2021年浙江省湖州市中考数学试卷（解析版）

2021年浙江省湖州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只

有一个是正确的.请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字

母的方框涂黑，不选，多选、错选均不给分。

1.（3分）实数-2的绝对值是（）

A.-2B.2C.AD.-A

22

【分析】根据数轴上表示的一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，即可得出答

案.

【解答】解：实数-2的绝对值是：2.

故选：B.

【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键.

2.（3分）化简正的正确结果是（）

A.4B.+4C.2近D.±272

【分析】根据二次根式的性质化简即可.

【解答】解：配=74X2=f乂近=2近.

故选：C.

【点评】本题考查了二次根式的化简，算术平方根，解题时注意：算术平方根与平方根

的区别.

3.（3分）不等式3x-1>5的解集是（）

A.x>2B.x<2C.x>—D.x<A

33

【分析】不等式移项合并，把X系数化为1，即可求出解集.

【解答】解：不等式3x-1>5,

移项合并得：3x>6,

解得：x>2.

故选：A.

【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解本题的关键.

4.（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（）

A.经过红绿灯路口，遇到绿灯

B.射击运动员射击一次，命中靶心

C.班里的两名同学，他们的生日是同一天

D.从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球

【分析】根据不可能事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可.

【解答】解：A、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项不符合题意；

8、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；

C、班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故本选项不符合题意；

。、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，故本选项符合题意;

故选：D.

【点评】本题考查随机事件，不可能事件，必然事件，理解随机事件，不可能事件，必

然事件的意义是正确判断的前提.

5.（3分）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平,

则得到的图形可能是（）

高钙

牛奶

【分析】由平面图形的折叠及长方体的表面展开图的特点解题.

【解答】解：该长方体表面展开图可能是选项人

故选：A.

【点评】本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属

于中考常考题型.

6.（3分）如图，己知点。是△ABC的外心，NA=40°,连结B。，CO,则NBOC的度数

是（）

【分析】根据圆周角定理得出/8OC=2NA即可得到结果.

【解答】解：•••点。为的外心，乙4=40°,

/AT/BOC,

2

：.ZBOC=2ZA=SO0,

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理，熟记圆周角定理是解决问题的关键.

7.（3分）已知a,b是两个连续整数，a<如-1<b,则a,匕分别是（）

A.-2,-1B.-1,0C.0,1D.1,2

【分析】先估算出遍的范围，再得到1的范围即可.

【解答】解：..TVSVd,

•,-1<V3<2.

"'•0<V3-1<1>

故选：C.

【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是

解题的关键.

8.（3分）如图，已知在△ABC中，ZABC<90Q,ABWBC,BE是AC边上的中线.按下

列步骤作图：①分别以点8,C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于

点M,N；②过点“，N作直线MN,分别交8C,BE于点。,O；③连接CO,DE.则

下列结论错误的是（）

A.OB=OCB.ZBOD=ZCODC.DE//ABD.DB=DE

【分析】利用基本作图得到"N垂直平分BC,根据线段垂直平分线的性质得到OB=OC,

BD=CD,OD±BC,则可对A选项进行判断，根据等腰三角形的“三线合一”可对B选

项进行判断；根据三角形中位线的性质对C选项进行判断；由于QE=LB,BD=LBC,

22

AB^BC,则可对。选项进行判断.

【解答】解：由作法得MN垂直平分8C,

：.OB=OC,BD=CD,ODYBC,所以A选项不符合题意；

：.0D平分NBOC,

:.NBOD=NCOD,所以B选项不符合题意；

"：AE=CE,DB=DC,

.♦.QE为△ABC的中位线，

J.DE//AB,所以C选项不符合题意；

DE=1AB,

2

而BD=LBC,

2

:.BDWDE,所以。选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线

段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作

已知直线的垂线）.也考查了三角形中位线性质.

9.（3分）如图，已知在矩形A8CO中，AB=1,点P是A£＞边上的一个动点，

连结BP,点C关于直线8P的对称点为G，当点P运动时，点G也随之运动.若点尸

从点A运动到点。，则线段CCi扫过的区域的面积是（)

C.等

D.2n

【分析】由临界状态确定出C1的运动路径，明确点P从点A运动到点D,则线段CC1

扫过的区域为：扇形8CC”和△BCU,再分别计算两部分面积即可.

【解答】解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C',

当F与。重合时，点C关于BP的对称点为C",

.•.点P从点A运动到点。，则线段CG扫过的区域为：扇形BCC"和△8CC1,

在△8CO中，VZBCD=90°,BC=«,CD=\,

，tan/£)8C=-L=虫,

V33

:.NDBC=30°,

：.ZCBC"=60°,

:BC=BC"

...△BCC为等边三角形,

360

作C'F_LBC于尸，

•.,△8CC"为等边三角形,

AC'F=tan60°义业=亘，

22_

ASABCC'--^-XV3

...线段CCI扫过的区域的面积为：n+刍返.

4

故选:B.

【点评】本题考查了以矩形为背景的轴对称，扇形的面积计算，等边三角形的判定与性

质等知识，解题的关键是画出线段CG扫过的图形.

10.（3分）已知抛物线y=a?+6x+c（“r0）与x轴的交点为A（1,0）和B（3,0）,点

P\（Xi，yi）,Pi（x2,封）是抛物线上不同于A,B的两个点，记△PAB的面积为Si，

△PMB的面积为S2，有下列结论：①当制>况+2时，Si>S2；②当XI<2-X2时，S\<

52；③当［ri-2|>贬-2|>1时，5i>S2;④当M-2|>应+2|>1时，S\<Si.其中正确结

论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】不妨假设。>0,利用图象法一一判断即可.

【解答】解：不妨假设”>0.

①如图1中，Pl,P2满足XI>X2+2,

图1

"：PIP2//AB,

/.SI=52,故①错误.

②当xi=-2,xi--1,满足XI<2-A2，

则S1>S2,故②错误，

③•••瓦-2|>应-2|>1,

...P1，尸2在X轴的上方，且P1离X轴的距离比P2离X轴的距离大,

：.Si>S2,故③正确，

④如图2中，Pl，尸2满足hi-2|>以2+2|>1,但是S1=S2，故④错误.

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关

键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11.（4分）计算：2X2'=1.

【分析】直接利用负整数指数暴的性质计算得出答案.

【解答】解：2X2'=2x2=1.

2

故答案为：1.

【点评】此题主要考查了负整数指数基，正确掌握相关运算法则是解题关键.

12.（4分）如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,AC=1,AB=2,贝ijsinB的值是

1

【分析】根据在直角三角形中sin8=£■，代值计算即可得出答案.

AB

【解答]解：ZACB=90°,AC=],AB=2,

AB2

故答案为：1.

2

【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握在直角三角形中，正弦=整•是解

斜边

题的关键.

13.（4分）某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同，若以每1000张奖券

为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中

奖的概率是A.

—50―

【分析】根据概率公式直接求解即可.

【解答】解：只抽1张奖券恰好中奖的概率是四坦=」一

100050

故答案为：J_.

50

【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除

以所有可能出现的结果数.P（必然事件）=1;P（不可能事件）=0.

14.（4分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五

角星（A,B,C,D,E是正五角星的五个顶点），则图中/A的度数是36度.

【分析】正五角星中，五边形尸GHMN是正五边形，根据正多边形及邻补角的性质，即

可求得/AFN=/ANF=72°,然后根据三角形的内角和定理可求得NA的度数.

【解答】解：如图，

•••正五角星中，五边形尸是正五边形，

二NGFN=NFNM=15N）X130—=］（）8。,

5

N4尸N=N4NF=180°-ZGF/V=180°-108°=72°,

AZA=180°-ZAFN-ZA^F=180°-72°-72°=36°.

故答案是：36.

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解五边形FGHMN是正五边形是解题

关键.

15.（4分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3,4）,M是抛物线丫=以2+法+2

（“W0）对称轴上的一个动点.小明经探究发现：当2的值确定时，抛物线的对称轴上

a

能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线y=a?+6x+2QW0）的

对称轴上存在3个不同的点M,使△AOM为直角三角形，则巨的值是2或-8.

a

【分析】由题意AAOM是直角三角形，当对称轴xWO或xW3时,可知一定存在两个以A,

O为直角顶点的直角三角形，当对称轴x=0或x=3时，不存在满足条件的点M当以OA

为直径的圆与抛物线的对称轴》=一互相切时，对称轴上存在1个以点M为直角顶点的

2a

直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点例，使AAOM为直角三角形，利用图象法

求解即可.

【解答】解：•••△AOM是直角三角形，

...当对称轴x#0或xW3时，一定存在两个以A,O为直角顶点的直角三角形，且点M

在对称轴上的直角三角形，

当对称轴x=0或x=3时，不存在满足条件的点M,

当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴》=-互相切时，对称轴上存在1个以M为直

2a

角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M,使aAOM为直角三角形（如

图所示）.

观察图象可知，或4,

2a

.•.也_=2或-8,

a

故答案为：2或-8.

【点评】本题考查二次函数的性质，直角三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关

键是判断出对称轴的位置，属于中考填空题中的压轴题.

16.（4分）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一

个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块,

再拼成三个小正方形（阴影部分）.则图中AB的长应是1.

A也/②

kV）甸①

【分析】如图，设力E=x.利用面积关系求出。E,再利用勾股定理求出CE,利用三角

函数的性质求出DT,AT,可得结论.

【解答】解：如图，设

CD

由题意3£>E2=1,

.•.OE=返，

3

在RtaCDE中，ZCED=90°,CD=1,

2

・••EC=YCD2-DE2=JF一（与=~

.•.tan/EC£>=^=理，

_CDEC

.•.£）7=返，

2_

：.AT=1-返，

2

：NABT=/TCD,

AtanNABT=tanZTCD,

•AL=DT,

*'ABCD'

V2V'2

•••--------2―f

AB1

：.AB=yj2~••

故答案为：V2-1-

【点评】本题考查图形的拼剪，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是求出OE

的长，属于中考常考题型.

三、解答题(本题有8小题，共66分)

17.(6分)计算：x(3+2)+(1+x)(1-x).

【分析】根据单项式乘多项式和平方差公式化简即可.

【解答】解：原式=7+2x+l-/

=2x+1.

【点评】本题考查了平方差公式，单项式乘多项式，牢记平方差公式的结构特点是解题

的关键.

18.(6分)解分式方程：2x7=].

x+3

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：2x-\=x+3,

解得：x=4,

当x=4时，x+3#0,

二分式方程的解为x=4.

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

19.(6分)如图，已知经过原点的抛物线与x轴交于另一点A(2,0).

(1)求〃?的值和抛物线顶点〃的坐标；

(2)求直线AM的解析式.

y

w

【分析】(1)将A(2,0)代入抛物线解析式即可求出机的值，然后将关系式化为顶点

式即可得出顶点坐标；

(2)设直线AM的解析式为y=Ax+b(kWO),将点A,M的坐标代入即可.

【解答】解：(1):•抛物线y=2?+ntr与x轴交于另一点A(2,0),

.-.2X22+2/M=0,

.".m=-4,

.\y-2x2-4x

=2(x-1)2-2,

，顶点M的坐标为(1，-2),

(2)设直线AM的解析式为丫=履+匕(M0),

•.,图象过A(2,0),M(1,-2),

.f2k+b=0

lk+b=-2，

解得卜=2,

lb=-4

直线AM的解析式为y=2x-4.

【点评】本题主要考查了待定系数法求函数的关系式，以及二次函数顶点式的转化，属

于常考题型.

20.(8分)为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：

A.党史宣讲；B.歌曲演唱；C.校刊编撰；D诗歌创作等四个小组，团支部将各组人

数情况制成了统计图表(不完整).

各组参加人数情况统计表

小组类别ABCD

人数(人)10a155

根据统计图表中的信息，解答下列问题：

(1)求a和m的值;

(2)求扇形统计图中。所对应的圆心角度数;

(3)若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示:

小组类别ABCD

平均用时(小时)2.5323

求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间.

各组参加人数情况的扇形统计图

【分析】(1)根据C组人数和百分比可以求出四个小组所有成员总人数，进而可得。和

m的值；

(2)先求出/)的百分比再乘以360度，即可求扇形统计图中。所对应的圆心角度数；

(3)根据加权平均数的公式即可求出各小组平均每人参与活动的时间.

【解答】解：(1)由题意可知：四个小组所有成员总人数是15・30%=50(人)，

...”=50-10-15-5=20,

'：m%=104-50X100%=20%,

171—20；

(2)V54-50X360°=36°,

二扇形统计图中。所对应的圆心角度数为36°；

(3)Vx=—X(10X2.5+20X3+15X2+5X3)=2.6(小时)，

50

这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间是2.6小时.

【点评】本题考查了扇形统计图，加权平均数，解决本题的关键是掌握扇形统计图.

21.(8分)如图，已知AB是的直径，N4CD是众所对的圆周角，ZACD=30°.

(1)求ND48的度数；

(2)过点。作垂足为E,OE的延长线交于点F.若AB=4,求。F的长.

【分析】(1)连接8。，根据AB是的直径，可得乙408=90°,进而可以求ND4B

的度数；

(2)根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半可得AO的长，再根据垂径定

理和特殊角三角函数值可得EF=DE的值，进而可得DF的长.

【解答】解：(1)如图，连接8。，

VZACD=30°,

.,./B=/ACQ=30°,

：AB是。。的直径，

AZADB=90°,

：.ZDAB=90°-ZB=60°；

(2)；/A£>B=90°,ZB=30°,AB=4,

：.AD=X\B=2,

2

VZDAB=60°,且AB是直径，

：.EF=DE=ADsin60°=如,

：.DF=2DE=2yf3.

【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，解决本题的关键是掌握圆

周角定理.

22.(10分)今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三

月份为4万人，五月份为5.76万人.

(1)求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；

(2)若该景区仅有A,B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：

购票方式甲乙丙

可游玩景点ABA和B

门票价格100元/人80元/人160元/人

据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、

乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的

游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票.

①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；

②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多

少万元？

【分析】(1)设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x,根据增长率

问题应用题列出方程，解之即可；

(2)①根据题意丙种门票价格下降10元，列式100X(2-10X0.06)+80X(3-10X

0.04)+(160-10)X(2+10X0.06+10X0.04)计算，即可求景区六月份的门票总收入;

②设丙种门票价格降低加元，景区六月份的门票总收入为W万元，由题意可得卬=100

(2-0.06m)+80(3-0.04m)+(160-m)(2+0.06w+0.04w),化简得W=-0.1(m-

24)2+817.6,然后根据二次函数的性质即可得结果.

【解答】解：(1)设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为X,

由题意,得4(1+x)2=5.76,

解这个方程，得xi=0.2,X2—-2.2(舍去)，

答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为20%；

(2)①由题意，得

100X(2-10X0.06)+80X(3-10X0.04)+(160-10)X(2+10X0.06+10X0.04)

=798(万元).

答：景区六月份的门票总收入为798万元.

②设丙种门票价格降低加元，景区六月份的门票总收入为W万元，

由题意，得

W=100(2-0.06m)+80(3-0.04/M)+(160-w)(2+0.06w+0.04w),

化简，得W=-0.1(根-24)2+817.6,

；-0.1<0,

当，"=24B寸，W取最大值，为817.6万元.

答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值是817.6

万元.

【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握二

次函数的应用，一元二次方程的应用.

图1图2图3

(1)如图1,若/4C8=90°,/C4O=60°,BD^AC,AP=&,求8C的长.

(2)过点。作QE〃4C,交AP延长线于点E,如图2所示，若NC4Z)=60°,BD^AC,

求证：BC=2AP.

(3)如图3,若NCAO=45°,是否存在实数〃?，当80=加4C时，BC=2AP?若存在,

请直接写出机的值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)证△AOC是等边三角形，P为C。中点，通过等边三角形三线合一，得到

APICD,解三角形即可；

(2)借助中点和平行，可证得△(?出丝△£＞「£1,得出AP=EP=DE=AC,再证明

/\CAB^/\EBA,即可得出结论；

(3)由(2)总结的解题方法延伸到图3中，类比解决问题.

【解答】解：(1)VZACB=90°,ZCAZ)=60°,

"：BD=AC,

：.AD=AC,

...△ACC是等边三角形,

AZACD=6Q°,

是CD的中点,

：.AP±CD,

在RtZiAPC中，AP=F，

AP

AC=­=2,

sin60

.,.BC=ACXtan60°=小,

(2)证明：连接8E,

图2

'：DE//AC,

：.NCAP=/DEP,

在△(7附和△£)?£■中

，ZCAP=ZDEP

<NCPA=NEPD，

CP=DP

/.△CM^ADPE(A45),

：.AP=EP^1.^,DE=AC,

'：BD=AC,

：.BD=DE,

又；Q£'〃AC,

.•.N8DE=/C4O=60°,

；♦/\BDE是等边三角形，

：.BD=BE,ZEBD=60°,

'：BD=AC,

：.AC=BE,

在△CAB和△£'1%中

"AC=BE

<ZCAB=ZEBA>

AB=BA

.♦.△CAB部△E8A(SAS),

：.AE=BC,

：.BC=2AP,

(3)存在这样的机，机=J，.

理由如下：作DE:〃AC交AP延长线于E,连接8E,

由(2)同理可得OE=AC,/E£>B=/C4O=45°,AE=2AP,

当8£>=&AC时，

.,.BD=V2DE,

VZEDB=45°,

作BF±DE于F,

&DF,

：.DE=DF,

.•.点E,尸重合，

AZBED=90°,

:.NEBD=NEDB=45°,

：.BE=DE=AC,

同(2)可证：△CAB9XEBA(SAS),

：.BC=AE=2AP,

.•.存在力=圾，使得BC=2AP

图3

【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角函

数的计算等知识，构造出全等三角形是解决（2）的关键，类比（2）来解决（3）是解决

几何题常用的方法，体现了变中不变的思想.

24.（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=L（x>0）图象上的一

X

个动点，连结A。，A。的延长线交反比例函数丫=上（&>0,x<0）的图象于点8,过点

x

①若k=l,求证：四边形AMO是平行四边形;

②连结8，若k=4,求aBOE的面积.

（2）如图2,过点E作EP〃/W,交反比例函数y=K（火>0,x<0）的图象于点P,连

x

结OP.试探究：对于确定的实数%,动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变

化？请说明理由.

【分析】（1）①设点A的坐标为1）,则当点％=1时，点8的坐标为（-0-1）,