勾股定理得：DF=42+号）5=弓^,

，：0D=娓,

.0D：;而

..而一国

2

即OD：DF=2：3.

故④正确；

其中正确的结论有①②③④，共4个.

故选：A.

二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在答题卡上对应的横线

上。

13.(3分)(2021•包头)因式分解："_+"+。=a(Xv+1)2

42

【解答】解：原式=a(-kx4+x+l)=a(-kr+1)2,

48

故答案为：a（2r+l）6.

2

14.（3分）（2021•包头）化简:,2m1],1=j

2

'm-42-mm+2

【解答】解：原式=2m-（m+2）.（“+2）

（m+7）（m-2）

=1.

故答案为2.

15.（3分）（2021♦包头）一个正数〃的两个平方根是2b-1和H4,则。+8的立方根为2

【解答】解：:一个正数。的两个平方根是2b7和6+7,

：.2b-1+/;+2=0,

：.b=-1.

.\b+6=-1+4=4,

♦・。=9.

a+h=9+(-6)=8,

V8的立方根为4,

：.a+b的立方根为2.

故答案为：2.

16.(3分)(2021•包头)某人5次射击命中的环数分别为5,10,7,x,10.若这组数据的

中位数为83.6.

【解答】解：根据题意，数据5,7,x,10的中位数为8,

则有x=8,

这组数据的平均数为工(5+10+7+3+10)=8,

5

则这组数据的方差52=当(5-4)2+(10-8)7+(7-8)4+(8-8)4+(10-8)2]=

5

3.6,

故答案为：3.5.

17.(3分)(2021•包头)如图，在RtZSABC中，/4CB=90°,垂足为B,且80=3,与

48相交于点M,过点M作用N_LC8,则例N的长为_旦_.

【解答】解：VZACB=90°,BDVCB,

：.AC//MN//BD,NCNM=NCBD,

：.ZMAC^ZMBD,NMCA=NMDB=NCMN,

:AMACSAMBD,XCMNSACDB,

.MC_AC2MN_CM

"MD"BD"3"BD"CD'

•CM6

CD5

•••M,N二2,

35

；.MN=8.

7

故答案为：旦

5

18.（3分）（2021•包头）如图，在oABCD中，AD=12,连接。C.若0C=AB,贝gABCQ

的周长为24+6、乐.

【解答】解：连接0E,过点C作CFLA。交于点尸,

EC

；四边形ABCD为平行四边形,

：.AB=CD,AD=BC,

：.ZEOD+ZOEC=ISO°,

•••。0与2C相切于点E,

0ELBC,

：.N0EC=90°

ZEOD=90°,

VCF1AD,

：.ZCFO=90°,

四边形OEC尸为矩形，

：.FC=OE,

为直径，AD=12,

FC=OE=OD=1AD=5,

2

VOC=AB,CF1.AD,

0F=l.0D=5,

2

在RtZiOFC中，由勾股定理得，

0C2=OF2+FC2=32+42=45,

：.AB=OC=3y]~4,

J.^ABCD的周长为12+12+3泥+6泥泥，

故答案为：24+8A/5-

19.（3分）（2021•包头）如图，3。是正方形A8CD的一条对角线，E是BD上一点,连接

CE,EF,EF=EC,则N84尸的度数为22.5°.

【解答】解：如右图，连接AE,

:BD为正方形ABCD的对角线，

AZBDC=45°,

"：DE=DC=AD,

：.NDEC=NOCE=©一遭—=67.5。，

2

VZ£>CB=90°,

：.ZBCE=900-NDCE=90°-67.30=22.5°,

；EF=EC,

AZF£C=1800-ZEFC-ZECF=180°-22.5°-22.3°=135°,

VZB£C=1800-ZDEC=180°-67.5°=112.5°,

；.NBEF=135°-112.70=22.5°,

"：AD=DE,/AOE=45°,

AZA£D=1800~45°=67.6°,

2

：.ZBEF+ZAED=22.5°+67.5°=90°,

AZAEF=180°-90°=90°,

在△ADE和△EQC中，

'AD=DE

<ZADE=ZEDC>

DE=DC

A/\ADE^/\EDCCSAS),

：.AE=EC,

：.AE=EF,

即AAEF为等腰直角三角形，

：.ZAFE=45°,

:.NAFB=NAFE+NBFE=45°+22.6°=67.5°,

VZABF=90°,

：.ZBAF=90°-ZAFB=90°-67.5°=22.7°,

故答案为：22.5°.

20.（3分）（2021•包头）已知抛物线y=7-2x-3与x轴交于A,B两点（点A在点B的

左侧）与），轴交于点C（4,y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，AACE的

面积为4.

【解答】解：当y=0时，x2-4x-3=0,解得A?=-1,X2=4,则A（-1,B（3,

抛物线的对称轴为直线x=4,

当x=0时，y=x2-4x-3--3,则C（6,

当x=4时，y=7-3x-3=5,则£>（2,

连接A。交直线x=l于E,交y轴于尸点，

;BE+DE=EA+DE=AD,

此时8E+DE的值最小,

设直线AD的解析式为y=kx+b,

-k+b=0fk=l

把A(-1,7),5)代入得

2k+b=5Ib=5

二直线A。的解析式为）'=x+l,

当x=l时，y=x+5=2,2),

当x=4时，y=x+l=l,5),

S&ACE—S^ACF+S^ECF——^8X1+A.

26

三、解答题：本大题共有6小题，共60分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写

在答题卡的对应位置。

21.（8分）（2021•包头）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛.参

加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名（如图），已知竞赛成绩满分为100

分，统计表中m解答下列问题：

甲组20名学生竞赛成绩统计表

成绩（分）708090100

人数3ab5

（1）求统计表中“，匕的值；

（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（70+80+90+100）4-4=

85（分）.根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，请写出正确的算式并计算出结果；

（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由.

乙组20名学生竟赛成绩统计图

【解答】解：⑴:每组学生均为20名,

：.a+b=20-3-5=12（名），

'：h=5a,

6?—4»b=8；

（2）小明的计算不正确，

正确的计算为：70X5+80*4+9°X8+100X5=87.5（分）；

20

（3）竞赛成绩较好的是甲组，

理由：乙组20名学生竞赛成绩的平均分：100x360-90-90-144+90x9090+70X

360360360

144

360（

80.5<87.7,

竞赛成绩较好的是甲组.

22.（8分）（2021•包头）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线A8的同一

侧选定C,力两个观测点2叵m，CD长为与（亚网），BD长为3km,ZCDB=135°

242

（A、B、C、。在同一水平面内）.

（1）求A、。两点之间的距离；

（2）求隧道4B的长度.

AB

【解答】解：（1）过A作AE_LCO于E,如图所示:

则N4EC=N4EO=90°,

VZACD=60°,

：.ZCAE=90°-60°=30°,

:.CE=1AC=^-^AE=&3行(km),

244

：.DE=CD-CE=3(后代)-捉,

473

：.AE=DE,

.♦.△AOE是等腰直角三角形，

,4。=&4E=我X旦捉=色巨；

42

（2）由（1）得：是等腰直角三角形,

；.4。=&4E=&巨NADE=45°,

2

VZCDB=135",

AZADB=135°-45°=90°,

：.AB=2=3(km),

即隧道A8的长度为弘m.

23.（10分）（2021•包头）小刚家到学校的距离是1800米.某天早上，小刚到学校后发现

作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校.已

知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速

度的1.6倍.

（1）求小刚跑步的平均速度；

（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说

明理由.

【解答】解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x

米/分，

根据题意，得空%+43=当”，

2.6xx

解得：x=150,

经检验，x=150是所列方程的根，

所以小刚跑步的平均速度为150米/分.

（2）他不能在上课前赶回学校，理由如下：

由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，

则小刚跑步所用时间为18004-150=12（分），

骑自行车所用时间为12-4.5=7.5（分），

•.•在家取作业本和取自行车共用了3分，

•••小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+4.5+3=22.7（分）.

又；22.5>20,

所以小刚不能在上课前赶回学校.

24.（10分）（2021•包头）如图，在锐角三角形48c中，是BC边上的高，交4c于点凡

过点尸作FGLAB,交踊于点G,交于点M,DE,DF.

(1)求证：NG4D+NED尸=180°；

(2)若/AC3=45°,AD=4,tan/ABC=2

【解答】（1）证明：由题可知NAGF=NAOF（同弧所对的圆周角相等）,

VGFVAB,A。为圆的直径，

AZAGF+ZGAE=90°,ZADF+ZFAD=90°,

：.ZGAE=ZFAD,

：.ZGAE+ZDAE=ZFAD+ZDAE,即ZGAD=NEAF,

：四边形AEQF是圆的内接四边形，

.,.ZEAF+ZEDF=180°,

：.ZGAD+ZEDF=]SO0.

（2）解：如图，

是圆的直径，且4。是△ABC的高，

AZAED=ZADB=ZAHM=ZAFD=W0,

XAHMsXADB,

•••,AH--A--D-,

HMBD

■anN48C=35_=2,

BD

•AH=9

HM

VZACB=45°,

NDAC=NAOF=/AFO=45°,

ZAOF=90°,

,在Rt^A/ZM与Rt△尸OM中：NAMH=NFMO（对顶角），

XAHMsAFOM,

.FO=AH=5

•♦赢而一

"."AD=4,

；.OF=OA=2,

...四=5,AM=OA-OM=\,

ON

设“M=x,则4，=2x,

在Rt^AHM中有：AH&+HM2=AM2,

即（7x）?+/=8,解得汨=义与，jQ=-YE（舍去），

_54

6

"：OF=OA=2,

:.AF=2瓜

在RtZ\AHF中，有：AH2+HF2=AFli,

2

即（2正）2+加=（5A/2）>

3_

解得〃尸=盟5,或HF=-置5,

55

故HF的长为竺反.

5

25.（12分）（2021•包头）如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，CP.

（1）如图1,以BC为直径的半圆。交A8于点。，交AC于点R演上时，连接AP,CD

=AP,连接。P;

（2）如图2,E是BC边上一点，且EC=3BE,连接EP并延长，交AC于点尸，若

求证：4EF=3A8；

（3）如图3,M是AC边上一点，当AM=2MC时，AB=6a,MP=^i\,△BCP的面

积为S2,求S1-S2的值（用含。的代数式表示）.

o,R

图1图2图3

【解答】解：（1）如图1,连接8D,

,/△ABC是等边三角形,

J.AB^BC,ZABC=60°,

在△84P和△8C£>中，

'AB=BC

"ZBAP=ZBCD-

AP=CD

:.△BAPqABCD(SAS),

:.BP=BD,NABP=NCBD,

,：ZABP+ZPBC=60°,

；.NCBD+NPBC=60°,

即NPB£)=60°,

.♦.△BOP是等边三角形，

：.NBPD=60°,

是。。的直径,

/•ZBPC=90°,

:.NCPD=NBPC-NBPD=90°-60°=30°；

(2)如图2,连接4P交8c于。，

「△ABC是等边三角形，

：.AB=AC^BC,N4BC=/AC8=60°,

,:BP=CP,

C.ADLBC,BD=CD=3_LAB,

26

AAD=AB'sinZABC=AB'sin60°=J^AB,

2

'：yf^AB=4BP,

:.BP=^1AB,

2__________________

・..PC={BP2_BD2=J呼⑻2_(1_起)2=多8,

:.PD=1AD,

2

；EC=3BE,

：.BE=^BC,

6

•：BD=1.BC,

2

：.BE=^-BD,

2

...EP是△AB。的中位线，

：.EF//AB,

:ACEFSMCBA,

.EF=CE=3BE_3

,,ABCB6BET

：.6EF=3AB；

(3)如图3,过点A作AOLBC于点。，交AC于点F,

由(2)得：AD=J^AB=3匹,BC=AC=AB^6a,

2

*.'NCMP=150°,

：.ZPMF=\S00-ZCMP=180°-150°=30°,

,：ZCHP=()0o,

.,.PH=PM,sinNPMF=V^・sin30°=^“'

MH=PM.cosNPMF=4^a・cos30°=2，

2

\'EF1BC,

/.ZCEF=90°,

AZCFE=90°-ZACB=90Q-60°=30°,

:.NCFE=NPMF,

：.PF=PM=-/^i,

：.FH=PF-cosZPFH=-/ja-cos