2021年中考数学第三轮冲刺复习：四边形的综合

2021年中考数学第三轮冲刺专题复习：四边形的综合专项练习

1、如图，已知正方形ABC。的边长为1,正方形CEPG的面积为Si，点E在。C边上，点

G在8c的延长线上，设以线段和。E为邻边的矩形的面积为S2,且Si=S2.

(1)求线段CE的长；

(2)若点”为BC边的中点，连接HO,求证：HD=HG.

2、如图，EL4BC。的对角线4C、8。相交于点O,Er经过。，分别交AB、CD于点E、F,

EF的延长线交CB的延长线于M.

(1)求证：OE=OF；

(2)若AO=4,AB=6,BM=1,求BE的长.

3、如图，矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCO的边A。，BC上，顶点尸，H在菱形

ABCQ的对角线8。上.

(1)求证：BG=DE；

(2)若E为AO中点，FH=2,求菱形A8CO的周长.

D

B

4、如图，在平行四边形ABCD中，AE平分NDAB,已知CE=6,BE=8,D£=10.

(1)求证：ZBEC=90°；

(2)求cos/DAE.

5、如图，已知平行四边形A8CQ中，AB=5,8c=3,AC=2jF.

(1)求平行四边形ABC。的面积：

(2)求证：BD±BC.

6、如图所示，已知正方形OEFG的顶点。为正方形ABC。对角线AC、8。的交点，连接

CE、DG.

(1)求证：XDOG空ACOE；

(2)若DGLBD,正方形A8C。的边长为2,线段AO与线段0G相交于点M,AM=L,

2

求正方形OEFG的边长.

7、如图，在四边形ABCO中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,且

DF//BE,过点C作CG_LA8交AB的延长线于点G.

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)若tan/CAB=2,ZCBG=45°,8c=4&,则12ABec的面积是24

5

8、如图，四边形A8C。是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且/CEF=

90°,FGLAD,垂足为点C.

(1)试判断AG与FG是否相等？并给出证明；

(2)若点”为CF的中点，GH与。"垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理

由.

9、定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线.

(1)如图1,在△ABC中，AB=AC,A。是△ABC的角平分线，E,尸分别是8。，AD

上的点.

求证：四边形ABE尸是邻余四边形.

(2)如图2,在5X4的方格纸中，A,B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形

ABEF,使A8是邻余线，E,F在格点上.

(3)如图3,在(1)的条件下，取EF中点连结。M并延长交4B于点Q,延长EF

交4C于点M若N为AC的中点，DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长.

10、如图，在平行四边形ABCQ中，点E在边BC上，连结AE,EMVAE,垂足为E,交

CD于点M,AF1BC,垂足为F,BHLAE,垂足为H,交AF于点M点尸是上一

点，连接CP.

(1)若OP=2AP=4,CP=JT7，CD=5,求△AC。的面积.

(2)若AE=BN,AN=CE,求证：AD=®CM+2CE.

11、如图，在正方形A8C£＞中，分别过顶点3,。作BE〃。尸交对角线AC所在直线于E,

F点、,并分别延长E8,尸。到点H,G,使BH=OG,连接EG,FH.

(1)求证：四边形EHFG是平行四边形；

(2)已知：A8=2五,EB=4,tanNGEH=2如,求四边形E/VPG的周长.

12、如图，四边形4BCO是矩形，AB=20,8c=10,以CO为一边向矩形外部作等腰直角

△GOC,NG=90°.点M在线段AB上，且AM=a，点P沿折线A。-QG运动，点Q

沿折线BC-CG运动(与点G不重合)，在运动过程中始终保持线段PQ〃A&设PQ

与AB之间的距离为x.

(1)若a=12.

①如图1,当点P在线段AO上时，若四边形AMQP的面积为48,则x的值为；

②在运动过程中，求四边形AMQ尸的最大面积；

(2)如图2,若点P在线段OG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50,求“

的取值范围.

13、在矩形ABCO中，AELBD于点E,点P是边A。上一点.

(1)若8P平分/AB。，交AE于点G,尸尸_L8O于点尸，如图①，证明四边形AGFP

是菱形；

(2)PEA.EC,如图②，求证：AE-Afi=DE'AP；

(3)在(2)的条件下，若AB=1,BC=2,求AP的长.

14、已知矩形A8CD中，AB=5cm,点P为对角线AC上的一点，且”=2倔根.如图①，

动点M从点A出发，在矩形边上沿着A-B-C的方向匀速运动(不包含点C).设动点

M的运动时间为t(s),AAPM的面积为S(c»，)，S与t的函数关系如图②所示.

(1)直接写出动点M的运动速度为cm/s,BC的长度为an；

(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同

时，另一个动点N从点。出发，在矩形边上沿着。fC—B的方向匀速运动，设动点N

的运动速度为V（C7M/S）.已知两动点M,N经过时间x（s）在线段8C上相遇（不包含

点C）,动点M,N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与aOPN的面积分别为Si

（CT//2）,52（CTO2）

①求动点N运动速度v（cmis）的取值范围；

②试探究Si・S2是否存在最大值，若存在，求出Si~2的最大值并确定运动时间x的值；

若不存在，请说明理由

15、如图1,正方形ABZJE和BCFG的边AB,BC在同一条直线上，且AB=2BC,取EF的

中点M,连接MZ),MG,MB.

（1）试证明£>M_LMG,并求』!殳的值.

MG

（2）如图2,将图1中的正方形变为菱形，设NE4B=2a（0<a<90°）,其它条件不

变，问（1）中胆的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含a的式子表示）；若无变

MG

化，说明理由.

图1图2

16、综合与实践

动手操作：

第一步：如图1,正方形纸片ABCO沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平.在沿过点

C的直线折叠，使点8,点。都落在对角线AC上.此时，点B与点。重合，记为点N,

且点E,点N,点/三点在同一条直线上，折痕分别为CE,CF.如图2.

第二步：再沿4c所在的直线折叠，^ACE与△4CF重合，得到图3.

第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点尸重合，如图4,展开铺平，连接EF,

FG,GM,ME.如图5,图中的虚线为折痕.

问题解决：

(1)在图5中，/8EC的度数是，坐的值是.

-----BE---------

(2)在图5中，请判断四边形EMG尸的形状，并说明理由；

(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱

形(正方形除外)，并写出这个菱形：—.

17、已知：在矩形A8C。中，E,尸分别是边4B,A力上的点，过点尸作EF的垂线交OC

于点H,以EF为直径作半圆0.

(1)填空：点A(填“在”或“不在”)。0上；当定=篇时，tan/AE/的值是；

(2)如图1,在△EFH中,当FE=/77时，求证：AD=AE+DH；

(3)如图2,当的顶点F是边的中点时，求证：EH=AE+DH；

(4)如图3,点M在线段F”的延长线上，若FM=FE,连接EM交。C于点N,连接

FN,当AE=AO时，FN=4,HN=3,求tanNAE尸的值.

参考答案

2021年中考数学第三轮冲刺专题复习：四边形的综合专项练习

1、如图，已知正方形的边长为1,正方形CEFG的面积为Si，点E在OC边上，点

G在8c的延长线上，设以线段4。和。E为邻边的矩形的面积为S2,且5I=S2.

(I)求线段CE的长；

(2)若点”为BC边的中点，连接HC,求证：HD=HG.

【解答】解：(1)设正方形CEFG的边长为a,

'：正方形ABCD的边长为1,

.*.£>£=1-a,

：S1=S2,

：.a2=\X(1-a),

解得，(舍去)，

al22a222

即线段CE的长是返」；

22

(2)证明：•••点H为BC边的中点，BC=\,

J07=0.5,

DH=yji2+o,52=喙’

;CH=0.5,CG=^，

22

:.HG=S,

2

：.HD=HG.

2、如图，a4BC£＞的对角线AC、BO相交于点O,EF经过O,分别交AB、CO于点E、F,

EF的延长线交CB的延长线于M.

(1)求证：OE=OF；

(2)若AO=4,AB=6,BM=1,求BE的长.

【解答】(1)证明：二•四边形ABC。是平行四边形,

：.OA=OC,AB//CD,BC=AD,

：.ZOAE^ZOVF,

在△40E和AC。尸中，

'N0AE=/0CF

,OA=OC，

ZAOE=ZCOF

AAAOE^ACOF(ASA),

：.OE=OF；

(2)解：过点。作ON〃BC交AB于M

则△40NS/\ACB,

'：OA=OC,

：.ON=LBC=2,BN=LAB=3,

22

•：ON〃BC,

：./\0NEs4MBE,

.ON=J®即2_3-BE

"BMBE'TBE

解得，BE=\.

DF

3、如图，矩形EFG”的顶点E,G分别在菱形ABC。的边AD,8c上，顶点尸，〃在菱形

ABCC的对角线B3上.

(1)求证：BG=DE；

(2)若E为中点，FH=2,求菱形ABC。的周长.

【解答】解：(1)；四边形EFG”是矩形，

：.EH=FG,EH//FG,

：.NGFH=ZEHF,

VZBFG=180°-ZGFH,NDHE=180°-NEHF,

：.ZBFG=ZDHE,

•.•四边形ABC。是菱形，

：.AD//BC,

：./GBF=ZEDH,

：*4BGF9/\DEH(A4S),

：.BG=DE；

(2)连接EG,

•.•四边形ABC。是菱形，

：.AD=BC,AD//BC,

••,E为AD中点，

：.AE=ED,

•:BG=DE,

:.AE=BG,AE//BG,

・・・四边形A3GE是平行四边形,

：.AB=EGf

♦：EG=FH=2,

：.AB=2,

・•・菱形A3CD的周长=8.

4、如图，在平行四边形ABC。中，AE平分ND4B,已知CE=6,BE=8,DE=10.

(1)求证：NBEC=90°；

(2)求cosNDAE.

【解答】(1)证明：・・•四边形A8CO是平行四边形,

：.DC=AB=fAD=BC,DC//AB.

：.ZDEA=ZEAB,

TAE平分ND48,

:・NDAE=/EAB,

：.ZDAE=ZDEA

：.AD=DE=\Of

ABC=10,AB=CD=DE+CE=16,

*.•CE^BE2=62+82=100=^C2,

•・.△BCE是直角三角形，ZBEC=90°；

9

(2)解：：AB//CDf

AZABE=ZBEC=90°,

A£=VAB2+BE2=V162+82=8遥’

：.cosZDAE=cofiZEAB=^-=-^==-^^

AE8755

5、如图，已知平行四边形ABC。中，AB=5,BC=3,AC=2^/13.

(1)求平行四边形ABC。的面积；

【解答】解：(1)作CEJ_A8交A3的延长线于点E,如图:

在Rtz^CEB中：/+序=9①

在RtACEA中：(5+x)2+/j2=52@

联立①②解得：》=与，仁丝

55

・・・平行四边形A3CO的面积=A3・/z=12；

(2)作。E_LA8,垂足为尸

:.ZDFA=ZCEB=90°

•・•平行四边形A8C。

:・AD=BC,AD//BC

：.ZDAF=ZCBE

又〈N。硼=NCE5=90°,AD=BC

：./XADF^/XBCE(AAS)

qg1619

：.AF=BE=—,BF=5--=—DF=CE=—

555f5

在中：BD1=DF1+BF1=（空）2+（匹）2=16

55

：.BD=4

♦・・3C=3,DC=5

：.CD2=DB2-^-BC2

：.BD.LBC.

6、如图所示，已知正方形OEFG的顶点0为正方形ABCD对角线AC.BD的交点，连接

CE、DG.

(1)求证：4D0Gm△COE、

(2)若。G_LBO,正方形A8CO的边长为2,线段AD与线段0G相交于点M,

2

求正方形OEFG的边长.

【解答】解：

（1）:正方形A3CD与正方形。£7七，对角线AC、BD

：.DO=OC

DBA.AC,

：.ZD0A=ZD0C=9^0

NGOE=90°

・・・ZGOD+ZDOE=ZDOE+ZCOE=90°

：.ZG0D=ZC0E

*：G0=0E

・•・在△OOG和△COE中

"DO=OC

<ZGOD=ZCOE

GD=OE

:ADOG空/XCOE(SAS)

(2)如图，过点M作交。。于点H

：AM=L£)A=2

2

:.DM=3

2

NMDB=45°

：.MH=DH=sin45Q£>O=cos45°・DA=近

4

：.HO=DO-DH=M-2^1=返

44

.,.在RtZXMHO中，由勾股定理得

"°=力/+叩2=｛等)2+呼),考

'：DG1BD,MHLDO

.'.MH//DG

，易证△O”MS/\ODG

亚运

.OH=MO=T=T得GO=2疾

"ODGO7/2"GO"

则正方形OEFG的边长为2泥

7、如图，在四边形A8CO中，点E和点尸是对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,且

DF//BE,过点C作CGLA8交AB的延长线于点G.

(1)求证：四边形ABC£)是平行四边形；

(2)若tan/C4B=*ZCBG=45°,BC=4近,则团A8CE)的面积是24.

【解答】(1)证明：；AE=C/,

：.AE-EF=CF-EF,

即AF=CE,

,JDF//BE,

：.ZDFA=ZBEC,

,:DF=BE,

：.CSAS),

：.AD=CB,NDAF=NBCE,

J.AD//CB,

四边形ABCD是平行四边形；

(2)解：VCG1AB,

AZG=90°,

VZCfiG=45°,

ZXBCG是等腰直角三角形，

,:BC=4版,

：.BG=CG=4,

tanZCAB——,

5

；.AG=10,

：.AB=6,

：.团ABC。的面积=6X4=24,

故答案为：24.

8、如图，四边形ABC。是正方形，△£：/(是等腰直角三角形，点E在AB上，且/CEF=

90°,FGLAD,垂足为点C.

(1)试判断AG与FG是否相等？并给出证明;

(2)若点”为C尸的中点，G”与。，垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理

【解答】解：(1)AG=FG,

理由如下：如图，过点尸作交BA的延长线于点M

•；四边形ABCO是正方形

J.AB^BC,NB=90°=ZBAD

\'FM±AB,ZMAD=90°,FG±AD

四边形AGFM是矩形

：.AG=MF,AM=FG,

VZC£F=90°,

：.ZFEM+ZBEC=90°,NBEC+NBCE=90°

：.4FEM=4BCE,且/M=NB=90°,EF=EC

：./\EFM^/\CEB(AAS)

:.BE=MF,ME=BC

:.ME=AB=BC

：.BE=MA=MF

：.AG=FG,

(2)DH1HG

理由如下：如图，延长GH交8于点N,

'：FG±AD,CDLAD

：.FG//CD

.FG_FH_GH且CH=FH,

"CN=CH=NH

：.GH=HN,NC=FG

：.AG=FG=NC

又•.•AD=CZ),

：.GD=DN,&LGH=HN

J.DHLGH

9、定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线.

(1)如图1,在△ABC中，AB=AC,AO是△ABC的角平分线，E,尸分别是8。，AD

上的点.

求证：四边形ABEF是邻余四边形.

(2)如图2,在5X4的方格纸中，A,B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形

A8EF,使A3是邻余线，E,F在格点上.

(3)如图3,在(1)的条件下，取E尸中点例，连结。M并延长交A8于点°,延长EF

交AC于点N.若N为AC的中点，DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长.

【解答】解：（1）,：AB=ACfA。是△ABC的角平分线,

：.AD±BCf：.ZADB=90°,：.ZDAB+ZDBA=90°,

：・/FBA与NEBA互余,

・・・四边形A8E/是邻余四边形；

（2）如图所示（答案不唯一），

四边形AFEB为所求；

(3)VAB=AC,4Q是△A5C的角平分线,

：・BD=CD,

♦：DE=2BE,

:.BD=CD=3BE,

：・CE=CD+DE=5BE,

••♦NED尸=90°,点M是E尸的中点，

:.DM=ME,

：・4MDE=4MED,

*：AB=AC,

・・・NB=NC,

:.ADBOsAECN,

.QBBD3

••记FE

'：QB=3,

：.NC=5,

,:AN=CN,

.•.AC=2CN=10,

：.AB=AC=\O.

10、如图，在平行四边形ABC。中，点E在边BC上，连结AE,EMLAE,垂足为E,交

CD于点、M,AFLBC,垂足为凡BHLAE,垂足为“，交AF于点M点P是A。上一

点，连接CP.

(1)若。P=2AP=4,CP=JT7，CD=5,求△AC£)的面积.

(2)若AE=BN,AN=CE,求证：AD=®CM+2CE.

【解答】(1)解：作CGJ_AD于G,如图I所示：

设PG=x,则。G=4-x,

在Rtz^PGC中，GU=3-PBH-x,

在Rt^OGC中，GC2^CD2-GD2=52-(4-x)2=9+8x-

，17-/=9+8x-7,

解得：x=\,即PG=\,

：.GC=4,

\"DP=2AP=4,

."0=6,

.,.SA4C£>=—X/1DXCG=—X6X4=12；

22

(2)证明：连接NE,如图2所示：

'：AH±AE,AF±BC,AELEM,

，ZAEB+ZNBF=ZAEB+ZEAF^NAEB+NMEC=90°,

，NNBF=NEAF=NMEC,

，ZNBF=ZEAF

在和△E4F中，,NBFN=/EFA，

AE=BN

.♦.△NB尸名△EAF(AAS),

：.BF=AF,NF=EF,

：.ZABC=45°,NENF=45°,FC=AF=BF,

：./ANE=/BCD=135°,AO=BC=2AF,

fZMEC=ZEAF

在△4NE和△ECM中，■AN=EC，

ZANE=ZECM

:.LANE冬LECMCASA),

：.CM=NE,

又NF=^-NE=^-MC,

22

：.AF=y-^MC+EC,

2

：.AD^y/2MC+2EC.

11、如图，在正方形ABC。中，分别过顶点8,。作BE〃OF交对角线AC所在直线于E,

F点,并分别延长EB,尸。到点H,G,使BH=DG,连接EG,FH.

(1)求证：四边形EHFG是平行四边形；

(2)已知：A8=2或，E8=4,tan/GEH=2«,求四边形E//FG的周长.

G_D

EBH

【解答】解：(1)；四边形A8C£>是正方形，

：.AB=CD,AB//CD,

：.ZDCA=ZBAC,

'：DF//BE,

：.ZCFD=ZBEA,

V/R4C=/BEA+ZABE,ZDCA=NCFD+NCDF,

：.ZABE=ZCDF,

在△ABE和△<?£)尸中，

2ABE=NCDF

ZAEB=ZCFD>

AB=CD

g△W(AAS),

：.BE=DF,

,:BH=DG,

:.BE+BH=DF+DG,

即EH=GF,

■:EH//GF,

四边形EHFG是平行四边形；

(2)如图，连接8。，交EF于0,

•.•四边形A8CD是正方形,

：.BD±AC,

：.ZAOB=90a,

,:AB=2近,

：.OA=OB=2,

RtZXBOE中，EB=4,

：.ZOEB=30°,

:.E0=2M，

"：OD=OB,NEOB=NDOF,

"CDF//EB,

：.NDFC=/BEA,

：./\D0M4B0E(A4S),

：.0F=0E=2册,

:.EF=&M，

:.FM=2M，EM=6,

过尸作FM1EH于M,交EH的延长线于M,

'：EG//FH,

ZFHM=ZGEH,

：tanNGE”=tan//7/知=里=2

HM

二迈:2«，

HM"J

：.EH=EM-HM=6-\=5,昨而不京=呵彳后,

四边形EHFG的周长=2EH+2F”=2义5+271^=10+2

12、如图，四边形A8CD是矩形，AB=20,BC=10,以CD为一边向矩形外部作等腰直角

△GDC,NG=90°.点M在线段AB上，且点尸沿折线A。-£>G运动，点。

沿折线8C-CG运动(与点G不重合)，在运动过程中始终保持线段PQ〃A8.设PQ

与AB之间的距离为x.

(1)若u=12.

①如图I,当点尸在线段AO上时，若四边形AMQP的面积为48,则x的值为3；

②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；

(2)如图2,若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50,求a

的取值范围.

【解答】(1)解：①尸在线段4D匕PQ=AB=20,AP=x,AM=\2,

四边形AMQP的面积=*(12+20)x=48,

解得：x=3；

故答案为：3；

②当P,在A。上运动时，P到。点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形,

...0<xW10时，四边形AMQP面积的最大值=4(12+20)10=160,

当户在。G上运动，10<xW20,四边形AMQP为不规则梯形，

作PH_LA8于交CD于N,作GE_LC。于E,交48于F,如图2所示：

则PN=x-10,EF=BC=\O,

•••△GOC是等腰直角三角形，

：.DE=CE,GE=—CD=\0,

2

：.GF=GE+EF=2Q,

：.GH=20-x,

由题意得：PQ//CD,

：./\GPQS/\GDC,

.PQ=GH

"DCGE，

即世=2»x,

2010

解得：PQ=40-2x,

梯形AMQP的面积(12+40-2r)Xx=-x2+26x=-(x-13)2+169,

...当x=13时，四边形AMQP的面积最大=169；

(2)解：P在OG上，则10WxW20,AM=a,PQ=40-2x,

梯形AMQP的面积S=L(a+40-2%)Xx=-，+处包x,对称轴为：x=10+亘,

224

；0«0,

.♦.10W10+2W15,对称轴在10和15之间，

4

•.T0WxW20,二次函数图象开口向下，

...当x=20时，S最小，

...,2O2+40+a_X2O^5O)

2

.•.”25；

综上所述，。的取值范围为5W.W20.

13、在矩形ABCD中，AE_L8£＞于点E,点P是边上一点.

(1)若BP平分NABD,交AE于点G,尸0LB。于点尸，如图①，证明四边形AGFP

是菱形;

(2)若PE_LEC,如图②，求证：AE-AB=DE'AP-.

(3)在(2)的条件下，若A8=l,BC=2,求AP的长.

【解答】(1)证明：如图①中,

・・•四边形A3C。是矩形，

ZBAD=90°,

■:AE1.BD,

：.ZAED=90°,

AZBAE+ZEAD=90°,NEAD+/ADE=90°,

・・・NBAE=NADE,

VZAGP=ZBAG+ZABG,NAPD=NADE+NPBD,NABG=NPBD,

：.ZAGP=ZAPG,

：.AP=AGf

•・•弘JLA8,PF±BD,8尸平分NAB。，

：.R\=PF,

:・PF=AG,

VAE±BZ),PF±BD,

：.PF//AG9

・•・四边形AGFP是平行四边形，

■:PA=PF,

・・・四边形AGF尸是菱形.

(2)证明：如图②中,

VAE±BD,PEA.EC,

:.NAED=NPEC=90°,

JNAEP=NDEC,

VZEAD+ZADE=90°,NADE+NCDE=90°,

・・.NEAP=NEDC,

:./XAEPsADEC,

.AE=AP

**DEDC，

9：AB=CD.

：.AE^AB=DE*AP；

(3)解：,・•四边形ABC。是矩形，

：.BC=AD=2fZBAD=90°,

'BD=VAB2+AD2=^

'：AE±BD,

•'•S&ABD——,BD,AE——,AB*AD,

22

5_

,：AE-AB=DE'AP；

2A/5

-^-xi

AP=--T-F=—=—.

4V52

5

14、已知矩形A8CD中，AB=5cm,点P为对角线AC上的一点，且AP=2J&TM.如图①，

动点M从点A出发，在矩形边上沿着A-*B-C的方向匀速运动(不包含点C).设动点

M的运动时间为f(s),△APM的面积为S&,〃，)，S与f的函数关系如图②所示.

(1)直接写出动点M的运动速度为2cmis,8c的长度为

(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同

时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D-JB的方向匀速运动，设动点N

的运动速度为v(cmk).已知两动点M,N经过时间x(s)在线段BC上相遇(不包含

点C),动点M,N相遇后立即同时停止运动，记此时与的面积分别为Si

(cm2),S2(cm2)

①求动点N运动速度v(cw/.v)的取值范围；

②试探究S「S2是否存在最大值，若存在，求出S「S2的最大值并确定运动时间x的值;

若不存在，请说明理由

⑴

；，=2.5s时，M运动到点5处，

，动点M的运动速度为：-^——2cm/s,

2.5

•；f=7.5s时，S=0,

：.t=1.5s时，M运动到点C处，

：.BC=(7.5-2.5)X2=10(cm),

故答案为：2,10；

(2)①•.•两动点M,N在线段BC上相遇(不包含点C),

...当在点C相遇时，v=-—(ends),

7.53

当在点B相遇时，丫=殳旦旦=6(ends),

2.5

.•.动点N运动速度v(cm/s)的取值范围为2aRs<vW6s?/s；

3

②过P作EF_LAB于尸，交CD于E,如图3所示：

贝IJE/〃8C,EF=BC=10,

.AF=AP

"ABAC"

:AC=、AB2+B，2=5泥,

.AF2V5

解得:AF=2,

：.DE=AF^2,CE=BF=3,PF=J”272=4,

：.EP=EF-PF=6,

.,.Si=SAAPM=S&APF+SU，®PFBM-S&ABM=—X4X2+—(4+2x-5)X3--X5X(2x-

222

5)=-2A+15,

S2—S^DPIM=S/\DEI^-SEPMC~S^DCM=—X2X6+—(6+15-2x)X3-—X5X(15-

222

2x)=2x,

，S1・S2=(-2r+15)X2x=-47+30x=-4(x-9)2+率.，

44

V2.5<^-<7.5,在BC边上可取，

4

.•.当x=」也时，Si・S2的最大值为2垄.

44

15、如图1,正方形ABDE和8CFG的边AB,BC在同一条直线上，且A8=2BC,取E尸的

中点M,连接MO,MG,MB.

(1)试证明力M_LMG,并求遐的值.

HG

(2)如图2,将图1中的正方形变为菱形，设/EA8=2a(0<a<90°)，其它条件不

变，问(1)中胆的值有变化吗？若有变化，求出该值(用含a的式子表示)；若无变

MG

化，说明理由.

・・•四边形A8CZ),四边形3CFG都是正方形，

J.DE//AC//GF,

：./EDM=NFHM,

/EMD=/FMH,EM=FM,

:・4EDM0/\FHM(A4S),

:・DE=FH,DM=MH,

■:DE=2FG,BG=DG,

：.HG=DG,

•；NDGH=NBGF=90°,MH=DM,

：.GM.LDM,DM=MG,

连接EB,BF,设8C=a,则AB=2mBE=2心,BF=&,

♦：/EBD=NDBF=45°,

：.ZEBF=90°,

••EF=4BEYBF2=，

•：EM=MF,

・・・BM=LEF=®3,

22

•:HM=DM,GH=FG,

:.MG=LDF=®CI,

22

VTo

(2)解：(1)中胆的值有变化.

MG

理由：如图2中，连接BE,AQ交于点O,连接OG,CG,BF,CG交BF于0；

J.GO//AB,OG=—AB,

2

"JGF//AC,

：.O,G,尸共线，

'：FG^AB,

2

：.OF=AB=DF,

'：DF//AC,AC//OF,

J.DE//OF,

...OO与EF互相平分，

•;EM=MF,

.•.点M在直线AO上，

"：GD=GB=GO=GF,

四边形OBFD是矩形，

NOBF=NODF=ZBO£>=90°,

"：OM=MD,OG=GF,

：.MG^—DF,设8G=m,则AB=2/n,

2

999

易知BE=20B=22ms\na=4msinafBF=2B0°=2m・cosa,DF=0B=2msina,

vBM=^-EF=^-A/7Z2~7Z2=J2.2,22~Z",GM=^-DF=m-

22'BE+BFY4Am•sinna+mu*cosa2

sina,

.BMVZro2"馍2+八七”[a.｛《sin2a+cos2f

MGm*sinCLsina

16、综合与实践

动手操作：

第一步：如图1,正方形纸片A8C。沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平.在沿过点

C的直线折叠，使点3,点。都落在对角线AC上.此时，点8与点Z)重合，记为点N,

且点E,点N,点尸三点在同一条直线上，折痕分别为CE,CF.如图2.

第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3.

第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点尸重合，如图4,展开铺平，连接EF,

FG,GM,ME.如图5,图中的虚线为折痕.

问题解决：

(1)在图5中，/BEC的度数是67.5°，丝■的值是A/2_.

(2)在图5中，请判断四边形EMG尸的形状，并说明理由；

(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5