2021年中考数学压轴模拟试卷01 （河北省专用）（解析版）

2021年中考数学统一命题的省自治区压轴模拟试卷

2021年中考数学压轴模拟试卷01(河北省专用)

(满分120分，答题时间120分钟)

一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1~10小题各3分，11~16小题各2分.在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.如图，在平面内作已知直线用的垂线，可作垂线的条数有()

m

A.0条B.1条C.2条D.无数条

【答案】D

【解析】在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的

垂线，可以画无数条.

在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；

a—h(a..b)

2.定义一种新运算：aXb=K,,,，则2X3-4X3的值为()

3b(a<b)

A.3B.6C.8D.9

【答案】C

【解析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握新定义规定的运算法则及有理数的混

合运算顺序和运算法则.

2X3-4X3

=3x3-(4-3)

=9-1

=8

3.(1+y)(1-y)=()

A.1+y2B.-1-/C.I-/D.-1+)2

【答案】C

【解析】直接利用平方差公式计算得出答案.

(1+y)(1-y)=1-p

4.如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数,

这个几何体的左视图是()

【解析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3,1.据此可作出判断.从左

面看可得到从左到右分别是3,1个正方形.

5.已知一组数据5,8,8,9,10,以下说法错误的是()

A.平均数是8B.众数是8C.中位数是8D.方差是8

【答案】D.

【解析】由平均数的公式得平均数=(5+8+8+9+10)+5=8,

方差=工［(5-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)1=2.8,

5

将5个数按从小到大的顺序排列为：5,8,8,9,10,第3个数为8,即中位数为8,

5个数中8出现了两次，次数最多，即众数为8,故选：D.

6.如图1,已知NA8C,用尺规作它的角平分线.

如图2,步骤如下,

第一步：以3为圆心，以。为半径画弧，分别交射线B4,BC于前D，E;

第二步：分别以。，E为圆心，以〃为半径画弧，两弧在NABC内部交于点尸；

第三步：画射线射线BP即为所求.

下列正确的是()

B.a>0,匕〉工。后的长

A.a,。均无限制

2

C.4有最小限制，。无限制D.a>0,的长

2

【答案】B

【解析】根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论.

第一步：以8为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线84，BC丁点D，E；

，a>0：

第二步：分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在NA6C内部交于点尸；

2

的长；

2

第三步：画射线BP.射线6P即为所求.

综上，答案为：a>o：〃>'DE的长.

2

22

x+k1,则X_2x—y的值是()

(2x+4y=92-2

xy

A.-5B.5C,-6D.6

【答案】c.

[x+y=l①

【解析】12x+4y=9②’

②-①X2得，2y=7,解得x」，

2

把X』代入①得，工+y=l,解得尸苴，

22y2

.x2-2xy4~y2=(x-y)，_.x~y_2+

22--

x_y(x+y)(x-y)x+y1

8.如图，在直角坐标系中，aOAB的顶点为0（0,0),A(4,3),B(3,0).以点0为位似中

心，在第三象限内作与△OAB的位似比为■的位似图形aocD,则点C坐标（）

44

A.(-1,-1)B.(---，-1)C.(-1,---)D.(-2,-1)

33

【答案】B

【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可.

解：•.•以点0为位似中心，位似比为方，

而A（4,3）,

AA点的对应点C的坐标为（-悔，-1）.

9.已知a+a-l=O,求a3+2a+2020的值为（）

A.2019B.2020C.2021D.2022

【答案】C

【解析】因为a’+a-rO,

所以a2+a=l,

所以a3+a-a,

a3+2a+2020=a+a+a2+202Q

=a+a2+2020

=1+2020

=2021

10.如图，点E在正方形ABC。的边CD匕将△相＞£绕点A顺时针旋转90°到△A8F的位置，连

接EF,过点A作EF的垂线，垂足为点H,与BC交于点G.若BG=3,CG=2,则CE的长为（）

【答案】B

【解析】连接EG,根据AG垂直平分EF,即可得出EG=fG,设CE=x,则OE=5-x=BF,FG

=EG=8-x,再根据Rt4CEG中，CE2+CG2=EG2,即可得到CE的长.

解：如图所示，连接EG,

由旋转可得，AADEmAABF,

：.AE^AF,DE=BF,

又YAGLE凡

为EF的中点，

；.AG垂直平分EF,

:.EG=FG,

设CE=x,贝I」DE=5-x=BF,FG=8-x,

.'.£G=8-x,

VZC=90°,

；.RtZ\CEG中，CE1+CG2=EG2,即/+2?=(8-x)2

解得x=*

:・CE的长为一o

4

11.若左为正整数，则（《+”•••+，=（）

*个*

A.k2kB.k2k+iC.2kkD.k2+k

【答案】A

【解析】根据乘方的定义及塞的运算法则即可求解.

［详解］华+与J+9*=（匕讨=代》=心

12.一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛

A的北偏西42°方向上，在海岛8的北偏西84°方向上.则海岛B到灯塔C的距离是（）

A.15海里B.20海里C.30海里D.60海里

【答案】C

【解析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出/C=/C45=42°,根据等角对等边得出

BC^AB,求出AB即可.如图.

根据题意得：NC2D=84°,NCAB=42°,

.•./C=/CBO-/C4B=42°=/C48,

BC=AB,

VAB=15X2=30,

：.BC^3Q,

即海岛B到灯塔C的距离是30海里.

13.全市约有550000名中小学生参加以“祖国在我心中”为主题的各类教育活动，其中数据550000

用科学记数法可以表示为aX10"的形式，其中lW|a|＜10,〃为整数.a=()

A.0.55B.5.5C.55D.550

【答案】B

【解析】根据有效数字表示方法，以及科学记数法的表示形式为aX10〃的形式，其中1Wa1V10,

〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的

位数相同.当原数绝对值＞1时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.将550000用科学记

数法表示为:5.5X10。

所以a=5.5n=5

14.如图，4是圆。上一点，是直径，AC=2,45=4,点。在圆。上且平分弧BC,则。C

的长为()

A.272B.V5C.2y/5D.M

【答案】D

【解析】由5C是圆0的直径，可得/A=/D=90°,又。在圆。上口平分弧BC,则

ZCBD=ZBCD=45°,即4BCD是等腰直角三角形.在RtZXABC中，根据勾股定理求出BC长，从而

可求DC的长.

V8C是圆0的直径，

.-.ZA=ZD=90°.

又。在圆。上旦平分弧BC,

/.ZCBD=ZBCD=45°,即aBCD是等腰直角三角形.

在Ri^ABC中，AC=2,43=4，根据勾股定理，WBC-7AC2+AB2-275.

「△BCD是等腰直角三角形，

BC

・•.CDRVio.

15.把函数y=(x-1)2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为()

A.y=x2+2B.y=(x-1)2+1C.(x-2)2+2D.y=(x-1)2-3

【答案】C

【分析】先求出y=(x-1)2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图

象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可.

【解析】二次函数＞=(x-1)2+2的图象的顶点坐标为(1,2),

..・向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为(2,2),

，所得的图象解析式为y=(x-2)2+2.

16.如图①，正方形A8CD中，AC,8。相交于点。，£是OD的中点，动点P从点E出发,沿

着EfOf5fA的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度

随着运动时间x的函数关系如图②所示，则A3的长为()

A.472B.4C.373D.2A/2

【答案】A

【解析】如图（见解析），先根据函数图象可知AE=26，再设正方形的边长为4a,从而可得

0A=0D=2&，然后根据线段中点的定义可得OE=[OO=J5。，最后在.应口4。£中，利用

勾股定理可求出a的值，由此即可得出答案.

如图，连接AE

由函数图象可知，AE=2亚

设正方形ABCD的边长为4a,则AB=AO=4t7

•••四边形ABCD是正方形

/.OA=OD=LBD,AC±BD,ZBAD=90°

2

BD=yjAB2+AD2=4缶，OA=OD=2亿

•.•E是＜%＞的中点

OE=-OD=y/2a

2

则在R/DAOE，由勾股定理得：AE=y/OA^+OE2=J\Qa

因此有=

解得“=血

则AB=472

二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17~18小题各3分；19小题有3个空，每空

2分）

17.已知：M—G.=a尬-丘=bO，则

【答案】6

【解析】根据二次根式的运算法则即可求解.

vV18-V2=3A/2-V2=272

a=3b=2

ab=6

18.一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是—.

【答案】6.

【解析】〃边形的内角和可以表示成(n-2)-180°,外角和为360。，根据题意列方程求解.

设这个多边形的边数为〃，依题意，得：

(〃-2)*180°=2X360°,

解得〃=6.

19.如图，经过原点O的直线与反比例函数丫=g(a>0)的图象交于A,D两点(点A在第一象

x

b

限)，点B,C,E在反比例函数y=—(b<0)的图象上，AB〃y轴，AE〃CD〃x轴，五边形ABCDE

x

的面积为56,四边形ABCD的面积为3,2,则a-b的值为，2的值为.ab的值为

a

【解析】如图，连接AC,OE,OC,OB,延长AB交DC的延长线于T,设AB交x轴于K.求出

证明四边形ACDE是平行四边形，推出SAADE=SAADC=S五边彩ABCDE-S四边彩ABCD=56-32=24,推出

SAAOE=S“DEO=12,可得，a-Lb=12,推出a-b=24.再证明BC〃AD,证明AD=3BC,推出AT=3BT-,

22

再证明AK=3BK即可解决问题.

【详解】如图，连接AC,OE,OC,OB,延长AB交DC的延长线于T,设AB交x轴于K.

由题意A,D关于原点对称，

AA,D的纵坐标的绝对值相等，

VAE/7CD,

・・・E,C的纵坐标的绝对值相等，

VE,C在反比例函数y=2的图象上，

X

•,«E,C关于原点对称，

.'.E,O,C共线，

VOE=OC,OA=OD,・•・四边形ACDE是平行四边形，

S△ADE=S△ADC=S五边喟，ABCDE-S四边杉ABCD=56-32=24,

SAAOE=SADEO=12,

-a-----b=12,

22

.,.a-b=24,

,*,SAAOC=SAAOB=12,

・・・BC〃AD,

.BCTB

••茄一记‘

•*SAACB=32-24=8,

•'•SAADC：SAABC=24：8=1：3,

/.BC：AD=1：3,

ATB：TA=1：3,设BT=a,则AT=3a,AK=TK=1.5k,BK=0.5k,

AAK：BK=3：1,

1

c—Cl

.■AOK_2_1

SBKO_Lb3

2

a1

・•・——_—-.

b3

由1・a-b=24与・，・一=—-.即3a+b-0得:

b3

a=6,b=-18,ab=-108

三、解答题(本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤)

20.(6分)已知两个有理数：一9和5.

,,、工省(-9)+5

(1)计算：-------；

2

(2)若再添一个负整数加，且一9,5与加这三个数的平均数仍小于阳，求〃？的值.

【答案】(1)-2；(2)m=-l.

【解析】(1)根据有理数的混合运算法则即可求解；

(-9)+5-4°

----------=—=-2；

22

(2)根据平均数的定义列出不等式即可求出m的取值，故可求解.

防4殂(-9)+5+m-

依题忌fJ---------------<m

3

解得m>-2

负整数"?=/.

21.(7分)已知：整式/=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0.

尝试化简整式4

发现/=",求整式3.

联想由上可知，存=(n2-l)2+(2A)2,当A>1时，n2-l,2n,3为直角三角形的三边长,

如图.填写下表中B的值：

直角三角形三边n2-l2nB

勾股数组I/8—

勾股数组n35/

rf-1

【答案】15；37

【解析】A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+l)2,

•：A=B2,B>0,

B=n2+1,

当2A=8时，n=4,.-.n2+l=42+l=15;

2

当1=35时，n+i=37.

22.(10分)如图1,以边长为4的正方形纸片ABCD的边AB为直径作。O,交对角线AC于点E.

(1)图1中，线段AE=；

(2)如图2,在图1的基础上，以点A为端点作NDAM=30。，交CD于点M,沿AM将四边形ABCM

剪掉，使RtAADM绕点A逆时针旋转(如图3),设旋转角为a(0。<0(<15()。)，在旋转过程中

AD与。O交于点F.

①当a=30。时，请求出线段AF的长；

②当a=60。时，求出线段AF的长；判断此时DM与。O的位置关系，并说明理由；

③当a=。时，DM与。O相切.

【答案】(1)20(2)①2②26，相离③当a=90。时，DM与。O相切

【解析】(1)连接BE,是正方形A8C。的对角线，，NBAC=45。，.•.△AEB是等腰直角三角

形，又FB=8,：.AE=4y[2；

图1

(2)①连接。4、OF,由题意得，NNAD=3Q°,ND4M=30。，故可得N。4M=30。，ZDAM=30°,

则NOAF=60。，又：04=0凡.'.△OAF是等边三角形,\"OA=4,，AF=OA=4；

②连接⑶尸，此时NNAD-60。，ND4M=30。,二A尸=A8'cos/D4M=8x36;

2

此时。例与。。的位置关系是相离:

③•.工。=8,直径的长度相等，，当DM与。。相切时，点。在。。上，故此时可得a=/M4C=90。.

点睛：此题属于圆的综合题，主要是仔细观察每一次旋转后的图形，根据含30。角的直角三角形进行

计算，另外在解答最后一问时，关键是判断出点D的位置，有一定难度.

23.(8分)第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣

传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛.学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：

(飞买了两种钢等，共io。支::

单价分别为6元和10元，

买奖品前我领了1300元，「你肯定搞错了一

(1)请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了;

(2)学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模

糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？

【答案】见解析。

【分析】(1)设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了(100-x)支，根据总共

的费用为(1300-378)元列方程解答即可；

(2)设笔记本的单价为。元，根据总共的费用为(1300-378)元列方程解求出方程的解，再根据

〃的取值范围以及一次函数的性质求出X的值，再把x的值代入方程的解即可求出a的值.

【解析】(1)设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买(100-x)支，据题意得：

6x+10(100-x)=1300-378,

解得x=19.5,

因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了;

(2)设笔记本的单价为。元，根据题意，得：

6x+10(100-x)+a=1300-378,

整理，得:x=^a+苧,

因为0<a<10,x随a的增大而增大，所以19.5<x<22,

取整数，

；.x=20,21.

当x=20时，4=4X20-78=2；

当x=21时，a=4X21-78=6,

所以笔记本的单价可能是2元或6元.

24.（10分）我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、。四个

等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图.请你根据统计图解答下列问题.

（1）成绩为等级”的学生人数有一名：

（2）在扇形统计图中，表示等级”的扇形的圆心角度数为—，图中〃?的值为—；

（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生只能怪，选出2名去参加市中学生知识竞赛.已知

“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率.

【答案】见解析。

【分析】（1）A等的有3人，占调查人数的15%,可求出调查人数，进而求出8等的人数；

44

（2）。等级占调查人数的一，因此相应的圆心角为360。的一即可，计算C等级所占的百分比，即

2020

可求出m的值；

（3）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率.

【解析】（1）34-15%=20（名），20-3-8-4=5（名），

故答案为：5；

(2)360°X=72°,84-20=40%,即,”=40,

故答案为：72°,40：

(3)“4等级”2男1女，从中选取2人，所有可能出现的结果如下:

共有6种可能出现的结果，其中女生被选中的有4种,

42

--

6=3

25.(12分)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我

国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定

理，创制了一幅“弦图”(如图1)后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

(1)①请叙述勾股定理；

②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证

明该定理；(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)

(2)①如图4、5、6,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形,

这三个图形中面积关系满足岳+$2=S3的有个;

图5

图4图6

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面

积分别为S2,直角三角形面积为S3,请判断S-邑，S3的关系并证明;

S3

图7

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形,

重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正

方形”的边长为定值“，四个小正方形A，B,C,。的边长分别为。，b,C,d,已知

Nl=N2=N3=Na,则当Na变化时，回答下列问题：（结果可用含，"的式子表示）

@a2+b2+c2+d2=

②b与c的关系为，a与d的关系为

【答案】（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为斜边为c,那么/+b2=c2,（或者：

在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）；②证明见解析；（2）①3,②结论

+S2=S3；⑶①加2,②b=c,a+d=m.

【解析】（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；

②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；

（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c,利用面积相等的方法，分别求出面积的关

系，即可得到答案：

②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；

22221

（3）①由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，a+b+c+d=m-.

②由Nl=N2=N3=Na，则sinl=sin2=sin3=sine,同理可得cosl=cos2=8s3=cosa，

利用解直角三角形以及勾股定理，即可得到答案.

解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为c,那么"+》2=。2.

（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）

②证明：

在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.

即c2=-ab-4+（b-a'）2，

2

化简得储+从=02.

在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.

即（a+加2=+$54,化筒得/+6=.

在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和.

即一（a+b）（a+Z＞）=-ab•2'+—c~,化简a?+〃=c?.

222

（2）①根据题意，则如下图所示：

在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c,则

由勾股定理，得勾+U=c2,

:.S[+邑=邑；

在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、C,则

;CT+h2=c2，

1

1,、2

乃c

：.-7rd+Zr)8-

8

/.S]+S2=S3；

在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c,则

10.x/3919,^3919x/3o

S.=—«*-sin60°=——a2，S--h^sin60°-——b1，S,=—c2sin60°-——c2，

124224324

：S1+S2=乎(/+6)，a2+b2=c2^

呼(/+从)=42,

/.5)+S2=S3；

・,・满足S1+S2=S3的有3个，

故答案为：3；

②结论S1+S2=S3；

.；S,+SL芯)+；唱+8亭0

S]+S)=1乃(Q_4-b~_C2)+S3

-：a2+b2=c2，

S]+S0=S3；

(3)①如图9,正方形A、B、C、D、E、F,M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m,则

有

AC

ED

F

图9

由(1)(2)中的结论可知，面积的关系为：A+B=E,C+D=F,E+F=M,

a2+b2=e2c2+d2=/2,e2+/2=m2,

•*-cr+〃+c2+d2=m2

故答案为：m2;

②：Nl=N2=N3=Na,

sin1=sin2=sin3=sina,cos1=cos2=cos3=cosa，

由解直角三角形和正方形的性质，则

e=nfcosAa,b=e^smZa,

Z?=m,cosNa・sinNa；

同理：c=sinZa•cosZtz：

6?=mecosZa^cosNa；

d=m^sinZa^sinNa：

b=c,

•-a+d=zu•(cos2a+sin2a)，

,­*cos2a+sin2。=1，

/.a+d—m・

故答案为：b=c；a+d=m.

【点睛】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，