2024届新高考数学第一轮复习：单元卷七　立体几何与空间向量(能力提升卷)【学生试卷】

单元卷七立体几何与空间向量(能力提升卷)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.〖2022·北京西城区一模〗已知α、β、γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若a⊥α，b⊥α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥bD．若a∥α，a∥β，则α∥β2.〖2021·上海徐汇区一模〗如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，连接AC，BD，PB，PC，PD，下面各组向量中，数量积不一定为零的是()A．eq\o(PC,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))B．eq\o(PB,\s\up6(→))与eq\o(DA,\s\up6(→))C．eq\o(PD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))D．eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))3.〖2021·安徽五校联考〗在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别为A1B，B1D1，A1D，CD1的中点，则异面直线EF与PQ所成角的大小是()A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,6) C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)4.〖2021·广东中山一模〗《算数书》是我国现存最早的数学著作，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h，用该术可求得圆周率π的近似值.现用该术求得π的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9，则该圆锥体积的近似值为()A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D．35.〖2021·上海格致中学高三三模〗如图，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是面对角线AD1与BD上的动点，且AP＝DQ，给出下列两个判断：(1)PQ和A1C1始终是异面直线；(2)PQ长的最小值是eq\f(2\r(3),3)；则下列说法正确的是()A．(1)正确，(2)错误B．(1)错误，(2)正确C．(1)正确，(2)正确D．(1)错误，(2)错误6.〖2021·福建厦门市高三三模〗如图在四棱锥P－ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，三角形ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝90°，则四棱锥P－ABCD外接球的球心到面PBC的距离为()A．eq\f(\r(30),5) B．eq\f(\r(30),6)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(5),6)7.〖2022·哈尔滨师大附中一模〗过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作平面α，使α∥平面A1B1CD，A1D1和D1C1的中点分别为E和F，则直线EF与平面α所成角的正弦值为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(\r(3),3)8.〖2021·河南郑州一模〗如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点F，G分别是PB，PD的中点，点E在线段PC上，且CE＝3EP，则()A．PD∥EFB．直线PA与直线GF相交C．PA∥EGD．PA∥平面EFG二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.〖2021·合肥六中期末〗如图所示的几何体是一个正方体挖掉一个圆锥(圆锥的底面圆与正方体的上底面正方形各边相切，顶点在下底面上)，用一个垂直于正方体某个面的平面截该几何体，下列图形中可能是其截面图的是()10.〖2021·江苏苏锡常镇四市一模〗一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体，对于该新几何体，有()A．AF∥CDB．AF⊥DEC．新几何体有7个面D．新几何体的六个顶点不能在同一个球面上11.〖2022·济宁模拟〗如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD为正方形，给出下列说法，其中正确的是()A．该八面体的体积为eq\f(8,3)B．该八面体的外接球的表面积为8πC．点E到平面ADF的距离为eq\r(3)D．EC与BF所成的角为60°12.〖2021·山东菏泽期末〗沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的eq\f(2,3)(细管长度忽略不计)，假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论错误的是()A．沙漏的侧面积是16eq\r(5)πcm2B．沙漏中细沙的体积为1024πcm3C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为1.2cmD．该沙漏的一个沙时大约是1985秒(π≈3.14)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.〖2021·河北张家口质量检测〗莱昂哈德·欧拉是科学史上一位杰出的数学家，他的研究论著几乎涉及所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总满足数量关系V＋F－E＝2，此式称为欧拉定理.已知某凸八面体，4个面是三角形，3个面是四边形，1个面是六边形，则该八面体的棱数为________，顶点的个数为________.14.〖2022·淮北模拟〗如图，在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝1，BC＝1，AD＝2.取AD的中点E，将△ABE沿BE折起，使二面角A－BE－C为120°，则四棱锥A－BCDE的体积为________.15.〖2021·兰州一模〗如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，且A1M＝2MD1，过点M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________.16.〖2022·河北石家庄期末〗我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童ABCD－EFGH有外接球，AB＝2eq\r(6)，AD＝2eq\r(2)，EH＝eq\r(15)，EF＝eq\r(5)，平面EFGH与平面ABCD的距离为1，则该刍童外接球的体积为________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．〖2021·江西南昌一模〗如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，对角面AA1C1C是矩形，且平面AA1C1C⊥平面ABCD．(1)证明：四棱柱ABCD－A1B1C1D1是直四棱柱；(2)设AC∩BD＝O，若AB＝AA1，求二面角D－OB1－C1的余弦值.18．〖2022·山西太原一模〗如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝eq\r(2)，AC＝BC＝PC＝eq\r(5)，AB＝2，点E为PC的中点.(1)证明：平面PAB⊥平面ABC；(2)设点F在线段BC上，且eq\o(BF,\s\up6(→))＝λeq\o(FC,\s\up6(→))，若二面角C－AE－F的大小为45°，求实数λ的值.19．〖2022·四川成都二模〗如图①，在等腰三角形PBC中，PB＝PC＝3eq\r(5)，BC＝6，D，E满足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DP,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(EP,\s\up6(→)).将△PDE沿直线DE折起到△ADE的位置，连接AB，AC，得到如图②所示的四棱锥A－BCED，点F满足eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FA,\s\up6(→)).(1)证明：DF∥平面ACE；(2)当AB＝eq\r(29)时，求平面ACE与平面DEF所成锐二面角的余弦值.20．〖2021·湖南五市联考〗如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝eq\r(3)AD，∠ACB＝30°.(1)证明：PA⊥平面ABCD．(2)当直线PC与平面PBD所成的角最大时，求二面角P－BD－C的余弦值.21．〖2021·福州一中期末〗木工技艺是我国传统文化瑰宝之一，体现了劳动人民的无穷智慧.很多古代建筑和家具保存到现代依然牢固，这其中，有连接加固功能的“楔子”发挥了重要作用.如图，楔子状五面体EF－ABCD的底面ABCD为一个矩形，AB＝8，AD＝6，EF∥平面ABCD，棱EA＝ED＝FB＝FC＝5，设M，N分别是AD，BC的中点.(1)证明：E，F，M，N四点