2021年中考数学复习：图形的性质4《四边形》测试卷练习卷（答案及解析）

2021年中考数学复习专题：图形的性质4《四边形》测试卷练习卷（答案及解析）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.如图，已知四边形A8CZ）是平行四边形，下列结论中A/\~^7

错误的是（

A.当4B=BC时，它是菱形0

B.当AC1BC时，它是菱形

C.当ZC=BD时，它是矩形

D.当乙4BC=90。时，它是正方形

2.如图，△4BC中，。是BC边的中点，AE平分NB4C,BE1

4E于E,已知4B=10,AC=18,则DE的长为（）

A.4

3.如图，点。是。OA8C内一点，CZ）与x轴平行，80与y轴平行，BD=近,^ADB=

135°,SMBD=2.若反比例函数y=§（x>0）的图象经过A、。两点，则女的值是（）

A.2V2C.3V2

一个十二边形的内角和等于（）

A.2160°B.2080°C.19800D.1800°

A

5.如图，在四边形ABC。中，对角线AC,8。相交于点

O,AO=CO,BO=。。.添加下列条件，不能判定四

边形ABCD是菱形的是（）

A.AB=AD

B.AC=BD

C.AC1BD

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D./-ABO=Z.CBO

6.菱形的两条对角线分别为8和6,则菱形的周长和面积分别是（）

A.20,48B.14,48C.24,20D.20,24

7.矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A.对角线互相垂直B.对角线相等

C.对角线互相平分D.邻边相等

8.如图，矩形ABCD中，。为AC中点，过点。的直

线分别与4B、交于点E、F,连接B尸交AC于

点M,连接DE、80,若NCOB=60°,F0=FC,

则下列结论：①FB垂直平分。C；②xEOB三X

CMB；@DE=EF；④SAAOE：SI^H^DGOF~2：7.

其中正确结论的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

9.如图，菱形ABC。的对角线AC,BQ相交于点O,过点A作AE1BC于点E,连接

0E.若0B=6,菱形A8CQ的面积为54,则OE的长为（）

D

B

A.4B.4.5C.8D.9

10.如图，直角三角形ABC中，AC=2,BC=4,P为斜边AB上一

动点，PE1BC,PFLCA,则线段EF长的最小值为（）

A

V5

B2

C4

5-V5

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.如图，矩形ABCO中，E为8c的中点，将△ABE沿直线

AE折叠，时点B落在点尸处，连接尸C,若NZMF=18°,

则NOCF=度.

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12.如图，四边形ABC。是矩形，AB=4,AD=2五,以点

A为圆心，A8长为半径画弧，交CD于点、E,交的延

长线于点F,则图中阴影部分的面积是.

13.如图，E,尸是正方形ABC。的对角线AC上的两点，AC=8,

AE=CF=2,则四边形8E0F的周长是

14.如图，在菱形ABCD中，44=30。，取大于的

长为半径，分别以点A,B为圆心作弧相交于两点，

过此两点的直线交AO边于点E（作图痕迹如图所示

）.连接BE,BD.则4EBD的度数为.

三、解答题（本大题共7小题，共58.0分）

15.已知：如图，平行四边形438,E、尸是直线AC

上两点，且力E=（T.求证：四边形EBFZ）为平行四

边形.

16.如图，四边形A8C。为平行四边形，E为边上一点，连接AC、BE,它们相交

于点凡S.Z.ACB=/.ABE.

⑴求证：AE2=EF-BE；

（2）若4E=2,EF=1,CF=4,求AB的长.

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17.如图，在菱形ABCQ中，对角线AC,相交于点。，

E是CD中点，连接。立过点C作C/7/BD交0E的延长

线于点F,连接。F.

求证：(1)40DEWAFCE；

(2)四边形OCFD是矩形.

18.如图，在矩形ABCQ中，A£平分NB4D,交BC于E,过E

做EFJ.AD于R连接BF交AE于P,连接PZ).

(1)求证：四边形ABE尸是正方形；

(2)如果48=6,AD=8,求tanz^DP的值.

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19.如图，在矩形ABC。中，过对角线80中点。的直线分别

交边40,BC于点、E,F.

(1)求证：四边形BECF是平行四边形；

(2)若4B=3,BC=4,当四边形BED尸是菱形时，求EFB

的长.

20.如图,在矩形ABCQ中，点E是边BC上的点,4。=DE,

AF1DE于点F.

(1)求证：AF=CD；

(2)若CE=12,tan乙4DE=q,求EF的长.

21.如图1,在平行四边形ABC。和平行四边形G2EF中，顶点B是它们的公共顶点,

乙ABC=乙GBE=60°,AB=BE=4,BC=BG-273+2.

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【特例感悟］（1）当顶点尸与顶点。重合时（如图1），AO与BG相交于点M,BC与

EQ相交于点N,求证：四边形BA/QN是菱形；

【探索论证】（2）如图2,当4GBe=30。时，四边形GCFZ）是什么特殊四边形？试

证明你的结论；

【拓展应用】（3）试探究：当NGBC等于多少度时，以点C,G,D,尸为顶点的四边

形是矩形？请给予证明.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进

行判断是解此题的关键，难度适中.根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可.

【解答】

解：A、•••四边形ABC。是平行四边形，

又•••AB=BC,

二四边形ABCQ是菱形，故本选项不符合题意；

8、•••四边形A8C。是平行四边形，

5L-ACLBD,

四边形ABC。是菱形，故本选项不符合题意；

C、•••四边形ABC。是平行四边形，

又AC=BD,

••・四边形是矩形，故本选项不符合题意；

•四边形48C。是平行四边形，

又丫/.ABC=90°,

••・四边形ABC。是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；

故选：D.

2.【答案】A

【解析】解：延长BE交AC于F,

在AAEF和AAEB中,

(Z.EAF=乙EAB

{AE=AE,

(2EF=Z.AEB

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・••△AEF三△AEB(4S4)

：.AF=AB=10,BE=EF,

・・.CF=AC-AF=8,

vBE=EF,BD=DC,

・,.DE=-CF=4,

2

故选：A.

延长8E交AC于F,证明三AAEB,根据全等三角形的性质得到4F=4B=10,

BE=EF,根据三角形中位线定理计算即可.

本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行

于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关犍.

3.【答案】D

・•・Z.AOM=乙CBD,

••,CO与x轴平行，8。与y轴平行，

/.ZCDB=90°,BEA.AM,

:.Z.CDB=Z.AM0,

•••△A0M*CBD(44S),

OM=BD=V2,

)S△力BO=-BD,AE—2，BD=V2,

:.AE=2企，

・••Z-ADB=135°,

:.乙4DE=45°,

.必力。£是等腰直角三角形，

・•・DE=AE=2也

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。的纵坐标为3/，

设A(zn,遮)，则0(?n-2夜,3企)，

•••反比例函数y=g(x>0)的图象经过A、。两点，

k—V2m=(m-2或)X3或，

解得m=3V2，

：.k=V2m=6-

故选：D.

根据三角形面积公式求得4E=2V2,易证得△AOM^hCBD(AAS),得出OM=BD=也,

根据题意得出AAOE是等腰直角三角形，得出DE=AE=2或，设则。(m—

2a,3夜),根据反比例函数系数k的几何意义得出关于，〃的方程，解方程求得m=3位，

进一步求得k=6.

本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边

形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出4、。的坐标是解

题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：十二边形的内角和等于：(12-2)-180°=1800°；

故选：D.

〃边形的内角和是(n-2”180。，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和.

本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和

公式，是需要熟记的内容，此题难度不大.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定.根据

菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得.

【解答】

解：AO=CO,BO=DO,

二四边形ABCD是平行四边形，

当2B=4。或AC1BD时，均可判定四边形ABCO是菱形；

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当乙4B。="B。时，

由力O//BC知NC8。=/.ADO,

：•乙ABO=Z.ADO,

・•・AB=AD,

四边形ABC。是菱形：

当AC=BD时，可判定四边形ABCQ是矩形;

故选：B.

6.【答案】D

【解析】解：如图，菱形ABCO中，AC=8,BD=6,

C

0A=-AC=4,OB=-BD=3,AC1BD,

22

：.AB=yJOA2+OB2="6+9=5.

.•.此菱形的周长是：5X4=20,

面积是：!x6x8=24.

故菱形的周长是20,面积是24,

故选：D.

首先根据题意画出图形,然后由菱形的两条对角线长分别是6和8,可求得。4=4,OB=

3,再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积.

此题考查了菱形的性质以及勾股定理.关键是熟练掌握菱形的面积等于对角线积的一半.

7.【答案】B

【解析】解：••・矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻

边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；

矩形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等.

故选:B.

由矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角

线互相平分，对角线互相垂直；即可求得答案.

此题考查了矩形与菱形的性质等知识，解题的关键是记住矩形和菱形的性质，属于中考

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基础题.

8.【答案】B

【解析】解：①•.•矩形ABC。中，。为AC中点,

OB=0C,

v乙COB=60°,

・・・△08C是等边三角形，

・•.OB=BC,

vFO=FC,

・・・尸B垂直平分OC,

故①正确；

②为等边三角形,

・•・OB=BC,

vFO=FC,BF=BF,

*'•△BCFZABOF9

・♦・乙BOF=乙BCF=90°,

・•・BO1EF,

・・•BF1OC,

/.乙CMB=乙EOB=90°,

・•・BO。BM,

••・△£•08与4优8不全等；

故②错误；

③易知△ADE=ACBF,zl=Z2=Z3=30°,

:.Z-ADE=41=30°,乙BEO=60°

:.乙CDE=60°,Z-DFE=乙BEO=60°,

・••乙CDE=Z.DFE,

・•.DE-EF,

故③正确；

④易知△AOENACOF,

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•••S&AOE-S&COF，

S^COF-2sAeMF'

・・•Z-FCO=30°,

CM

•••FM=同BM=遮CM，

,FM_1

**=一,

BM3

SAFOM：S&BOF=1：%

易证△GE。三△MF。，

^AGEO=SAMF。,

易证明四边形QEBF是平行四边形，

S.DEF=S^EFB=2S△BOF,

设SAEGO=x，则SA/IOE=2x,SABOF=4x,

S四边形DGOF=S^DEF~S^EGO=S4EFB—^AEGO=8x—X,

•■•SMOE：S四边形DGOF=2x：(8x-%)=2：7,

故④正确；

所以其中正确结论的个数为3个；

故选总

①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；

②在AEOB和ACMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等；

③可证明NCDE=4DFE；

④设SAEGO=%，贝USMOE=2x,S^B0F=4%,可通过面积转化进行解答•

本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的

性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实

相当于四个证明题，属于常考题型.

9.【答案】B

【解析】解：•.•四边形ABC。是菱形，

OA^OC,OB=OD=\BD,BDLAC,

2

:.BD=2OB=12,

S菱形ABco图xBD=54,

・・./C=9,

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-AE1BC,

A"EC=90°,

・・・OE=〃C=4.5,

2

故选：B.

由菱形的性质得出BO=12,由菱形的面积得出AC=9,再由直角三角形斜边上的中线

性质即可得出结果.

本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解

题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：连接PC,如图所示：

VPE1BC,PF1CA,

•••4PEC=乙PFC=%=90°,

四边形ECFP是矩形，

EF=PC,

•••当PC最小时，EF也最小，

,••垂线段最短，

.•.当CP14B时,PC最小,

­•AC=2,BC=4,

:.AB=2>/5>

又•当CP14B时，^%ACxBC=^xABxCP,

„„ACX.BC2X44V5

PC=-------=—；==—.

AB2VS5

二线段E/长的最小值为竽.

故选：C.

先连接PC,判定四边形ECFP是矩形，得到EF=PC,再根据当PC最小时，EF也最

小，根据垂线段最短，可得当CPJ_4B时，PC最小，最后根据面积法，求得CP的长即

可得到线段EF长的最小值.

本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理以及垂线段最短的综合应用，解决问题的

关键是运用矩形对角线相等的性质进行求解.

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11.【答案】36

【解析】解：•.•四边形ABC。是矩形，

•••/.BAD=4B=乙BCD=90°,

由折叠的性质得：FE=BE,^FAE=Z.BAE,LAEB=/.AEF,

■：乙DAF=18°,

•••Z.BAE=Z.FAE=|(90°-18°)=36°,

Z.AEF=Z.AEB=90°-36°=54°,

LCEF=180°-2x54°=72°,

vE为BC的中点，

・•・BE=CE，

・•・FE=CE,

■■■乙ECF=|(180°-72°)=54°,

•••4DCF=90°-乙ECF=36°；

故答案为：36.

由折叠的性质得:FE=BE,A.FAE=^BAE,^AEB=NAEF,求出NBAE=£.FAE=36°,

由直角三角形的性质得出NAEF=4/1EB=54。，求出4CE尸=72。，求出FE=CE,由

等腰三角形的性质求出4ECF=54°,即可得出NDC尸的度数.

本题考查了矩形的性质、折叠变换的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三

角形内角和定理；求出/ECF的度数是解题的关键.

12.【答案】8V2-8

【解析】

【分析】

本题考查扇形面积的计算、解直角三角形的应用，矩形的性质，解答本题的关键是明确

题意，利用数形结合的思想解答.

根据题意可以求得N84E和NDAE的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形

的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EA尸与△ADE的面积之差的和，本

题得以解决.

【解答】

解：连接AE,

韩哥智慧之窗-精品文档14

•••/.ADE=90°,AE=AB=4,AD=2或，

DE=心-（2V2）2=2>/2>

:.DE=ADf

:.Z-AED=Z.EAD=45°,

・•・^EAB=45°,

AD=DE=2vL

.•・阴影部分的面积是：（4x2a—*史-江迫）+（竺丝尤-m=8a—8,

'3602''36027

故答案为8夜-8.

13.【答案】8V5

【解析】解：如图，连接交AC于点O,

,••四边形ABCD为正方形，

:.BD1AC,0D=OB=0A=0C,

-AE=CF=2,

：.0A-AE=0C-CF,即0E=0F,

・•・四边形BEQ尸为平行四边形，且801EF,

・•・四边形8灰）尸为菱形，

・•・DE=DF=BE=BF,

vAC=BD=8,0E=OF=—2=2,

由勾股定理得：DE=>JOD2+0E2=V42+22=2遮，

四边形BEDF的周长=4DE=4x2圾=8遍，

故答案为：8V5.

连接BZ）交AC于点。，则可证得。E=OF,OD=0B,可证四边形BE。尸为平行四边

形，S.BD1EF,可证得四边形8EDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论.

本题主要考查正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分

的四边形为菱形是解题的关键.

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14.【答案】45°

【解析】解：•.•四边形A8CQ是菱形，

・•・AD—AB,

•••AABD=N/1DB=1180。-NA）=75°,

由作图可知，EA=EB,

乙ABE=Z-A=30°,

:.乙EBD=Z.ABD-£.ABE=75°-30°=45°,

故答案为45。.

根据4EBD=41BD-乙4BE,求出乙4BD,乙4BE即可解决问题.

本题考查作图-基本作图，菱形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练

掌握基本知识，属于中考常考题型.

15.【答案】证明：连结8。交AC于。点

•••四边形ABCD是平行四边形，

•••OA=OC,OB=OD,

•：AE=CF,

••OE=OF,

又：OB=OD,

四边形EBFC为平行四边形.

【解析】可连接8,通过证四边形8EDP的对角线互相平分，来得出四边形E£＞尸B是

平行四边形的结论.

本题主要考查的是平行四边形的性质和判定：

平行四边形的对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形.

16.【答案】（1）证明：•••四边形ABCZ）为平行四边形，

AE

•••皿/BC,--------------7D

■■■/LDAC=AACB,//F/

V乙ACB=乙ABE,

・•・Z,DAC=乙ABE,

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•・•/.EAF=Z.EBA,Z.AEF=乙BEA,

EAF~&EBA,

/.EA：EB=EF：EA,

AE2=EF•BE；

(2)vAE2=EF-BE,

22

・・.BE=J=4,

1

・・・8F=BE-"=4-1=3,

■:AE“BC,

AF_EF即？=!，解得

FC-BF'AF=£

EAF^h.EBA,

AF_EF4

9即工=A,

AB~AEAB2

8

•••AB

3

【解析】⑴利用平行四边形的性质得到4D〃BC,贝此=AACB,然后证明4EAF-/1

EBA,则利用相似三角形的性质得到结论；

(2)先利用AE?=EF■BE计算出BE=4,则B尸=3,再由4E〃BC,利用平行线分线段

成比例定理计算出=然后利用△区根据相似比求出A2的长.

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已

有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般

方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关

系.也考查了平行四边形的性质.

17.【答案】证明：(1)：CF〃BO,

:.(ODE=zJFCE,

•；E是CD中点,

・••CE=DE,

在aODE和中，

NODE=Z.FCE

DE=CE，

ZDEO=乙CEF

・••△ODEaFCE(ASA)；

(2)Y^ODE包FCE,

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OD=FC,

•••CF//BD,

四边形OCFZ)是平行四边形,

•••四边形488是菱形，

AC1BD,

乙COD=90°,

二四边形oca是矩形.

【解析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形

的判定，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键.

(1)根据两直线平行，内错角相等可得NODE=NFCE,根据线段中点的定义可得CE=

DE,然后利用“角边角”证明AODE和aFCE全等；

(2)根据全等三角形对应边相等可得OD=FC,再根据一组对边平行且相等的四边形是

平行四边形判断出四边形OQFC是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直得出

/.COD=90°,即可得出结论.

18.【答案】(1)证明：•••四边形ABCZMBC。是矩形,

•••Z.FAB=/.ABE=90°,AF//BE,

,■EF1.AD,

■­■乙FAB=Z.ABE=Z.AFE=90°,

二四边形ABEF是矩形，

•••AE平分/BAD,AF//BE,

••Z.FAE—乙BAE=4AEB,

•••AB=BE,

四边形ABEF是正方形；

(2)解：过点P作于H,如图所示：

,・•四边形ABEF是正方形,

：.BP=PF,BALAD,Z.PAF=45°,

:.AB“PH,

AB=6,

：・AH=PH=3,

vAD-8,

.*.DH=AD-AH=8-3=5,

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在RMPHD中，^.PHD=90°.

PUQ

.■.t^ADP=-=~.

【解析】⑴由矩形的性质得出4必8=/.ABE=90°,AF//BE,证出四边形ABEF是矩

形，再证明48=BE,即可得出四边形A8EF是正方形；

(2)由正方形的性质得出BP=PF,BA1AD,/.PAF=45°,得出力B〃PH,求出=

AD-AH=5,在RtAP”。中，由三角函数即可得出结果.

本题考查了矩形的性质与判定、正方形的判定与性质、平行线的性质、三角函数等知识；

熟练掌握矩形的性质，证明四边形是正方形是解决问题的关键.

19.【答案】(1)证明：••,四边形A8C。是矩形，。是8。的中点，

.•2=90°,AD=BC=4,AB//DC,OB=OD,

:.乙OBE=Z.ODF,

NOBE=/.ODF

在^DOF中，OB=OD,

.乙BOE=4DOF

•••△BOE三△DOFG4S4),

•••EO=FO,

四边形BE£>/是平行四边形；

(2)解：•.•四边形BECF为菱形，

•••BE=DEDB1EF,

•••AB=3,BC=4,

设BE=DE—x,则4E=4—x,

222

在RtZk/DE中，34-(4-%)=xf

25

8

・•・DcEl=—25

8

・•・BD=办+42=5,

DO=BO=\BD=\,

•••OE=y/DE2-DO2

•••EF=2OE=—

4

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【解析】（1）证△BOE三△DOFG4s4），得出EO=F。，即可得出结论；

（2）在RtA/lDE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE,由勾股定理求出8£>,得出

OB,再由勾股定理求出EO,即可得出EF的长.

本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练

掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键.

20.【答案】解：（1）AFA.DE.

AZ.AFE=90°.

・••在矩形A8C£>中，AD//BC,4。=90。.

•••LADF=乙DEC,AAFD="=90°.

AD=DE.

••.△AOF三△OECQL4S),

AF=DC.

2

(2)・♦•tmZ.ADE=^ADE=MED,

r*no

・•・Rt△CDE中，tanzCED=—=

CE4

3

・・.CD=-CE=9,

4

:.DE=VCD24-CE2=V92+122=15,

,.*△ADF=^DEC,

・・・DF=CE=12,

・•・EF=DE-DF=15-12=3.

【解析】（1）根据已知及矩形的性质利用A4S判定△4DF三ADEC,从而得到4F=OC.

（2）根据tan/ACE=：,AADE=Z.CED,即可得到CO的长，进而得出。E的长，再根

据。F=CE=12,即可得到EF的长.

此题考查学生对矩形的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用.在应用全等三角形

的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.

21.【答案】（1）证明：••・四边形48CC和四边形GBE尸是平行四边形，

BG//DE,DM//BC,乙4+/.ABC=180°,乙G+Z.GBE=180°,

二四边形是平行四边形，

■:乙ABC=乙GBE=60°,

・•・Z-A-Z.G=120°,

韩哥智慧之窗-精品文档20

♦:BC=BG,

・•・AB=GD,

Z-A=Z.G

在ZkABM和AGDM中，=Z.GMD,

AB=DG

•••△ABMWAGDM(44S),

・•・BM=DM,

四边形是菱形.’—7f

(2)解：当乙GBC=30。时，四边形GCFD是正方形.理由如下：

连接。8交CG于K,在8K上取一点M,使得BM=GM,如