实验班八年级上等腰三角形提高训练及答案解析

-.z.八年级〔上〕"等腰三角形"提高训练班级：________________：_______________________一、选择题〔共10小题〕1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为〔〕A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°第1题第2题2．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，假设∠MKN=44°，则∠P的度数为〔〕A．44° B．66° C．88° D．92°3．如图，∠AOB=40°，在∠AOB的两边OA、OB上分别存在点Q、点P，过点Q作直线QR∥OB，当OP=QP时，∠PQR的度数是〔〕A．60° B．80° C．100° D．120°第3题第4题4．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为〔〕A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°5．如图，AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，假设∠A=70°，则∠An﹣1AnBn﹣1的度数为〔〕A． B． C． D．第5题第6题6．如下图，在等边三角形ABC中，O是三个角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是〔〕A．7 B．6 C．5 D．47．如图，在△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC、DE交于点F，假设BD=DC=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC为〔〕A．114° B．123° C．132° D．147°第7题第8题第9题8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，AB=3，AD=1，则△AED的周长为〔〕A．2 B．3 C．4 D．59．如图，△ABC中，BA=BC，BD是三角形的角平分线，DE∥BC交AB于E，以下结论：①∠1=∠3；②DE=AB；③S△ADE=S△ABC．正确的有〔〕A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．如图，△PBC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△ABC的面积为〔〕A．10cm2 B．12cm2 C．16cm2 D．20cm2第10题第12题二、填空题〔共10小题〕11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为．12．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，假设FG=2，ED=6，则EB+DC=．13．如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于．第13题第14题14．如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F，假设△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，O到AB的距离为3cm，△OBC的面积cm2．15．有一三角形纸片ABC，∠A=80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是．第15题第16题16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为时，△ACP是等腰三角形．17．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出以下结论：①∠BAD=∠C；②AE=AF；③∠EBC=∠C；④FG∥AC；⑤EF=FG．其中正确的结论是．第17题第18题18．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停顿运动．〔1〕当点M、N运动秒时，M、N两点重合；〔2〕当点M、N运动秒后，M、N与△ABC中的*个顶点可得到等腰三角形．19．如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成的△PAB，△PBC，△PAC均为等腰三角形，则满足上述条件的所有点P有个．〔请在图形中表示点P的位置〕第19题第20题20．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．假设△AEM构成等腰三角形，则BE的长为．三、解答题〔共10小题〕21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．〔1〕求证：△DEF是等腰三角形；〔2〕当∠A=40°时，求∠DEF的度数．第21题22．如图，点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．〔1〕求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．〔2〕猜测∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜测加以证明．第22题23．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=50°，点D在线段BC上运动〔点D不与B、C重合〕，连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于E．〔1〕在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？假设可以，请求出∠BDA的度数；假设不可以，请说明理由．〔2〕假设DC=2，求证：△ABD≌△DCE．第23题24．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．〔1〕求证：AE=ED；〔2〕Q请猜测∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．第24题25．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC．第25题26．如图，BD和CD分别平分△ABC的角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．〔1〕求证：∠BDC=∠BAC；〔2〕假设AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；〔3〕在〔2〕的条件下，假设AF=BF，求∠EBA的大小．第26题27．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．〔如图1所示〕〔1〕请你在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；〔2〕△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=*°，试画出示意图，并求出*所有可能的值．第27题28．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点〔端点除外〕，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度一样，连接AQ、CP交于点M．〔1〕求证：△ABQ≌△CAP；〔2〕如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？假设变化，请说理由；假设不变，求出它的度数．〔3〕如图2，假设点P、Q在分别运动到点B和点C后，继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC=度．〔直接填写度数〕第28题29．如图，△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．〔1〕假设点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；〔2〕假设点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过几秒后，△CPQ是等腰三角形？第29题30．如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD．〔1〕求证：BD=AE；〔2〕如图2，假设M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM=BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．第30题八年级〔上〕"等腰三角形"提高训练参考答案与试题解析一．选择题〔共10小题〕1．〔2016•枣庄〕如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为〔〕A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=∠A=×30°=15°．应选A．2．〔2016•〕如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，假设∠MKN=44°，则∠P的度数为〔〕A．44° B．66° C．88° D．92°【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，应选：D．3．〔2016•聊城模拟〕如图，∠AOB=40°，在∠AOB的两边OA、OB上分别存在点Q、点P，过点Q作直线QR∥OB，当OP=QP时，∠PQR的度数是〔〕A．60° B．80° C．100° D．120°【解答】解：∵QR∥OB，∠AOB=40°，∴∠AQR=∠AOB=40°，∵OP=QP，∴∠PQO=∠AOB=40°，∵∠AQR+∠PQO+∠PQR=180°，∴∠PQR=180°﹣2∠AQR=100°．应选C4．〔2016•滨州〕如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为〔〕A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，∴∠B=25°，∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED=〔180°﹣25°〕=77.5°，∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，应选D．5．〔2016•六盘水〕如图，AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，假设∠A=70°，则∠An﹣1AnBn﹣1的度数为〔〕A． B． C． D．【解答】解：∵在△ABA1中，∠A=70°，AB=A1B，∴∠BA1A=70°，∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1==35°；同理可得，∠B2A3A2=17.5°，∠B3A4A3=×17.5°=，∴∠An﹣1AnBn﹣1=．应选：C．6．〔2016春•蓝田县期末〕如下图，在等边三角形ABC中，O是三个角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是〔〕A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：①∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形；②∵BO，CO，AO分别是三个角的角平分线，∴∠ABO=∠CBO=∠BAO=∠CAO=∠ACO=∠BCO，∴AO=BO，AO=CO，BO=CO，∴△AOB为等腰三角形；③△AOC为等腰三角形；④△BOC为等腰三角形；⑤∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠B=∠ODE，∠C=∠OED，∵∠B=∠C，∴∠ODE=∠OED，∴△DOE为等腰三角形；⑥∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO，∵∠DBO=∠ABO，∠ECO=∠ACO，∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO，∴△BOD为等腰三角形；⑦△COE为等腰三角形．故答案是：7个．7．〔2016•慈溪市一模〕如图，在△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC、DE交于点F，假设BD=DC=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC为〔〕A．114° B．123° C．132° D．147°【解答】解：∵BD=CD=CE，∴∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，∵∠ADC+∠ACD=114°，∴∠BDC+∠ECD=360°﹣114°=246°，∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=360°﹣246°=114°，∴∠DCB+∠CDE=57°，∴∠DFC=180°﹣57°=123°，应选B．8．〔2016•阿坝州〕如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，AB=3，AD=1，则△AED的周长为〔〕A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵ED∥BC，∴∠CBD=∠BDE，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=DE，△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，∵AB=3，AD=1，∴△AED的周长=3+1=4．应选C．9．〔2016•海曙区一模〕如图，△ABC中，BA=BC，BD是三角形的角平分线，DE∥BC交AB于E，以下结论：①∠1=∠3；②DE=AB；③S△ADE=S△ABC．正确的有〔〕A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：∵BA=BC，BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，BD⊥AC，且AD=CD，∵DE∥BC，∴∠2=∠3，△ADE∽△ACB，∴∠1=∠3，故①正确；===，即DE=BC，故②正确；由△ADE∽△ACB，且=可得=〔〕2=，即S△ADE=S△ABC，故③正确；应选：D．10．〔2016秋•江阴市期中〕如图，△PBC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△ABC的面积为〔〕A．10cm2 B．12cm2 C．16cm2 D．20cm2【解答】解：如图，延长AP交BC于点Q，∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P，∴AP=QP，∴S△ABP=S△BQP，S△APC=S△PQC，∴S△ABC=2S阴影=20cm2，应选D．二．填空题〔共10小题〕11．〔2016•〕等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为69°或21°．【解答】解：分两种情况讨论：①假设∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=〔180°﹣42°〕=69°；②假设∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=〔180°﹣138°〕=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．故答案为：69°或21°．12．〔2016秋•玉环县期中〕如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，假设FG=2，ED=6，则EB+DC=8．【解答】解：∵ED∥BC，∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB，∵∠GBC=∠GBE，∠FCB=∠FCD，∴∠EGB=∠EBG，∠DCF=∠DFC，∴BE=EG，CD=DF，∵FG=2，ED=6，∴EB+CD=EG+DF=EF+FG+FG+DG=ED+FG=8，故答案为8．13．〔2016秋•雁塔区校级月考〕如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于3cm．【解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，∴DE=DI﹣EI=3〔cm〕．故答案为：3cm．14．〔2016秋•东湖区月考〕如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F，假设△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，O到AB的距离为3cm，△OBC的面积18cm2．【解答】解：∵∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EOB=∠EBO，∠FCO=∠FOC，∴OE=BE，OF=FC，∴EF=BE+CF，∴AE+EF+AF=AB+AC，∵△ABC的周长比△AEF的周长大12cm，∴〔AC+BC+AC〕﹣〔AE+EF+AF〕=12，∴BC=12cm，∵O到AB的距离为3cm，∴△OBC的面积是cm×3cm=18cm2．，故答案为：18．15．〔2016•模拟〕有一三角形纸片ABC，∠A=80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是25°或40°或10°．【解答】解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD可能有①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，∴∠BDC=180°﹣∠ADB=180°﹣80°=100°，∠C=〔180°﹣100°〕=40°，②AB=AD，此时∠ADB=〔180°﹣∠A〕=〔180°﹣80°〕=50°，∴∠BDC=180°﹣∠ADB=180°﹣50°=130°，∠C=〔180°﹣130°〕=25°，③AD=BD，此时，∠ADB=180°﹣2×80°=20°，∴∠BDC=180°﹣∠ADB=180°﹣20°=160°，∠C=〔180°﹣160°〕=10°，综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°．故答案为：25°或40°或10°．16．〔2016•模拟〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为3，6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形．【解答】解：由题意可得，第一种情况：当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图1所示，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，∴CP=6cm，∴t=6÷2=3秒；第二种情况：当CP=PA时，△ACP是等腰三角形，如右图2所示，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，∴AB=10cm，∠PAC=∠PCA，∴∠PCB=∠PBC，∴PA=PC=PB=5cm，∴t=〔CB+BP〕÷2=〔8+5〕÷2=6.5秒；第三种情况：当AC=AP时，△ACP是等腰三角形，如右图3所示，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，∴AP=6cm，AB=10cm，∴t=〔CB+BA﹣AP〕÷2=〔8+10﹣6〕÷2=6秒；第四种情况：当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图4所示，作CD⊥AB于点D，∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，tan∠A==，∴，AB=10cm，设CD=4a，则AD=3a，∴〔4a〕2+〔3a〕2=62，解得，a=，∴AD=3a=，∴AP=2AD=7.2cm，∴t==5.4s，故答案为：3，6或6.5或5.4．17．〔2015春•校级期中〕如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出以下结论：①∠BAD=∠C；②AE=AF；③∠EBC=∠C；④FG∥AC；⑤EF=FG．其中正确的结论是①②④．【解答】解：①连接EG．∵∠BAC=90°，AD⊥BC．∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C，故①正确；②∵BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线．∴∠ABF=∠EBD．∵∠AFE=∠FAB+∠FBA，∠AEB=∠C+∠EBD，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，故②正确；③如果∠EBC=∠C，则∠C=∠ABC，∵∠BAC=90°则∠C=30°，但∠C≠30°，故③错误；④∵AG是∠DAC的平分线，∴AN⊥BE，FN=EN，在△ABN与△GBN中，∵∴△ABN≌△GBN，∴AN=GN，∴四边形AFGE是平行四边形，∴GF∥AE，即GF∥AC．故④正确；⑤∵AE=AF，AE=FG，而△AEF不是等边三角形，∴EF≠AE，∴EF≠FG，故⑤错误．故答案为：①②④．18．〔2015秋•江阴市校级期中〕如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停顿运动．〔1〕当点M、N运动12秒时，M、N两点重合；〔2〕当点M、N运动4，8，16秒后，M、N与△ABC中的*个顶点可得到等腰三角形．【解答】解：〔1〕设点M、N运动*秒后，M、N两点重合，*×1+12=2*，解得：*=12，故当点M、N运动12秒时，M、N两点重合；故答案为：12；〔2〕①当M在AC上，N在AB上时，有AM=AN，△AMN为等边三角形，符合题意，即t=12﹣2t，解得t=4；②当M、N均在AC上时，有BM=BN，△BMN为等腰三角形，符合题意，则CM=AN，即12﹣t=2t﹣12，解得t=8；③当M、N均在BC上时，N点已经追过M点，有AM=AN，△AMN为等腰三角形，符合题意，则CM=BN，即t﹣12=36﹣2t，解得t=16．故答案为4，8，16．19．〔2014春•海盐县校级期末〕如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成的△PAB，△PBC，△PAC均为等腰三角形，则满足上述条件的所有点P有6个．〔请在图形中表示点P的位置〕【解答】解：如下图，作AB的垂直平分线，①△ABC的外心P1为满足条件的一个点，②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点，③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点，④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点，综上所述，满足条件的所有点P的个数为6．故答案为：6．20．〔2014•模拟〕如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．假设△AEM构成等腰三角形，则BE的长为1或．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B，∴∠AEF=∠B=∠C，∵∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴=，∴CE==，∴BE=6﹣=；∴BE=1或．三．解答题〔共10小题〕21．〔2016秋•期末〕如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．〔1〕求证：△DEF是等腰三角形；〔2〕当∠A=40°时，求∠DEF的度数．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；〔2〕∵△DBE≌△CEF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=〔180°﹣40°〕=70°∴∠1+∠2=110°∴∠3+∠2=110°∴∠DEF=70°22．〔2016秋•宁城县期末〕如图，点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．〔1〕求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．〔2〕猜测∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜测加以证明．【解答】解：〔1〕①∵AD∥BE，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD；②∵AD∥BE，∴∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，又∵AB=AC，∴AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ACD=∠DCE，∴CD平分∠ACE；〔2〕∠BDC=∠BAC，∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，∵∠BDC+∠DBC=∠DCE，∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∵∠BAC+∠ABC=∠ACE，∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，∴∠BDC=∠BAC．23．〔2016秋•义乌市期末〕如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=50°，点D在线段BC上运动〔点D不与B、C重合〕，连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于E．〔1〕在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？假设可以，请求出∠BDA的度数；假设不可以，请说明理由．〔2〕假设DC=2，求证：△ABD≌△DCE．【解答】解：〔1〕∵∠B=∠C=50°，∠ADE=50°，∴∠BDA+∠EDC=∠CED+∠EDC=130°，∴∠BDA=∠CED，∵点D在线段BC上运动〔点D不与B、C重合〕，∴AD≠AE，ⅰ〕如下图，当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=50°，∴∠BDA=∠CED=50°+50°=100°；ⅱ〕如下图，当DA=DE时，∠EAD=∠AED=65°，∴∠BDA=∠CED=65°+50°=115°；〔2〕由〔1〕可得∠BDA=∠CED，又∵∠B=∠C=50°，AB=DC=2，∴在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE〔AAS〕．24．〔2016秋•黄埔区期末〕如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．〔1〕求证：AE=ED；〔2〕Q请猜测∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．【解答】证明：〔1〕∵DE∥AC，∴∠EDA=∠DAC，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAC，∴∠EAD=∠EDA∴AE=ED；〔2〕∵AE=ED，EF⊥AD，AD平分∠BAC，∴EF是AD的垂直平分线，∴FA=FD，∴∠FAD=∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠FDA=∠B+∠BAD，∠FAD=∠FAC+∠CAD，∴∠B=∠CA．25．〔2015春•威海期末〕如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC．【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∵EH⊥AB于H，∴△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC．26．〔2015秋•宜城市期末〕如图，BD和CD分别平分△ABC的角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．〔1〕求证：∠BDC=∠BAC；〔2〕假设AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；〔3〕在〔2〕的条件下，假设AF=BF，求∠EBA的大小．【解答】解：〔1〕∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，∴∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC，∴∠BDC=∠BAC．〔2〕△ABD为等腰三角形，证明如下：作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，∴DM=DH，DN=DH，∴DM=DN，∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD，∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠GAD=∠ABC，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，又∵∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴△ABD为等腰三角形；〔3〕∵AF=BF，∴∠BAF=∠ABF=∠ABC，∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=180°，∴∠ABC=72°．27．〔2015秋•期中〕定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．〔如图1所示〕〔1〕请你在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；〔2〕△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=*°，试画出示意图，并求出*所有可能的值．【解答】解：〔1〕如图2作图，〔2〕如图3①、②作△ABC．①当AD=AE时，∵2*+*=30+30，∴*=20．②当AD=DE时，∵30+30+2*+*=180，∴*=40．所以∠C的度数是20°或40°．28．〔2016秋•盂县期末〕如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点〔端点除外〕，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度一样，连接AQ、CP交于点M．〔1〕求证：△ABQ≌△CAP；〔2〕如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？假设变化，请说理由；假设不变，求出它的度数．〔3〕如图2，假设点P、Q在分别运动到点B和点C后，继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC=120度．〔直接填写度数〕【解答】〔1〕证明：∵