2021年中考数学复习 题型6 二次函数的实际应用

题型六二次函数的实际应用

®类型1利润最值问题

1.[2020辽宁营口]某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元,

当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶.根据市场行情，现决定降价销售.市场调查反映:销售

单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本单价)，若设这款“免洗洗手液”

的销售单价为M元)，每天的销售量为火瓶).

(1)求每天的销售量M瓶)与销售单价M元)之间的函数关系式；

(2)当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

解:⑴尸80+20X震，

侬0.

(2)设每天的销售利润为"元，

则"TM0x+880)(xT6)=M0(xT9)、360.

.:当x-19时,犷取最大值,/最大=360.

答:当销售单价为19元时,每天的销售利润最大，最大利润为360元.

2.[2020合肥蜀山区模拟]某水果连锁店销售某种热带水果，其进价为20元不克.销售一段时间

后发现，这种水果的日销售量M千克)与售价*元汗克)的函数关系的图象如图所示.

，/千克

♦Iqsy千克)

(1)求y关于x的函数解析式.

(2)当售价为多少时,当日的销售利润最大，最大利润是多少？

(3)由于某种原因，这种水果每千克的进价提高了〃元(〃闿),物价局规定这种水果的售价最高不得

超过40元不克，但日销售量与售价仍然满足⑴中的函数关系.若日销售利润最大是1280元，请

直接写出m的值.

解:(1)由图象可知，日销售量M千克)与售价M元汗克)满足一次函数关系，

故设也将(25,110),(30/00)分别代入，

,(25k+b=110,

^B{30k+b=100,

解得仁益

•:尸一2户160.

⑵设售价为M元不克)时,日销售利润为M元)，

则^^-20)(-2^160)-2/^200.¥-3200-2(^-50)2^1800.

:抛物线开口向下,

•:当肝50时，十取最大值，最大值为1800.

答:当售价为50元汗克时，日销售利润最大，最大利润是1800元.

⑶折4.

解法提示:根据题意知，每千克进价提高in元后/片、(-2户160)=-2*«200+2/〃)丫-3200-

160///,

•:抛物线的对称轴为直线「当当巧0伫.

2X(-2)2

：»0,

・：50网)50,

•:当x=40时，W取最大值1280,

即当x-40时，陟=-2X4()2%20(H2〃/)X40—3200-160^1280,

解得m力.

3.[2020贵州黔东南州]黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品,

需60元;购进2件甲商品和3件乙商品，需65元.

(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？

(2)设甲商品的销售单价为M元)，在销售过程中发现，当时，甲商品的日销售量M件)与

销售单价M元)之间存在一次函数关系,x与y之间的部分对应值如下表：

销售单价A7元1119

日销售量”I牛182

请写出当时与x之间的函数关系式.

⑶在⑵的条件下，设甲商品的日销售利润为“，元，当甲商品的销售单价M元)定为多少时,日销售

利润最大？最大利润是多少？

解:(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别是a元、b元.

由题意得鼠案墙

解得｛32

故甲、乙两种商品的进货单价分别是10元、15元.

⑵设11WW19时,y与x之间的函数关系式为y=k、x+b1.

将(11,18),(19,2)分别代入得鼠；*二

解瞰:猛

故时y与x之间的函数关系式为y=-2x+40(llWx《19).

(3)由题意得片(-2xM0)(x-l0)=-2f用Ox/OO=-2(xT5)，为0(HWxW19).

r-2<o,

.:当x=15时,犷取得最大值50.

答:当甲商品的销售单价定为15元时，日销售利润最大，最大利润是50元.

4.［2020安庆四中二模］某市在党中央精准扶贫政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民

组建农副产品销售公司.某农副产品的年产量不超过100万件，已知生产出的产品都能在当年销

售完，达到产销平衡.该产品每年的生产费用六万元)与年产量M万件)之间的函数图象是顶点为

原点的抛物线的一部分,如图⑴所示.该产品的售价z(元/(牛)与年销售量M万件)之间的函数图象

是如图(2)所示的一条线段.设所获毛利润为//(万元).(毛利润嗡售额告产费用)

(1)请直接写出y与x以及z与*之间的函数关系式.

(2)求"‘与x之间的函数关系式，并求年产量为多少万件时，所获毛利润最大,最大毛利润是多少.

(3)受资金的影响,2020年投入生产的费用不会超过360万元，问：2020年最多可获得多少万元的

毛利润？

图(1)图(2)

解:(1次与x之间的函数关系式为y*上

/与x之间的函数关系式为■什30.

10

解法提示:设y=a尤

将(100,1000)代入，得1000=10000a,

解得a卷

故y与x之间的函数关系式为y^x.

设z=上故将(0,30),(100,20)分别代入,

彳曰［b=30,

^(100/c+b=20,

解得卜=q，

w=30,

故/与X之间的函数关系式为“一二/30.

10

（2）H^zx-y--^x^30A150x）gx75）-4125.

:,二<0,

5

.:当产75时，/取最大值，为1125,

故年产量为75万件时，毛利润最大，最大毛利润为1125万元.

⑶令.片360,即亲飞60,

解得肝60（负值不合题意，已舍去）.

结合y与x之间的函数图象可知，当0OW60时,03360.

对于胎4（・75）*125,

当0CW60时，/随V的增大而增大，

故当x=60时/取最大值，最大值为1080.

故2020年最多可获得毛利润1080万元.

5.[2020合肥瑶海区二模]随着时代的不断发展，生活中出现了许多新颖的网络购物方式.某电商

平台上提供了一种拼团购买的方式，当拼团（单数不超过15单）成功后商家将会让利一定的金额

给予顾客实惠.现在某商家准备出售一种每件成本为25元的新产品，经市场调研发现，单价单

位:元）、日销售量”单位:件）与拼单单数>之间满足一次函数关系，部分数据如下表.

拼单单数x24812

单价y/7t34.5343332

日销售量

687692108

件

请根据以上信息解决下列问题:

⑴请分别写出单价八日销售量/"与拼单单数x之间的函数关系式;（直接写出结果）

(2)拼单单数设置为多少时日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

⑶在实际销售的过程中，厂家希望能有更多的商品出售，因此电商每销售一件商品厂家就给予电

商补助a元(aW2),已知电商在获得补助之后日销售利润能够随单数x的增大而增大，求a的取值

范围.

解:⑴片%+35；

解法提示:设y=kx+b,

将(4,34),(8,33)分别代入,

i

得｛北+0=34,解得k

一~4f

+b=33,b=35,

设/二k\x+b、,

将(4,76),(8,92)分别代入

得般代二好瞰二嘉,

・：勿=4/珀0.

(2)设日销售利润为M元),根据题意彳导

叭十+35-25)(4*抬0)=-八25*砍0=-(理).明^

:是整数，

.:当JT=12或13时，『取最大值，最大值为756.

答:当拼单单数为12或13时日销售利润最大，最大日销售利润是756元.

(3)设电商获得补助后日销售利润为网元)，

根据题意，得炯+x+35-25坳(4不用0)=寸«25代()0母0a,

易知该二次函数图象开口向下,对称轴是直线x二竽.

:•当xW15时“随'的增大而增大,x是整数，

又aW2,.：l〈aW2.

6.[2020湖北随州]2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月

（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格以元ZR）和销量成只）与第x天的关系如下表：

第x天12345

销售价格p人元/

23456

只）

销量（7/只7075808590

物价部门发现这种乱象后,统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元ZR,该药店从第

6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只.据统计，该药店从第6天起销量域只）与第x天的关

系为g=-2V用0x-200（6WxW30,且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只.

（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；

（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的日销售利润周元）与x的函数关系式，并判断第几天的利

润最大；

（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常

利润之外的非法所得部分处以0倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则卬的取值范围为

，衰.

-------5—

解:⑴0=x+l/W启5且'为整数；

q而x花5,1WxW5且x为整数.

⑵当1W-5且x为整数时，

-0.5）（5x卅5）刃r早喈；

当6W*W30且*为整数时,

/仅1-0.5)(-2/光Ox-200)

=-*M0xT00.

5x2+—x+—(1<x<5且x为整数)，

即有叼22

-x2+40x-100(6<x<30且x为整数).

当且x为整数时,售价、销量均随x的增大而增大,

故当产5时”.大N95;

当6WxW30且x为整数时，片-/*40『100=-（丫_20）'+300,

故当产20时，加最大-300.

由495,300,可知第5天利润最大.

④类型2抛物线形问题

7.某景区平面图如图⑴所示〃为边界上的点，已知边界物是抛物线的一部分，且点E为

其顶点，其余边界均为线段，且4。，期%1明/%%=3,4/8,抛物线的顶点£到四的距离笳=7,

以四所在直线为轴,四所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.

(1)求边界曲所在抛物线的解析式;

⑵如图(2),该景区管理处欲在区域ABCED内，以四为一边，用围栏围一个矩形场地，柄倒使得点

也N在边界力8上，点夕,0在边界劭上，求所用围栏的最大长度及此时点。的位置.

解：(1)根据题图可知凤0,7),边界(砂所在抛物线的对称轴为y轴,

；.可设抛物线的解析式为L+7,〃畤弘M.

又BC1ABKA

二14,3）.

将(4,3)代入片aM/7,解得a一；,

边界曲所在抛物线的解析式为

4

(2)设《例一加+7),

则留2〃/竹/六二济+7,

4

.：围栏的长度为PQ+PN+QM2m以软+7)：冢*+\k，(勿-2)，+16,

,:当/游2时，围栏的长度最大，最大长度为16,此时点夕的坐标为(2,6).

8.如图所示/轴上线段仍表示一段平直公路，回为山坡.一辆喷灌车停在平面直角坐标系的原

点。处,从喷头4(0,2)喷出抛物线形水柱,能给山坡上点6(40,〃)处的水窖注水，山脚点5(19,0).水

柱离开喷头水平前进30m达到最高47m.

(1)求水柱所在抛物线的函数解析式和/"的值；

(2)若喷出的抛物线形水柱形状不变，欲在山坡上水柱所能喷到的最高处建一个水窖，要给它注水,

必须把车开到距山脚点6多少米处？

解:(1)由题意可知抛物线的顶点为(30,47),

故可设抛物线的解析式为片a(x-30y司7,

把点A的坐标代入，得2=a(0-30)‘抬7,

解得a--0.05,

.g-0.05(x-30)飞7.

当尸10时，尸05X(40-30yM7力2,

•:游42.

(2)设直线a'的解析式为y=kx+b、

代入点419,0),口40,42，得

fl9k+b=0,(k=2,

(40/c+b=42,n^{b=-38,

.：直线叱的解析式为y-2x-38,

当产47时,472*-38,得12.5.

19-(42.5-30)=6.5(m).

故欲在山坡上水柱所能喷到的最高处建一个水窖，要给它注水，必须把车开到距山脚点66.5m

处.

9.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角坐

标系,抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到墙面仍的水平距离为3m,到地面OA

的距寓为］m.

(1)求该抛物线的解析式，并计算出拱顶。到地面OA的距离；

(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向行车道，那么这辆货

车能否安全通过？

(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8

m,那么两排灯的水平距离最小是多少米？

解:⑴由题意知，点凤0,4),43,/)在抛物线上,

所以自14‘卜9+劭+&解得忆：'

所以抛物线的解析式为『二2*，2'幽，

6

所以拱顶〃到地面0A的距离为竺挣之刁。^).

4X”)

⑵抛物线的对称轴为产布直£

由题意知，车最外侧与地面0A的交点为(2,0)(或(10,0)).

当或十口0)时,六等用，

所以货车可以安全通过.

⑶令产8,即4可得y-12%+244),

6

解得X\$¥2g,、x：Wr'NW

x,,v-lV3.

即两排灯的水平距离最小是4V5m.

®类型3面积问题

10.为了改善市民的生活环境，某市修建了一个休闲文化广场，如图，在Rt△力应1内修建矩形水池

使顶点〃波在斜边上，;G分别在直角边阳/C上，又分别以4氏及如4。为直径作半圆，构造

出两弯新月形状的区域(图中阴影部分),并在该区域种植花草，其余空地铺设瓷砖，其中16之4百

米，/物R60。，设EF=x米'DE=y米.

(1)求y与x之间的函数关系式(请直接标明x的取值范围).

(2)当x为何值时，矩形㈤%的面积最大？最大面积是多少？

(3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积，并求当x为何值时，矩形曲的面积等于两弯新月面积的最

解:⑴在口△/以'中，丁/力⑦=90°,48=24代,/%。=60°,

.\AC^AB=\2y{3,BC^AB^,ZABC^°.

:,四边形应7%是矩形,

:・/ADG=/FEB帮°、DG=EF=x、

•:小凝争3焉=^/3.\'.

TAD+DE+BE=AB,

.咚”存名1百，

.：124V5~~.\'^/3x--?x+24遮，

即y与x之间的函数关系式为二《"246(0＜丫＜18).

⑵由题意可知矩形废尸。的面积为孙=乂考'+24g)=邛才+24巡%=呼(工田)、1086,

.:当尸9时，矩形加7p的面积最大，最大面积是108代平方米.

⑶记以阳46为直径的半圆面积分别为S,5,S,两弯新月的面积为S,

则.三n一,£4nBC,SAnAR,S=SESS

888

.：5且n/ddn小+S-二兀AB,

888

又AC+BC=AR,

.W争1•^X12A/3X36-216V3.

令.3$=72遍则^(A-9)-108V3-72V3,

整理，得(x4)27,

解得A-9±3V3,

故当时，矩形〃/7•。的面积等于两鸾新月面积的，

11.李师傅想在自家院子里利用夹角为135°的两面墙修建一个储物间，即四边形4?必如图，其中

BC〃AD,NCW0。，现欲在