2021年中考数学复习 第六章　圆

2021年中考数学复习第六章圆

第一节圆的基本性质

考点

易错自纠

易错点1未准确掌握圆的相关概念而出错

1.下列说法中，正确的个数是（A）

限径是弦;段过圆内一定点可以作无数条直径;③平分弦的直径垂直于弦;领三点可以作一个圆;⑤两条弧相等，

它们所对的圆心角也相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

易错点2因考虑问题不全面而漏解

2.在半径为2的0。中，弦的=2,则弦相所对的圆周角的度数为30一或150’.

方法

U提分特训

如图，应■为0。的直径,〃■交。。于点44?交0。于点£连接做s两线相交于点尸，连接化延长应到点。，使CQ=AR.

⑴当册“C时，

公证:ZW&△0。；

②SBCCa,AB=&时,△4田的面积是4.

(2)连接0E,DE芳，伍=6C则当N4及M60°时,四边形。皮C是菱形.

(I){2®明:NEBD=N即ZABP=NQCA,

又,.•HP=CA,AB=QC,

ax

②t

解法提示：：•△丽担

•；AP=AQ.

:,应,是0。的直径，,：,

；.4AE(}=NAECW0°,

.\QE=EP.

VBP=AC,ZBEP=/CEA^a,ZEBP:/ECA、

.：△BE3△CEA..：BE：EC.

在RlA"中一%EC苧改H,

・：AE-AB-BEa-ECA

，QP=2QEA

；.S,...iXPQXAE^-X\X2力.

(2)60

解法提示:连接加

丁四边形丽’为菱形，

:・DE=DC=OE=OC.

VOD=OCt

，OD=OC=DC、

・：NDCBW(r.

又丁心图

•:成为等边三角形，

・：/4/060°.

真题

考法1垂径定理及其推论

1」涉及考点:垂径定理、切线的性质、圆周角定理的推诏

[2013河南,7]如图，⑦是。。的直径，弦1员LG9于点C,直线即与。0相切于点〃，则下列结论中不一定正确的是（C）

A.AG=BGV,.AB//EF

C.AD//BCD.ZABC=Z.ADC

考法2圆周角定理及其推论

2」涉及考点:圆周角定理的推论、切线的性质|

[2011河南,10]如图,63切。。于点4a交。。于点〃，且48为。〃的直径，点万是做上异于点4。的一点.若

ZC-40°，则NE的度数为40，.

3.|涉及考点:圆周角定理的推论、全等三角形的判定与性质、菱形丽定

[2019河南,17]如图，在△4及7中期及＞90。，以43为直径的半圆。交4C于点。，点£是如上不与点8,重合

的任意一点，连接AE交加于点£连接膜并延长交IC于点G.

（1）求证:

（2）填空：

（2®48=1,且点万是的的中点，则如1的长为4-2/；

②®靛的中点4连接以明当/龙区的度数为30’时,四边形OBEH为英形.

⑴证明：：'以加C；N4/G9O°,

•：NC4A=NC25".

:F8为半圆。的直径，

・・・/ADF=/BDG=^Q°、

・：ND8A=NDABW5\

.\AD=BD.

丁/血/和/〃法都是防所对的圆周角，

，/DAF=/DBG、

・：△月〃走△戚

⑵，「：企

酬，

解法提示:①二的为半圆。的直径，

・：//阱90"

・：//跖冯0°.

丁点£、是粉的中点,.：/&△=/

又AE=AE、・・AAEf^2AEG、

・・・AG=AB4

在RtZX/7仞中,力/人仍・cosZ/21//-1X—^y/2,

・：IX=AGADA2五.

由（1）知△/〃〃,匕△加6；.：/〃三〃。=12V2.

②连接OE,

丁四边形〃麻〃是菱形，,：〃庐以；

又OB=OEy

・：Z\O应是等边三角形，.：NE游顼）°,,：/无出二30".

作业

基础分点练（建议用时：40分钟）

«考点1圆周角定理及其推论

1.[2020湖北宜昌]下列选项中，点££G为圆上的三点,2儆片50°，点产可能是圆心的是

2.[2020福建]如图,四边形力及力内接于0。储仁力/为前的中点,2位匕由0°,则/4步等于（A）

A

A.40°B,50°。NX

C.60°D.70°

3.[2020山东青岛]

如图,8〃是。。的直径，点4c在。。上，触毋，连接明他47交班于点G若/。⑺=126°,则/月"的度数为(B)

A.99°B.108°C.110°D.117°

4.[2019开封二模]如图,。月经过点qo,o)，e/5,o)以0/),点〃是八轴下方。月上的一点，连接做做则n如〃的度数是

(B)

A.15°B.30°C.45°D.60°

5.[2019安徽]如图公力况内接于0"/6)1庐30°,/加工5°,血/18于点〃若。〃的半径为2,则⑦的长

为

6.[2019平顶山二模]如图,4。为半圆。的直径,4为半圆。上一点，且点8不与点4。重合，点〃为半径附的中点，过点

夕作BE〃AC交力。的延长线于点E.连接CE.

⑴求证:点〃为花的中点.

⑵连接AB,BC,若仍8〃=10,请直接写出△顺的面积.

⑴证明:如图，丁点〃为川的中点，

・・・OD=BD.

丁阳〃4C・：N1=N2.

在&ADO和AEDB中,1)0=BD,42=4\/ADO=/EDB,

・••丛ADOq2印B、

.\AD=ED,

•:点〃是.花的中点.

(2)6.

解法提示:如图，连接应;过点〃作加工力。于点F.

丁力(.是半圆〃的直径，

・：/他'为0°,,：〃「

VAC-BF=AB-BCy

.“ABxBC8x624

而T

・：S.A2.

丁点〃为"的中点，

11

又:侬△£漱,・：5,八5”、总

7.[2020江苏南京]如图，在中，水以匕点〃是/山上一点,0。经过点A,C,D,交比于点£；过点〃作DF〃BC,交00

于点片连接EF£F、AF.

求证:(1)四边形〃应尸是平行四边形；

Q]AF=EF.

证明:(1):・AC=BC、

・・・/BAC=/B.

VDF//BC.

・,./ADF=/B、

；,/BAC=4ADF.

又/BAONCFD,

"ADF=ZCFD,

/.BD//CF.

又DF//BC,

•:四边形〃应尸是平行四边形.

⑵如图，连接花

：・/ADF=/B,/ADF=，AEF、

・・・4AEF=ZB.

丁四边形.仍。'是。。的内接四边形,

・：/况尸N£4"=18O°.

VBD//CF.

•:N&7Q庐180",

•••4EAF=NB、

・・・/AEF=/EAF,

・：AF=EF.

向考点2圆内接四边形的性质

8.[2020湖南张家界]如图，四边形/此为。0的内接四边形，已知NM?为120°,则N版的度数为(C)

A.100°B.110°

C.120°D.130°

9.[2019甘肃天水]如图,四边形力8口是菱形,0。经过点AC。,与比相交于点£；连接AQAE若。，则/必。的

度数为(C)

A.20°B.25°

C.30°D.35°N

R

10.［2019湖北十堰］

如图,四边形川%®内接于OQ/反L8交⑦的延长线于点“若BA平分NZ®%M=5,<W亘则AE=(D)

A.3B.3V2

C.4V3D.2V3

11/2020湖北黄石］如图,点48/,在。。上,0?上供血刃，垂足分别为4£若/比乒40°,则//0的度数为（C）

A.140°B.70°

C.110°D.80°

综合提升练（建议用时:25分钟）

1/2019开封一模］如图,0。的半径为4,将。。的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心Q则折痕/0的长为（A

A.4gB.2V3

C.6D.3

2.［2019河南省实验四模］如图,，仍是0。的直径，点如?在0（?上，且点G9在相的异侧,连接仞以曲（X；若

NABD=15。，且AD//优;则/仇¥'的度数为（B）

A.120°B.105°C.100°D.110°

3.如图，等腰直角三角板』断的斜边相与量角器的0刻度线重合,量角器的中心点为/切中点，点。是量角器上60°

刻度线的外端点，连接CD交4B于息£则NC协的度数为（D）

A.60°B.65°C.70°D.75°

4.［2020贵州贵阳］如图,回是O0的内接正三角形，点。是圆心，点〃波分别在边上，若DA=EB则NDOE的度

数是120度.

(第4题)(第5题)

5.如图,四边形内接于0Q,对角线，传过圆心。，且ACLBDF为及;延长线上一点，如_1_劭，若4c=10,4介8,则外的

长为12.

6.[2019湖北潜江]已知△/1班内接于OQN历1C的平分线交00于点〃连接。为笫

⑴如图(1),当N胡G420"时,请直接写出线段.4氏4G4。之间满足的等量关系：；

(2)如图(2),当284090°时，请写出线段44/心4〃之间满足的等量关系，并说明理由；

(3)如图(3),若仇』,劭X,求蝎%的值.

解:⑴/切

⑵川，'3(714〃

理由如下：

如图(1),延长加至点火使用六火；连接DM.

图⑴

丁四边形仍依内接于0。，

・：N\IBD=NACD.

丁/刚庐NOIZM5°,

JBD=CD、

二.△MB哈4ACD,

.\MD=AD,AM=ACAD=A^°,

・：/孙当0°,

；/7泛他即，仍+用/-VI也

・：AB+AC&AD.

(3)如图(2),延长44至点;使研三力C连接DN.

图⑵

:•四边形/谊以内接于。a

"NBIA/ACD.

•••/BAD:/CAD,

，BD=CD、

.：N质•三NZCT,△八Z四△力绍

・：ND=AD,/.，¥=/CAD=NBAD=/DCB=/欧,

•:3△侬

.ANAD

一正砺，

,AD_BD

一丽'BC'

又AHAB心=AB+AC,BCABDA

.ADBD4

"tAB+ACBC~5'

第二节与圆有关的位置关系

考n占t\w

易错自纠

易错点1对圆的相关概念掌握不准确而出错

1.有下列说法:。圆的切线垂直于圆的半径;②三角形的外心到三边的距离相等;礴直于半径的直线是圆的切线;④

若直线/与。。有公共点，则点。到直线/的距离小于或等于半径.其中正确的是‘H（填序号）.

易错点2混淆三角形的外心与内心的定义而出错

2.已知在中,NC力0°=3,点。为的内心，则点"C之间的距离为_鱼_.

易错点3因考虑问题不全面而出错

3.已知00的直径为8c叫直线/上一点一到圆心。的距离加=6cm,则直线/与Q0的位置关系是相切、相交或

相离.

方法

0提分特训

1.如图，四是0。的直径，点。是48上方半圆上一动点，过点。作00的切线，过点/I作该切线的垂线，交于点£垂

足为点〃连接BC.EC.

⑴求证:

⑵填空：

(I旌接笫当博=v时，四边形。a%是正方形;

LCL------

②当N8的度数为60或30°时，以4瓦C0为顶点的四边形是平行四边形.

⑴证明:连接班;依比;延长co交/处于点/■.

二仍是00的直径,,：/小生90°,即BE1AE.又VCDA.DE,.\CD//BE.

：Z力是。〃的切线,.“aLCD、:.COLBE.

又丁。Q阳.：/=做二直线C〃是线段庞的垂直平分线，,：拉7=6C

②60。或30°

解法提示:/当四边形代〃1是正方形时，点」与点〃重合，如图⑴，此时浣y.

②^点/：一在，仍上方，且四边形.汝7：.是平行四边形时，如图(2),连接OE.

:.：四边形力是菱形，

，A0=0E=AE=EC=OC、

・：△/应;△&T是等边三角形，.：/儿药/仇匕60°,

•:N/心210°，•:.

当点/：'在,也下方，且四边形4讹'是平行四边形时，如图⑶.

丁”二龙;.：四边形，怙”是菱形,・"小欧二例

♦是等边三角形,,：/力戊=0°,•：/庐30°.

综上可知的度数为60或30°.

2.[2019安阳二模]如图,在矩形用％刀中，点〃在对角线力。上，以OA的长为半径的0。与分别交于点日J；且

乙ACB=4DCE.

⑴判断直线"与00的位置关系，并证明你的结论；

⑵若tan/力呵，比%求。。的半径.

⑴直线〃与◎〃相切.

证明：丁四边形力是矩形,・：8C〃他

」N4CB=Z.DAC.6

又4ACB=4DCE,/

"DCE=NDAC./

连接依则N%L//I敛IV

•:ZDCE=Z.AEO.\/

又ZDCE+/DEC4。°,^\~D

・・・/AE(h4DEC=^Q”.・・・/OECW。，即OE1CE、-------/I

・：直线(力与。〃相切.

(2)TtanN幽8咨Jg,

DCN

•"庐2.

•••/ACBNDCE,

，DE=DOxm4DCE=AB・tanZJ6^=l,

•:心4T=3.

1Q

过点〃作访L，历于点G贝以6方任弓

313

」(X；1(；•i<)nZDAC-AG,ianZ.167^-X-

.：”V0G2+AG2J(/+©)2苧

真题

考法切线的性质（10年7考）

1.涉及考点:切线的性质、圆周角定理及其推论、平行线的判定

[2012河南,8]如图，已知"是。。的直径,4?切00于点4助分.则下列结论中不一定正确的是（D）

A.BALDAB.0C//AE

C./COEt乙CAED.0DX.AC

2」涉及考点:切线的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理|

[2020河南,20]我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大

难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具一一三分角器,图⑴是它的示

意图，其中4?与半圆。的直径8C在同一直线上，且48的长度与半圆的半径相等;仍与垂直于点片加足够长.

使用方法如图⑵所示，若要把乙伤V三等分，只需适当放置三分角器，使的经过的顶点£点力落在边切/上泮

圆。与另一边EV恰好相切,切点为£则用洒。就把N初邮三等分了.

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整,并写出“证

明”过程.

已知:如图⑵，点4反。,「在同一直线上垂足为点4.

求证:.

已知:如图（2）,点4日"C在同一直线上冲LM；垂足为点氏,仍二傲点2在射线£犷上,£漱切半圆0于点F.

求证:N1=/2=N3.

证明:连接班

TEBLAC,

"ABE=/OBE由。：

又・..AB=OB、EB=EB、

「△械空△侬

・：N1=N2.

丁—V切半圆。于点人

.\OFLEF.

又「OBLEB且0F=0氏

磁平分/布冗

.：Z3=Z2,

.：Z1=Z2=Z3.___________________________________________________________

3.|涉及考点:切线的性质、正方形的判定、羲形的判定、面的相关性质、等角对等边|

[2018河南,19]如图,，仿是。。的直径,ML加于点0,连接的交。。于点过点('作。0的切线交加于点£连接BC

交〃。于点F.

⑴求证:废药：

(2)连接力尸并延长，交00于点G；连接EG,OG,OC.填空：

①当的度数为30°时，四边形即g为菱形;

②SN〃的度数为22.5时，四边形以ag为正方形.

⑴证明:连接OC.

:"是。。的切线，.：3J_函

・：/FC()+/EC-

：7?0_LM,：N/N版=90°.

•：/CFE=/BFO、

••./B+/CFE帮：

•・・OC=OB、，/FCO=4氏

・・・/ECF=/CFE,

.\CE=EF.

(2)030°

.2.5°

4」涉及考点:切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定、菱形的判定、正方形的判定|

[2014河南,17]如图，切是。。的直径，且CD之cm,点产为功的延长线上一点，过点夕作0。的切线也外，切点分别为

点A,B.

⑴连接〃；若/小T0。，试证明是等腰三角形.

⑵连接AO,OB,AD,BD.填空：

DP=Ian时,四边形A。劭是菱形；

②3DP=(V21)cm时,四边形4QBP是正方形.

⑴证明:连接0A.

:•必为。。的切线，

.ZOAA.PA.

在°-N4rt>90°-30°W0°,

工/〃73/」〃/苫、60。^30°,

.：NACP=NAPO,

.'.AC=AP,

是等腰三角形.

⑵01②T)

作业

基础分点练（建议用时:60分钟）

⑥考点1点、直线与圆的位置关系

1.在平面直角坐标系中，以原点。为圆心,5为半径作圆，若点P的坐标是（3,4）,则点尸与00的位置关系是（C）

A.点户在。。外

B.点/，在。。内

C.点P在。。上

D.点户在0。上或在O0外

2.[2020广东广州]

如图,在口八郎中,/。视°,小5,3樽，以点8为圆心,r为半径作08,当r=3时,08与的位置关系是（B）

A.相离B.相切

C.相交D.无法确定

K

3.在平面直角坐标系内,已知点M4,3）,以"为圆心、不为半径的圆与八轴相交，与『轴相离，那么/的取值范围为（D）

A.0<r<5B.3<r<5

C.4<r<5D.3<r«

4.如图，。业的半径为2,圆心切的坐标为（3,4）,点尸是。物上的任意一点倒_LH,且PA,PB与x轴分别交于4/两点，若

点48关于原点。对称，则47的最小值为（C）

5.已知直线y%MAW0）经过点（12,七）,将直线向上平移或加X））个单位，若平移后得到的直线与半径为6的。。相交（点

。为坐标原点），则勿的取值范围为0切岑.

®考点2切线的性质

6.[2019广东广州]平面内,。。的半径为1,点，到点。的距离为2,过点P可作O。的切线的条数为

A.0条B.1条C.2条D.无数条

7.[2020黑龙江哈尔滨]如图，相为。。的切线，点A为切点08交。0于点，点。在。。上，连接AD,CD,OA若

,则/4％的度数为

A.25°B.20°C.30°D.35°

8.[2020浙江温州]如图，菱形如回的顶点在。。上，过点/作G）0的切线交OA的延长线于点〃若00的半径为

1,则物的长为

A.1B.2C.V2D.V3

（第8题）（第9题）

9.[2020浙江杭州]如图，已知44是的直径,8。与O0相切于点耳连接AC,OC.若sinN物鸟，则

tanNBOC=乎.

10.[2020湖北咸宁]如图，在m△/1%中,NC力0°,点。在〃'上，以。为半径的半圆。交/出于点〃交力。于点£过点

〃作半圆。的切线DF,交回于点F.

⑴求证:所二例

⑵若求半圆〃的半径长./

⑴证明:如图，连接如._：g：f

丁勿'是半圆。的切线，

・：/必须°,

"ADO+/BDF*。".

•・・OA=OD,，4ADO=/DAO,

・・・/DAO+/BDFa0.

：・/G90°,・：/加〃+/户90°,

・・・NBDF=NB,

・・・BF=DF.

⑵解:如图，连接班设半圆。的半径为r.

VAC=4tBC=^tCF=l,

・・・OCa-r、DF=BR2.

在RtZ\m•'和RtZ\W中,=•，Oi$+D户=OF、

r.oC+cP=oif^y

即(4-7y14卷，

解得r笔.

故半圆〃的半径长为圣

11.[2019许昌二模]如图,4?是半圆。的直径是半圆上一个动点(不与点48重合)”是弦/匕上一点，过点。作

/定_1/14垂足为£冠点C作半圆。的切线，交功的延长线于点F.

⑴求证/C噌

(2)⑦隹接”:当N06的度数为15时,四边形庞汽「是矩形；

理点〃是弦4、的中点，半圆。的半径为5,408,则R7的长为_与_.

⑴证明:连接效

:•%是半圆〃的切线,“是半径，

・：3_1"；即/用力+/筋二90°.

：・DE工AB、・：/力如+//W0°.

•・・OCOA,，—A、.：N/I麻+/筋二90

.：ZFCD二/ADE二/FDC、•：FOFD.

⑵@50

鳄

解法提示:。当四边形如既,为矩形时,/£次‘刁01

又：7〃二比；.：2\,4”,为等腰直角三角形，

-=45°.

②^点/•'作/"于点反

了点〃为弦行的中点，•:DC争0=^X8=4.

7/7/LCDJ:l)-FC,.：D吟)(iX4二2.

连接仇；丁力9为半圆〃的直径，/N/1侬90,

；.”J102-82-6,.：sinZC”嗡1

：•心AB,皿AC/ADE=NFDHt

3

「ZCAB=Z./〃〃ZsinZHH)=sinZC/W=z,

DH3.23.10.....10

即an而W..而rn亏亏.

12.如图，点「是以月方为直径的半圆。上的动点，连接B&AC.点E是”的中点，跖的延长线交半圆。于点，；连接

CF0F.点〃在"的延长线上，且少与半圆。相切.

⑴求证:/比加/。次

⑵填空：

魂/CAB=30'时,四边形6m'是菱形；

②已知科4/§,当及三上遮—时,△口»是等腰直角三角形.

⑴证明：丁切与半圆〃相切,.：弦1色

・：/DCB+40CB由Q0.

二四是半圆。的直径，

・：4ACBWb：・：4AC0+N0CB^G1・：/IX：B=/AC0.

•；0A=0C、・'・4CAB=/ACO,・CAB=4BCD，

又：・NCFB=4CAB、・：ZBCD=ACFB.

解法提示:如图⑴，丁四边形如了是菱形,

・・.0B;BC.

又0B「0C、

,：△如0是等边三角形,.：/。阳不0°,.：/。尻30。.

②啦

解法提示:如图(2),当△C如是等腰直角三角形时，/月Q90°,N39=N/T6M5",NG7/F5°.

过点C作CG1防于点G,则CGXB.

丁点E是/的中点，.：OF=Q.OEtEC>/5,

・：tan/FE02、・・・tan4CEGe,，CGtEG.

:F(m、.：EG42砌飞石)，

"；i,则(m；1NL

®考点3切线的判定

13.[2020四川南充]如图，点/,氏。是半径为2的。。上三个点，例为直径,N物C的平分线交圆于点〃，过点〃作.M的

垂线交力C的延长线于点己延长以交/切的延长线于点F.

⑴判断直线)与。。的位置关系，并证明.

⑵若DF=Kl,求tanN刃〃的值.

(1)直线夕,.与。〃相切.

证明:连接例如图.

:•力〃平分N加C

・：/EAD=/OAD.

又VOA^OD,

•••/ODA=NOAD/=EAD,

/.OD//AE.

又AE1EF,

.\ODA.EF.

又丁点〃在。0上，

・：直线/：厂与0〃相切.

⑵由⑴可得△0〃/•、为直角三角形.

：V^-2,V2,

・•・()除

•:心8.

VOD//AE,

••.△ODFS^AEF,

,ODOF_DF_pf]_2_64&

"'AE4FEF,GAE8ED+4V2,

.”84x/2

,.%/:〃管

.:在RlZUM中,ianNKM学学.

AE2

14.[2020濮阳模拟]如图,43为0〃的直径,〃、为。。的弦，处为。。的切线,N4T之N1.

⑴求证7r是。。的切线.

（2）点〃是优弧力7上一动点，

盗接见气傲灰;若四边形成磔为菱形，则

舞接AD,CD,当ACm,/ADC4q。时,的周长的最大值为」V5_.

⑴证明:连接5

；/BOC之八£APC吃八

・・・NBOC=/APC.

又N8a、+N4T=180°,.：//1/0/力*=180°

厂明为00的切线，,：/如尸R0°,

又四边形力a71的内角和为360”,

・：/%产90°,即0C1PC、

又优为3〃的半径,•："为1）0的切线.

⑵刎°

解法提示:①丁四边形能勿为菱形，.：/=%.

又•；0C=0B,,・,0C=0B=BC「・・/B0C4Q°、

・：/吗/毗=30°.

②当△水〃的周长取得最大值时,，切，必应取最大值.

将%绕点〃顺时针旋转120;得到戊二连接CC\

又丁/4％'=60°,

•:点4/C'三点共线,,

；,ADH：D=AD+DC'-AC'.

设点4GC'所在的圆为3自则点〃在的垂直平分线上，且N4G60;

•:点〃为”的垂直平分线与优弧“、的交点，即点/：.为优弧”的中点.

易知当/“、'为的直径时,〃'最长，此时点〃与点/•重合,△/!以为等边三角形,

的周长的最大值为VI

@考点4三角形的内切圆与外接圆

15.[2020浙江金华]如图,0。是等边三角形1%的内切圆,分别切AB,BC,AC于点是命上一点，则/四空的度数

是（B）

A.65°

16.[2020江苏连云港]10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内均是正六边形的

顶点.则点。是下列哪个三角形的外心？（D）

A.△力叫B.△力协C.△比〃D.XACD

17.[2019湖北荆门]

如图，△力应’的内心为/,连接4/并延长交△四。的外接圆于点〃，连接必则线段〃/与血的关系是(A)

A.DI=DB^.DI>DB

C.DI<DE^.不确定

D

18.如图，。为锐角三角形48。的外心，四边形比）定为正方形，其中£点在△』瓦、的外部三点不共线，则下列叙述

正确的是（B）

A.0是的外心,0是的外心A

B.0是△?!叫的外心,。不是△｛成的外心

C.0不是△4史f的外心，。是的外心/Z\\D

D.。不是的外心,0不是△/劭的外心J7/

◎考点5正多边形和圆

19.[2019四川成都]如图，正五边形4附切内接于＜3。/为施上的一点（点户不与点。重合），则NOW的度数为（B）

A.30°B.36°

C.60°D.72°

20.[2019湖北孝感]刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，

利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图，若用圆的内接正十二边形的面积S来近似估计00

的面积S,设。。的半径为1,则s-s^0.11.（n取：3.14）

综合提升练健议用时：35分钟）

1.[2020江苏南京]如图,在平面直角坐标系中，点尸在第一象限尸与x轴、y轴都相切，且经过矩形4。比"的顶点C,

与比相交于点D.若O户的半径为5,点A的坐标是（0,8）,则点。的坐标是（A）

A.（9,2）B.（9,3）C.（10,2）D.（10,3）

2.[2019四川乐山]如图,抛物线与x轴交于两点/是以点40,3）为圆心,2为半径的圆上的动点,0是线段

处的中点，连接闸则线段8的最大值是(C)

A.3B与C.ZD.4

3.[2019浙江宁波]如图，在■中,N890°,/!俏12,点。在边BC上CD$、BK.点户是线段4?上一动点,当半径

为6的O户与△胸的一边相切时,4户的长为―冷或:.

4.[2020浙江宁波]如图,0。的半径力4,8是。0上的动点(不与点力重合)，过点9作O0的切线及7/。=如连接0C,AC.

当△的。是直角三角形时，其斜边长为2或或2次.

5.[2020湖南岳阳]如图,45为半圆。的直径,MC是半圆上的三等分点物与半圆”相切于点瓦点/，为俞上一动

点(不与点4〃重合)，直线PC变放于点D,BEA_OC干点、£延长BE交PC于点、£连接附,则下列结论正确的是

②小.(写出所有正确结论的序号)

①PB=PD,胸1的长为

③NZ®F=15°;④4BCFs4PFB,

@CF>(T为定值.

6.定义:如图⑴，在△＜式•中，三个内角都小于120°,点尸在其内部，连接PA,PB,PC,如果NBPC=NBPA=ZAPCA2Q：那

么点户叫做的等角中心.

完成下列问题：

(1)求证:等边三角形的等角中心与其外心重合.

(2)如图(2),已知△板的三个内角都小于120。，以及;为边向外作等边三角形及力,00是等边三角形及力的外接圆,

连接.4〃与。。交于点£求证:点£是44?。的等角中心.

图Q)图(2)

⑴证明:如图⑴,是等边三角形，点。为箕外心，连接OA.OH.OC,

9A^AOB=Z^ACB=\20'',ZBOC=2ABAC=\20",Z/16t'=2Z/f5C=120,',

.:点〃为△/0C的等角中心，

即等边三角形的等角中心与其外心重合.

(2)证明:如图(2),连接曲阳

:7\腐?是等效三角形，.：//乂炉/《如书0°.

易知N分8=N改力WO〕NDEC=/CBD=^:

.：/AEB=NBEC=NAECA2Q：

即点ZT是△/1应、的等角中心.

7.[2020四川成都J如图，在△1欧的边式'上取一点。，以点。为圆心,3的长为半径画00,00与边力6相切于点

连接力交。。于点£连接金；并延长交线段A8于点F.

⑴求证是0〃的切线；

⑵若止10,tan呜求。。的半径;

⑶若点/「是，仍的中点,试探究BD+CE与力〃的数量关系,并说明理由.

⑴证明:连接〃〃

丁加，是0。的切线，，血/血

(AC=AD,

在应'和△/1切中,10A=0A,

\0C=0D,

・•・AAOC^△/、()□,・•・/AC0=/ADO由Q°.

又1"是公〃的半径,•：〃'是。〃的切线.

⑵设。。的半径为八即0C=0D=r.

在1<1△仇7〃中Jan上器切亨；出号;

.:人如3吟―帆，甲5甲9

在RIZM仅7中,W+4C即10(0年)一(",

解得/凯0(舍去).

故。的半径为方

的AF=BD+CE.

理由:由题意可知CF是1“△/外斜边上的中线，

.：CFMFP3F,则/BCF二/B.

连接〃/:；由⑴可知△月6a△/[如易得CE-DE.

易证△4%匕△〃龙:;,：Z0EC=Z.0ED.

又丁利-依,：/戊石二/收

"CED：/B+/BCF.

又：,/Z%?F800-/d屹/砒F80°7/BCF+N限

・：4DEF=4DFE,・：DE=DF=CE、

.：AF=BF=DF+BD=CE+BD.

全国视野创新练

[2020江苏连云港]筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图⑴.唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物,

轮乃曲成”.如图(2),半径为3m的筒车。。按逆时针方向每分钟转亮圈，筒车与水面分别交于点力,〃,筒车的轴心〃距

离水面的高度”长为2.2m,筒车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒厂刚浮出水面时开始计算时间：

⑴经过多长时间,盛水筒/〉首次到达最高点？

0画出水面3.4s后,盛水筒〃距离水面多高？

⑶若接水槽JZV所在直线是。。的切线，且与直线力8交于点也朗门8m.求盛水筒尸从最高点开始运动，至少经过多长

时间恰好在直线.访V上.

(参考数据:cos43°=sin47°Q^sin160=cos74°2羔sin22°=cos68°g)

154Uo

解:(1)如图(1),由题意得，筒车每秒旋转的度数为360°.

O

连接3,在,

所以/力小43°,

所以*%

W7.4(s).

答:盛水筒〃首次到达最高点所需的时间为27.1s.

⑵盛水筒〃浮出水面3.4“后，筒车旋转的角度为3.4X5-17

连接例如图⑴，即乙仞占17°,

所以N〃"二N//力0/73°N7°=60°.

过点〃作垂足为点〃

在RSP01)中、OD=()P*cos60'=3xi-1.5(m),

所以l)C=0CT)D=67m.

答:此时盛水筒”距离水面的高度为0.7m.

⑻因为点，在0。上,且直线你与相切，

*以当在直线加上时,点是切点，如图(2).

图⑵

连接他则0P1MN.

npQ

在町△〃心/中所以/仅启68

0M8

nr2211

在Rt△a初中,cos/d〃M二——

OM7840

所以NC〃入74°.

延长⑺交。〃于点〃

贝|」/上必口80°-Zra/-Z6W-1800-68°-74°-38°,

所以需要的时间为学7.6(s).

答:盛水筒尸从最高点开始运动，至少经过7.6s恰好在直线MV上.

第三节与圆有关的计算

易错自纠

易错点混淆弧长公式和扇形面积公式而出错

1.已知一个扇形的半径为6,弧长为2n，则这个扇形的圆心角的度数为6().

2.已知0。的半径。与，点占在。。上,且扇形如3的面积为12”,则触所对的圆周角的度数是6()」.

方法

0提分特训

1.[2019湖北黄石]如图,RtZU比中,24=90°,N4方的平

分线交1方于点是砥上一点，经过两点的0。交M砥分别于£尸两点,月八行，乙4〃660°，则长的长

2.如图,将矩形绕着点,4逆时针旋转得到矩形AEFG,点8的对应点£落在边切上,3是点。的对应点运动的路

径.若协=4,%=275厕3的长为_竽_.

3.[2020洛阳三模]如图(1),扇形纸片的圆心角为90。，半径为6.将这张扇形纸片折叠，如图(2)所示，点A的对应点/1'

与点。恰好重合,折痕为勿,图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为(A

图⑴图⑵

A..u6n-9V-3B.6n-973

C.12“一竿

D考

4

4.12019郑州适应性测试］如图，在中,。=细乙430°点〃为四的中点，以点〃为圆心作半圆泮圆恰好

经过△/成•的直角顶点，以点〃为顶点，作N&/W0。，与半圆分别交于点£:五则图中阴影部分的面积是“-

5.［2020开封二模］如图"C_L仇"，=及7=4,以应•为直径作半圆，圆心为点Q,以点，为圆心、及7长为半径作崩，过点0

作4C的平行线分别交两弧于点〃高则阴影部分的面积是誓二V5_.

DC

AEFB

6.［2019河南省实验三模］如图,以矩形力比力的顶点力为圆心、线段力〃的长为半径画弧，交然边于点月再以顶点C

为圆心、线段切的长为半径画弧交月8边于点E.若力。石。而或，则施，介和成围成的阴影部分的面积

为一乳季2卬2_.

真题

考法1弧长与圆锥侧面积的计算

I.快及考点:弧长的计算I

［2013河南,12］已知扇形的半径为4cm,圆心角为120°，则此扇形的弧长是?cm.

2」涉及考点:圆锥侧面积的计算|

［2012河南,11］母线长为3,底面圆的直径为2的圆锥的侧面积为3工.

考法2阴影部分面积的计算

3」涉及考点:扇形面积的计算、旋转的性质|

/--------

oy

A

0B

[2017河南,10]如图，将半径为2,圆心角为120°的扇形如8绕点/I逆时针旋转60°,点。加的对应点分别为0'/',连

接班'，则图中阴影部分的面积是（C

A.yB.2V3-2

C.2V3-yD.4V3-y

4.|涉及考点:扇形面积的计算、三角函数|

[2019河南,14]

如图,在扇形加分中仍=120。，半径笫交弦49于点〃且OCA.OA.若。1之百,则阴影部分的面积为支齿.

5」涉及考点:扇形面积的计算、旋转的性质|

[2018河南,14]如图，在应'中,N"77=90°,4C=及＞2,将△/!用绕,他的中点〃逆时针旋转90"得到△4'8'C',其中点

8的运动路径为俞，则图中阴影部分的面积为_泣_|_.

1

*B（第5题）04（第6题）

6.|涉及考点:扇形面积的计算

[2016河南,14]如图,在扇形力切中,/加伊90。，以点/为圆心，》的长为半径作能交Q于点C.若见之，则阴影部分

的面积为通勺”.

--3--------

7.修及考点:扇形面积的计算、三角函数

[2015河南,14]如图，在扇形月如中，乙1（期90°,点。为期的中点，电如交部于点反以点。为圆心,少的长为半径

作曲交出于点D.若则阴影部分的面积为—亨笫

4C。（第7题）（第8题）

8」涉及考点:扇形面积的计算，旋转的性质、菱形的性质

[2014河南,14]如图,在菱形A8CV中,AB=1,NDAS4Q°.把菱形4及力绕点4顺时针旋转30°得到菱形9'。'〃',其中

点。的运动路径为笈'，则图中阴影部分的面积为_号_、行二

作业

基础分点练（建议用时:50分钟）

®考点1弧长的计算

1.（2020四川南充］如图，四个三角形拼成一个风车图形，若46=2,风车转动90,，则点8运动路径的长度为（A）

A.nB.2nC.3n

2.［2019浙江绍兴］如图44砥内接于。。,28书5°,2070°,若仇＞2夜厕前的长为(A)

A.nB.V2nC.2nD.2企冗

3.［2020四川达州］如图，在半径为5的。。中，将劣弧四沿弦，仍翻折,使折叠后的触恰好与小，仍相切,则劣弧烈的

长为

A.KB.nC.|nD.1n

3246

4.如图,正方形46曲的四个顶点分别在扇形侬'的半径庞;Q/;•和康上，且点A是线段Q6的中点，若麻的长为再n,

则切的长为」V5_.

5.［2020贵州黔西南州中考改编］如图，在中,N/1（必90。，AC=BC=t点。为4?的中点，以点。为圆心作扇形

DEF,且Z