2021年中考数学：几何复习之四边形压轴（四）

2021年中考数学：几何专题复习之四边形压轴（四）

1.如图，RtA/8£中，N8=90°,AB=BE,将绕点/逆时针旋转45°,得到A/A。，

过。作DCLBE交8f的延长线于点C,连接84并延长交OC于点F,连接DE交BF

于点。.下列结论，其中正确的是.

①DE平令乙HDC;

②。。=OE-,

③CD=HF;

@BC-CF=2CE',

⑤〃是6尸的中点，

2.如图，正方形中，AD=6，点£是对角线/C上一点，连接DE,过点£作Eh

ED,交28于点F,连接DF,交力。于点G,将A£FG沿用翻折，得到△宁连接

DM,交EF于氤N,若点F是28边的中点，贝!例的面积是.

3.如图，在平行四边形Z6C。中，对角线/C,6。相交于点。，AB=。8,点F,尸分别

是OA,。。的中点，连接EF.£71〃跋于点M,EM交6。于点N,若zCEF=45：

FN=5,则线段8c的长为

4.如图，在平行四边形中，AD=S,AB=642，n。是锐角，于点E,F

是。的中点，连接BF,EF.若/48=90。，贝!|CE的长为.

5.如图，在正方形中，E为上一点，过点£作EFWAD.与AC.分别交于

点G、F,H为CG的中点，ED、/C交于点P,连接DE、EH、DH、FH.下列结论：

①EG=DF;

②乙AEH+乙ADH=180°;

③&EH除DHC;

④PdAR+C年;

⑤若萼=春,贝113s£0.

ADo

其中结论正确的有.（填写序号）

6.我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做"对底等腰梯形"，若一个"对底等腰梯

形"的对角线长为2,且该梯形的一个内角为75°,则这个梯形的面积等

于.

7.如图，正方形边长为4,点£在边OC上运动（不含端点），以ZF为边作等腰

直角三角形/尾，连接。尸.

下面有四个说法：

①当。£=1时，/尸=延；

②当。£=2时，点8,D,尸共线；

③当DE=微时,三角形2。尸与三角形F。尸面积相等；

④当匏，是/以尸的角平分线.

8.如图，。为正方形46。的边踩的中点，在于点G,在〃的延长线上取点E,

使AG=GE,若正方形的边长为2,则CE=.

9.如图，在矩形ABCD^,〃歌的角平分线BE与4。交于点E,N6盟的角平分线EF

与交于点F,若AB=8,DF=3FC,贝［|BC=

10.如图，在矩形ABCD中，6,/6=4,2BAD的平分线交BC于点£,则DE

11.如图，四边形Z8C。是边长为4的菱形，zC=60°,点P是射线Cf上的动点，线段

/P的垂直平分线MN交AD于氤F,连接PF,若△是等腰三角形，则W的长

为____________________

12.边长为4的正方形中，点£尸分别是/反6c的中点，连结FD,点、G,

〃分别是EC、。尸的中点，连结G”，则的长为.

13.如图，正方形26。的边长为6,点£是6c的中点，连接力£与对角线8。交于点G,

连接CG并延长，交于点，连接DE交6于点H,连接AH.以下结论：①Cd

DE;②蕾=日；③，。=力"；④,其中正确结论的序号是

riro0

14.如图，平面内4条直线从机从h是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个

单位长度，正方形/8C。的4个顶点4B、C。都在这些平行线上，其中点4C分

别在直线4、〃上，该正方形的面积是平方单位.

15.如图，在矩形力6。中，AB=14,£是6c边上一点，且8£=6,连接AE.若NC4£

=45°,贝！J=的长为.

16.如图，矩形中，〃平分工必。交BC于点E.DF'AE交28于点F,交/U于

点G,若EGW力8,且8尸=1,则AF=.

17.如图，矩形中，/8=4,AD=2,£为的中点，尸为比上T3点，户为DF

中点，连接PB,则P8的最小值是

18.如图，四边形是正方形，f是8c边上一点，连接AE,BN'AE,垂足为M,

交。于点N,若tann8心-1,MN=3,则线段26的长为.

19.正方形ABCD中的边长为6,对角线ZC8。交于点。，£为边上一点，连接AE

交8。于尸，灰口_〃于点G,连接OG,若NOGF=45°,则S.FGO=

20.如图，在“SC中，AB=10,AC=2辰,N/C8=45°,。为边上一动点（不与点

8重合），以。为边长作正方形。匕，连接8M则△及乃的面积的最大值等于

3C

参考答案

1.W：：^ABE=90°,AB=BE,

：.^AEB=^BAE=^S°,AE=&BE,

•.将绕点4逆时针旋转45°,

：.^DAE=^AEB=A5°,AD=AE=®BE,DH=BE,AH=AB,z.ABE=z.AHD=2G°,

：.z.DAB=^ABE=2G°,AH=DH=AB=BE,

5lj：DC1.BE,

，四边形48。是矩形，

：.AB=CD=DH,AD=BC=®BE,/BCD=乙DHE=90°,

：DH=DC,DE=DE,

.WfGRtA。附（儿）,

：.HE=EC,/AED=4DEC=67.5°,z.CDE=乙HDE=22.5°,

:.DE平令/HDC,故①正确；

：AB=AH,N必£=45°,

：zABH=乙AHB=67.5°,

：.^OHE=^OEH=67.5°,

：.OH=OE,^DHO=22.5°=^HDO,

：.DO=HO,

.■.OE=OD,故②正确；

如图，连接8,

“ABH=67.5°,

:.z.CBH=22.S°,

:zBFC=67.5°,

■：HE=EC,^AEB=45°,

:.^ECH=^EHC=22.S°,

:.乙HBC=4HCE,z.FCH=6J.S°,

:.BH=CH,AFCH=^BFC,

:.HC=HF,

:.BH=HF,

・・•点H是8尸的中点，故⑤正确，

如图，过点〃作HNLBC于N,

:.HN\\CD,

:QBHN"BFC,

.BH_HN^1

一而同一5'

：.FC=2HN,

:AE=4iBE,AH=BE,

■■.HE=(近-1)BE=CE,

：HN^BC,AAEB=AS°.

：.HN=多归零(&-1)BE,

：.CF=2HN={2-y[2)BE,

：BC-CF=BE+CE-CF=BE+BE-(2-内BE=2(啦BE,

.BC-CF=2CE,故④正确；

“HFD=180°-67.5=112.5°,乙HDF=45°,

:.乙HFDt乙HDF,

：.HFtDH,

：.HFtCD,故③不合题意，

故答案为：①②④⑤.

2.解：如图1,过£作PQ'DC,交DC于P,交于Q,连接BE,

：DC\\AB,

：.PQ1.AB,

••四边形是正方形，

.20=45°,

.“必仁是等腰直角三角形，

:.PE=PC,

设PC=x,则PE-x,PD-6-x,EQ=6-x,

:.PD=EQ,

..2DPE=4EQF=q伊，/PED=^EFQ,

:aDPUEQF〈AAS、,

:,DE=EF,

■：DErEF,

••0。叶是等腰直角三角形，

■：DC=BC,4DCE=4BCE=A5°,CE=CE,

:.^DE^BEC{SAS),

:.DE=BE,

:.EF=BE,

,:EQlFB,

・•.FQ=BQ*BF,

..•Z8=4?=6,尸是的中点，

:.BF=3,

2

:.FQ=BQ=PE稳,

：.CE=平，PD*,

:DE=VDP2+PE2=样］=，

：,EF=DE=^^,

2

如图2,过点尸作FHrACT^H.

图2

：AD=CD=e>,

:.AC=65/2

■：DC\\AB,

:aDGCs4FGA,

,CGCD_6_?

"AG"AF"'

:.CG=2AG,

--AG—2,^/21

:.GE=AC-AG-%=6圾-2圾-^^=^^,

•.N"C=45°,HFrAC,

:.z.FAC=^AFH=A5°,

:.AH=HF,且，尸=3,

：,AH=HF=^^,

2

.♦.%=返，

2_____

-'-GF=VHG2+HF2=聘=娓,

,:S&EFG='^-XGEXFH

"号等哼小

•.将A£FG沿）翻1折，得到△£?期，

SEFM=学,FM=GF=娓,"FE=乙EFM=45°,

.\ADFM=90°,

•DF=个DA?+AF2=A/36+9=3^5，

：S△。尸例二43娓乂旄二苧，

/的面积二S四边形O/7V/E-S&DFM=SdDE卢S△EFM-SHDFM,

••.但例的面积=竽-华吟，

故答案为：苧.

3.解：设F=x,

..点£点尸分别是04。。的中点，

.•.£尸是4。/。的中位线，

:.AD=2x,ADwEF,

:.^CAD=^CEF=^S°,

.•四边形/8C。是平行四边形，

.'.AD\\BC,AD-BC=2x,

:.^ACB=^CAD=AS°,

•：EMrBC,

:/EMC=90°,

.•.A£MC是等腰直角三角形，

:.^CEM=45°,

连接8£,

BJ/

■：AB=OB,AE=OE

：.BE1.AO

:zBEM=45°,

.-.BM=EM=MC=x,

：.BM=FE,

易得A£7V品A/V/A/8,

:.EN=MN=,BN=FN=5,

RtA8/VM中，由勾股定理得：8M=6必+的,

即52=X2+/X)2,

解得，x=2娓,

，6U=2x=4泥.

故答案为：4泥.

4.解：如图，延长BF交的延长线于Q,连接设DE=x,

.•四边形是平行四边形，

:.DQ\\BC,AD=BC=5,

:.z.Q=Z.CBF,

•：DF=FC,乙DFQ=LBFC.

:aBC0QDF〈AAS),

:.BC=DQ,QF=BF,

•2狼=90°,

:.EF±.QB,

.'EQ=BE=x+5,

：CEA.AD,BCwAD,

:.CEA.BC,

:.^DEC=^ECB=9Q°,

：CR=DC-E5=EH-B"

(672)2-=(X+5)2-52,

整理得:2A2+10x-72=0,

解得x=4或-9(舍弃)，

:.BE=2,

：CE=7BE2-BC2=V92-52=2，/14，

故答案为：2714.

5.解：①•・四边形26。为正方形，EFWAD,

:.EF=AD=CD,z/CP=45°,NG/T=90°,

CFG为等腰直角三角形，

:.GF=FC,

：EG=EF-GF,DF=CD-FC,

-EG=DF,故①正确；

②CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

：.FH=CH,4GFH=—^GFC=45°=aHCD,

2

在△8下和4。〃0中，

'EF=CD

-ZEFH=ZDCH,

FH=CH

：."EHF^DHC〈SAS),故③正确；

：.^HEF=^HDC,

:.乙AEH+乙ADH=4AEF+乙HEF+4ADF-乙HDC=LAEF+4ADF=\800,故②正确；

④如图，将A。％绕点。顺时针旋转90。，可得A04Q,连接QP,

:aDA@zDCH,

：.AQ=CH,DQ=DH,乙ADQ=^CDH'

"EHaDHC,

:.EH=DH,AEHF=ADHC,

；zDHE=zFHC=9G,

:zEDH=45°,

:zADP+/CDH=45°,

:，乙ADP+乙ADQ=45°=乙EDH,

丈：QD=DH、DP=DP,

:aQDf^"HDP(SAS)，

:.PH=QP,NQ/0=N〃0=45°,

.•.NQ/P=90°,

.•Q2+/〃=Q/2,

:,PHI=A-C母,故④正确；

:.AE=—BE,

2

・・•△C七为等腰直角三角形，H为CG的中点，

:.FH=GH,z/WJ=90°,

•；zEGH=4FHG+乙HFG=90°+/”柘=LHFD,

在△EG"和附中，

'EG=DF

<ZEGH=ZHFD,

GH=FH

：aEGF^DFH〈SAS）,

:.乙EHG=^DHF,EH=DH,zDHE=zEHG+zDHG=zDHF+zDHG=z/WC=90°,

."E〃。为等腰直角三角形，

过〃点作H/V7垂直于。于例点，如图所示：

设”％X,则2V/=2x,DH=母,CD=3x,

x2

则S^DHC=-yHMXCD-'然,SEDH='xDPP-=小（泥*）=,

乙乙乙乙乙

：3SAEDH='SXDHCI

故⑤正确；

故答案为：①②③④⑤.

6.解：如图，AB=CD,ADWBC,BD=BC=2,zC=75°,

过/作/Q,8c于Q,过。作。力8c于〃，

则/IQll。"，

•：AD\\QH,

.・四边形/Q”。是平行四边形，

，四边形ZQ〃。是矩形，

:.AQ=DH,AD=QH,

在Rb/8Q和RtA。。/中，

[AB=DC

lAQ=DH，

:段&AB®叱DCH(HL),

:.BQ=CH,

：BD=BC,

..N8OC=NC=75°,

:zDBC=180°-75°-75°=30°,

在Rb。四中，

:.DH=—BD=1.

2

：BH=7BD2-DH2=*-]」=M，

:.BQ=CH=BC-BH=2-73，

:.AD=QH=BC-BQ-CH=2-2(2-遍)=2«-2,

.•梯形Z8C。的面积=/(/。+8G(2A/3-2+2)xl=V^,

故答案为：V3.

D

7.解：当DE-1时，则AE=-\/AD2+DE2=V16+1=VT7，

星是等腰直角三角形，

■-AF=0力£=相，故①正确；

当。£=2时，如图1,过点尸作DHLCD,交。的延长线于H,

・二△/£尸是等腰直角三角形，

：.AE^EF,AAEF=90°,

：.4AED+4FEH=90°,

：^AED+z.DAE=2G°,

:.乙DAE=4FEH,

在“。和△々力中，

fZDAE=ZFEH

ZADE=ZFHE=90°,

IAE=EF

:.^AE^EFH{AAS),

:.AD=HE=4,DE=HF=2,

:,DH=A-2=2=HF,

"HDF=A5°,

.:乙HDF+乙ADH+乙ADB=180°,

••点8,点。，点尸三点共线，故②正确；

当。时，由②可得，"AEC^EFH,

:.DE=HF=,AD=HE=4,

••・唱，

一11211RR9R

-''S^ADF~Trx>4Z?xHD~—X4X—=3,77xDE^HF~—x-x—=——

22222228

:S，AD件S&EDFI故③茴吴；

当。£=翔，如图2,在力。上截取DN=DE,连接NE,

2

'：z.ADC^90。，DN=DE=,

:zDNE="EN=45°,NE=今最，

■：AN=AD-DN=^NE,

.♦.N/V4&22.5。，

・”/昆是等腰直角三角形，

.•.z£4A=45°,

:，乙FAD丰乙EAD,

不是NE4尸的平分线,故④错误；

故答案为：①②•

8.解：如图，过C作CAL〃于H,

：AG=GE,

：.AB=BE,

:zBAE=BEA,

：BGA.AE,

:zBGP=/CHP=90：

为6c的中点,

：.BP=CP,

'/BGP=NCHP

<ZBPG=ZCPH,

BP=CP

：QBG降CHP(AAS),

：.BG=CH,乙GBP=^PCH,

••四边形是正方形，

：.AB=BC,

：.BC=BE,

：.z.BCE=z.BEC,

"ABC=NABG+NGBP=9G°,N28G+N必G=90°,

：.z.GBP=/.BAG,

：.^PCH=^BEP,

：.^HCE=/.HEC,

：.CH=EH,

.””£=90°,

:.CE=42CH,即CE=42BG,

在Rf48户中，AB=2,BP=^BC=1,

-'-AP=7AB2+BP2=辰•

,:S、ABP=?B・BP=^AP»BG,

，曲竽W

V55

：.CE=e*=*,

故答案为28.

5

■：3DF=4FC,

"DF"3)

・•,矩形中,N/8C的角平分线与力。交于点E,

:.^ABE=^AEB=AS0,

:.AB=AE=?>,

・・・直角三角形ABE^,BE=782+82=8^2，

又•.N8打7的角平分线EF与OC交于点F,

；.4BEG=LDEF,

：AD\\BC,

:.z.G=Z.DEF,

:.Z.BEG-Z.G,

.'BG=BE=8\f2,

"G=4DEF,^EFD=^GFC,

:aEFDiGFC,

.CG_CF1

"DE"

设CG=x,DE=3x,则4?=8+3x=6C,

：BG=BC+CG,

，8+3x+x=8&.

解得x=2a-2.

•■-BC=6A/2+2

故答案为：6&+2.

10.解：如图，过点£作EEL/。于点F,

在矩形46。中,N6=N6ZZ?=90°,

•二必是N必。的平分线，

.2。46=/£4尸=45°,

：.^AEB=45°,

：.AB=BE,

二矩形/员%是正方形，

:.AB=BE=EF=AF=A,

..。尸=，。-/尸=6-4=2,

■-DE=7EF2+DF2=V16+4=2娓・

故答案为：2娓.

11.解：①如图，作DQ^LPF于彘Q,设PF=x,

••四边形28。是边长为4的菱形，zC=60°,

：.^ADC=120°,

是等腰三角形，

：.DF=DP,FQ=PQ=/PF=,

乙FDQ=APDQ=/』ADC=60°,

sinoU3

./VW垂直平分/P,

.-.AF=PF=x,

：AD=AF+DF,

：.x+^-x=4,

3

解得x=6-2虫；

②第二种情况如图所示:

•••以/V垂直平分ZP,

:.AF=PF.

••四边形是边长为4的菱形，/《=60°,

.."。。===60°,

♦“。分是等腰三角形，

.“。分是等边三角形，

:.PF=DF=AF,

：AD=AF+DF=2PF=A,

:.PF=2,

综上所述：%的长为6-2T或2.

故答案为：6-2«或2.

12.解：连接由并延长交于P,连接PE,

••四边形是正方形，

：.^A=90°,AD\\BC,AB=AD=BC=4,

-E,尸分别是边48,8c的中点，

-AE-CF=yX4=2,

■：AD\\BC,

:.z.DPH=z.FCH,

在APDH和VFH中,

，ZDPH=ZFCH

'ZDHP=ZFHC,

DH=FH

：aPD4CFH(AAS),

：.PD=CF=2,

：.AP=AD-PD=2,

-PE=7AP2+AE2=V22+22=2V2，

.•点G,"分别是忆"。的中点,

:.GH*EP=6.

13.解：•.四边形46。是边长为6的正方形，点£是比7的中点，

：.AB=AD=BC=CD=6、BE=CE=3,

ADCE=^ABE=90°,乙ABD=^CBD=45°,

：aABHDCElSAS),

：.^CDE=^BAE,DE=AE,

：AB=BC,^ABG=^CBG,BG=BG,

：QAB84CBG(SAS),

：.A.BAE=Z.BCF,

：.^BCF=^CDE,

又.."gN"=90°,

.-.z5C7+zC£P=90o,

"CHE=90°,

.'.CF^DE,故①正确；

•0=6,CE=3,

■,-P£=7CD2-K;E2

=V36+9

=3娓,

,：S、DCE=-^CDXCE=CH,

5

­.zCHE=ACBF,ZBCF=ZECH,

:aECHiFCB,

.CH_CE

"BC"CF'

6义3_

•-67=6^5=3娓,

5_

:.HF=CF-CH=^&,

5

•••■^4,故②正确；

nro

如图，过点2作AMr于点M,

D

B

：DC=6,CH=^-,

5

•••^=VDC2-CH2

12A/5

5

•ZCDH+乙ADM=9b,NZ?//V7+N/O/V7=90°,

:.^CDH=ADAM,

5L：AD=CD,乙CHD=^AMD=9U.

:aADgDCH〈AAS\,

:.CH=DM=,AM=DH=,

55

5

文：AM'DH,

：.AD=AH,故③正确；

•：DE=3娓,DH=^^,

5

:.HE=迈，

5_

ME=HE+MH=^~,

5

■：AMYDE,CFrDE,

:.AM\\CF,

.GH=2E

"AM-HE'

HG-^p-

5k

；：=率,故④正确.

综上，正确的有：①②③④.

故答案为：①②③④.

14.解：（1）当正方形的边长和平行线垂直时,

正方的边长应该为3,所以正方的面积为：3x3=9.

(2)如图，将两条平行的虚线之间分为三段，使每一段长为1个单位,

由题意可知：4AEaAAH臾BF6CGD,

所以当正方形如图放置时，正方形的边长为：722+l2=V5.

所以正方形的面积为:娓x娓=5.

故答案为9或5.

15.解：方法一：如图，过点C作CEL/F延长线于点F,

在中,AB=14,BE=6,

根据勾股定理，得

AE22

=VAB+BE=V142+62=V232，

••-zC4£=45°,

:.CF=AF,

:.EF=AF-AE=CF-4Q^2,

•.-z5=zA=90°,^AEB=^CEF,

:QAEBYCEF,

,AB=BE=AE

"CF-EF-CEf

.14_6=V232

"CF-CF-V232~CE1

解得"=马冢，

4

:.CE=29.

在RtAZSF中,AB=14,BE=6,

根据勾股定理，得

AE22

^7AB+BE=7142+62=2倔，

在RfO中，zG4£=45°,

./尸=EF当AE当x2痛=2强,

设CE=x,

•.・tan/W噜噜，

BCCF

,14_2V29

"6+xCF'

.V^（6+x）

"7'

在此3厅右中，根据勾股定理，得

CR+ER=EG~,

.•・[•^^+%2+（2倔）2=庐,

解得x=29或*=-11.6（舍去）,

.々的长29.

故答案为：29.

16.解：设〃与尸G交于点。，如图：

.乂£平分NmC,

:.乙FAE=LGAE;

\DFrAE,

.•24。尸=N/OG=90°,

：./.AFO-/.AGO,

：.AF=AG',

：EG\\AB,

:.乙GEA=^FAE,

:乙FAE=^GAE,

:zGEA-zGAE,

：.AG^EG,

又尸=/G,

:.AF=EG,

四边形，下fG为菱形，

：.AG=EG=AF=EF,EFwAC.

••,四边形为矩形，

.'.AB\\DC,AB-DC,

:.z.AFO-Z.CDG,

■：2LAFO=Z.AGO,Z.CGD-/.AGO,

：.z.CDG=Z.CGD,

:.CD=CG=AB,

设AG=EG=AF=EF=x(x>G),

-：BF=1,

:.CD=CG=AB=x+l,

■：EFWAC,

:.^BFE-^BAC,

:.BF\BA=EF\AC,

:.l:(x+l)=x:(x+x+1)

:.x[x+1)=2x+l,

解得：/=苧(舍)，/告应

故答案为：上耍.

2

17.解：如图：

当点尸与点C重合时，点。在凸处，。L=DP1,

当点尸与点£重合时，点P在乃处，盥=。刍，

.•.4乃1々且巧巧=微£

当点尸在尾上除点G£的位置处时，有DP=FP.

由中位线定理可知：巧外。且P1P=^CF.

，点P的运动轨迹是线段PiP2,

.•.当6以巴巧时，P8取得最小值.

♦.,矩形48。中，48=4,AD=2,£为/8的中点，

：eCBE、AADE、^86为等腰直角三角形，6=2.

:.乙ADE=aCDE=LCP\B=A50,NNU=90°.

"DP2Pl=90°.

:.^DP1P2=45°.

.♦./马巴8=90。，即BP\'P\P2,

,8户的最小值为8巧的长.

在等腰直角BCPi中，。=BC=2,

：.BP\=2五

•••06的最小值是2M.

故答案是：2A/2.

18.解：,.四边形Z8C。是正方形，

:.^ABC=z.C=90°,AB=BC=CD,

..・N必F+N/8例=90°,

•:BNlAE,

"MBE+4ABM=9。°,

:.z.BAE=^MBE,

BF1

•.tanz5/IF=—=—,

AB2

:.AB=2BE,

:.BC=2BE,

是8c的中点，

同理可证：N是。的中点,

设BE=a,

则CN=a,AB-1a,

.•/£=BN=7AB2+BE2=娓a,

:.BM=BN-MN=®-3,

•.tanz5/IF=tanz&W=—=—,

AM2

:.AM=2娓a-6,

在例中，4AMB=90°,AB=2a,

:.A注=AW+BW,

•1-4a2=（2,辰-6）2+（辰a-3）2,

整理，得7苏-10遂a+15=0,

解