2024届新高考数学第一轮复习：单元卷七　立体几何与空间向量(基础巩固卷)【学生试卷】

单元卷七立体几何与空间向量(基础巩固卷)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.〖2021·重庆南开中学期末〗设m是直线，α，β是两个不同的平面，且α⊥β，则“m∥β”是“m⊥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.〖2022·河北张家口一模〗已知两条不同的直线l，m和不重合的两个平面α，β，且l⊥β，有下面四个命题：①若m⊥β，则l∥m；②若α∥β，则l⊥α；③若α⊥β，则l∥α；④若l⊥m，则m∥β.其中真命题的序号是()A．①② B．②③C．②③④ D．①④3.〖2021·江西南昌一模〗在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF为“刍甍”.书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即V＝eq\f(1,6)(2AB＋EF)×AD×h，其中h是刍甍的高，即点F到平面ABCD的距离.若底面ABCD是边长为4的正方形，EF＝2，且EF∥AB，△ADE和△BCF是等腰三角形，∠AED＝∠BFC＝90°，则该刍甍的体积为()A．eq\f(20\r(2),3) B．eq\f(20\r(3),3)C．10eq\r(3) D．eq\f(40,3)4.〖2021·安徽合肥一模〗我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”P－ABCD，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝AD，E，F分别为棱PB，PD的中点.以下四个结论：①PB⊥平面AEF；②EF⊥平面PAC；③平面PBD⊥平面AEF；④平面AEF⊥平面PCD．其中正确的是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④5.〖2021·河南开封一模〗如图，已知圆柱O1O2的底面圆半径为2，四边形ABCD是圆柱O1O2的一个轴截面，E为的中点，且异面直线AE与O1O2所成角的正切值为eq\f(\r(2),3)，则圆柱的侧面积为()A．8π B．16πC．24π D．32π6.〖2022·北京海淀区一模〗已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，若直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有顶点都在半径为2的球面上，则当该直四棱柱的侧面积最大时，异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为()A．eq\f(2\r(2),3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(\r(5),3) D．eq\f(1,3)7.〖2021·四川雅安三模〗在四面体ABCD中，已知平面ABD⊥平面ABC，且AB＝AD＝DB＝AC＝CB＝4，其外接球表面积为()A．eq\f(40,3)π B．eq\f(80,3)πC．16π D．20π8.〖2021·浙江宁波期中〗如图，已知点E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1中棱AA1、AB、BC、C1D1的中点，记二面角E－FG－D的平面角为α，直线HG与平面ABCD所成角为β，直线HG与直线DG所成角为γ，则()A．α＞β＞γ B．β＞α＞γC．β＝α＞γ D．γ＞α＝β二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.〖2022·江苏南京、盐城二模〗对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，下列选项中正确的有()A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nB．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n或m∥nC．若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂βD．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α10.〖2021·安徽安庆一模〗如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F是线段A1C1上的两个动点，且EF长为定值，下列结论中正确的是()A．BD⊥CEB．BD⊥平面CEFC．△BEF和△CEF的面积相等D．三棱锥B－CEF的体积为定值11.〖2021·东北三省四市教研联合体联考〗已知下列四个命题，其中真命题是()A．空间三条互相平行的直线a，b，c都与直线d相交，则a，b，c三条直线共面B．若直线m⊥平面α，直线n∥平面α，则m⊥nC．平面α∩平面β＝直线m，直线a∥平面α，直线a∥平面β，则a∥mD．垂直于同一个平面的两个平面互相平行12.〖2021·浙江绍兴第一中学期末〗如图，在矩形ABCD中，BC＝1，AB＝x，BD和AC交于点O，将△BAD沿直线BD翻折，则下列说法正确的是()A．存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥OCB．存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥BDC．存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥平面ACDD．存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥平面ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．〖2022·吉林长春二模〗“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜(如图，其反射面的形状为球冠)球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，则球的半径R＝________.14.〖2021·贵州遵义第一次联考改编〗已知三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，且SA＝6，AB＝4，BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝30°，则该三棱锥的体积为________，其外接球的表面积为________.15.〖2021·山西大同一模〗《九章算术》是我国的一部古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，四边形ABCD为矩形，EF∥AB，若AB＝3EF，△ADE和△BCF都是正三角形，且AD＝2EF，则异面直线AE与CF所成角的大小为________.16.〖2021·安徽合肥一模〗已知空间三条直线l1，l2，l3满足l1∥l2∥l3，两两之间的距离都为2.点A，B是直线l1上的两动点，且AB＝2，C，D分别在直线l2，l3上运动.下列命题：①四面体ABCD的体积是定值；②四面体ABCD的棱AB与CD所成角为θ，CD·sinθ是定值；③四面体ABCD表面积的最小值为eq\r(3)＋eq\r(7)＋4；④四面体ABCD的内切球的体积最大值为eq\f(\r(3),16)π.其中真命题是______(填上所有真命题的序号).四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．〖2021·郑州二模〗如图，在四棱锥P－ABCD中，AP＝PD＝DC＝CB＝1，AB＝2，∠APD＝∠DCB＝∠CBA＝90°，平面PAD⊥平面ABCD．(1)求证：PB＝PC；(2)求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.18．〖2021·八省联考〗北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是eq\f(π,3)，所以正四面体在各顶点的曲率为2π－3×eq\f(π,3)＝π，故其总曲率为4π.(1)求四棱锥的总曲率；(2)若多面体满足：顶点数－棱数＋面数＝2，证明：这类多面体的总曲率是常数.19．〖2022·湖北七市联考〗如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，PD＝DC＝BC＝2PA＝2AB＝2，PD⊥DC．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)设eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))(0＜λ＜1)，当二面角A－PM－B的余弦值为eq\f(\r(7),7)时，求λ的值.20．〖2022·江苏南通一模〗如图①，在正六边形ABCDEF中，将△ABF沿直线BF翻折至△A′BF，如图②，使得平面A′BF⊥平面BCDEF，O，H分别为BF和A′C的中点.(1)证明：OH∥平面A′EF；(2)求平面A′BC与平面A′DE所成锐二面角的余弦值.21．〖2021·四川成都一模〗如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1＝4，点E，F，M，N分别为棱CC1，BC，BB1，AA1的中点.(1)求证：平面B1D1E⊥平面C1MN；(2)若平面AFM∩平面A1B1C1D1＝l，求直线l与平