2021新高考数学统一模拟考试卷含答案解析

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2021新高考数学统一模拟考试卷含答案解析

2021年高考统一模拟检测

数学试题202,05

本试题卷共7页，22题.全卷满分150分。考试用时120分钟•

注意，项।

I.答卷的,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准

考证V条形的粘贴在答陷卡上的指定位置.

2.阿谷选择超时，逸出征小IK答案后，川用宅把符眼卡上对应呼目的答案标弓涂黑•如

需要改动，川株皮擦干小后，再选注共它答案标13画答邓遗择题时,利答案写在答题卜上。

写在本优卷上无效e

3.。试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择fg:本题共8小脱，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

I.已知儿"均为R的子集，n.4n（CR«）=//,则下而选项中一定成立的是

A.BeAB./U8=RC.A[]B=0D.J=CRB

2.若随机变服从正态分布N（2,3：）,P（；<3-5«）=P（c>2a+l）,则实数”等于

A.-1B.0C.1D.2

3.在平而直角坐标系中，立线/为双曲线x'-./=1的一条渐近线，则

A.在线/与0l（x-2）2+『=1相交B.直线/与圆（x_2）,+『=l相切

B.直纨/与直（x-2f+.1=2相向D,直线/与./月丹铲二？相切二

4.我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注〉〉中提出了“割圆术——割之弥细，所失

弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐

步逼近圆的方法来近似计算圆的面积.如图。。的半径为1,用圆的内接正六边形近似估计，

则。。的面积近似为地，若我们运用割回术的思想进一步得到圆的内接正二十四边形，

2

以此估计，。。的面积近似为

63(76-72)

A.-------------------

2

口3(30)

2

C.3(^6-y/2)

D.3(76+72)

5.已知数列｛4｝,@“｝满足q=a„+bn=\,"“=3,则％21=

2"4

202120202021卜2022

2020202120222021

6.已知正方体/8CA-44GA棱长为2,点P在矩形4CC/区域(包含边界)内运动,

且NPBD=45。,则动点P的轨迹长度为

A.nB.>/2nC.2nD.2&兀

7.已知定义在R上的函数/(x)的图象连续不断，有下列四个命题：

甲:/(x)是奇函数；

乙：/(x)的图象关于直线x=l对称；

丙：/(x)在区间［-1J上单调递减；

T：函数/(x)的周期为2.

如果只有一个假命题，则该命题是

A.甲B.乙C.丙L>.1

,抛

8.在平面直角坐标系中，双曲线C:・-%=1（。＞0力＞0）的左右焦点分别为

ao

物线Z:/=2px（尸＞0）的焦点恰为巴，点P是双曲线C和抛物线Z的一个交点'且

IP玛I=I6巴I,则双曲线C的离心率为

A.y/2+1B.2C.6D.41

二'多项选择题：本题共4小题，每小舸5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.已知复数2=0+1（i为虚数单位），彳为z的共匏复数，若复数z0=三，则F列结论正

z

确的是

A.z°在复平面内对应的点位于第四象限B.|z0|=l

C.的实部为:D.Z。的虚部为迫

22

10.已知函数/（》）=（28$2助:-1）5m28+—《«48（0＞0）,则下列说法正确的是

2

A.若/（x）的两个相邻的极值点之差的绝对值等于二，则0=2

B.当&时，/（劝在区间上的最小值为一?

2442

C.当。=1时，/（*）在区间［―；,0］上单调递增

D.当。=1时，将/（%）图象向右平移右个单位长度得到g（x）=当sin（4x一二）的图象

11.下列不等式成立的是

1,1

sin,22

A.Iog2（sinl）＞2B.（-）＜n

C.币-亚-2D.Iog43<log65

12.已知函数/(x)=xcosx+sinx在区间(-”n/7t)meN“)上的零点个数为凡，函数〃x)

在区间(-“阳〃兀)(〃wN)上的所有零点的和记为"，则下述正确的是

A.4=0

B.Zq=n2+2rt

l-l

c-/(x)在区间(-"%”兀)上任意两零点的差大于二

2

D./(x)在区间(-“兀,〃兀)上任意两相邻零点的差大于n

三'填空题：本题共4个小题，每小题$分，共20分。

13.命题“3xwR,ex<a-e-xn为假命题，则实数a的取值范围为；

14.在平行四边形488中，ABAD^AB2=\,AC=y[5,则/氏1D=；

20Mt

15.若(3—Zx)"=%+。产+。/2+...+。2gx"，则4+%2+34*1-**2021aM=-----------；

16.某校学生去工厂进行劳动实践，加工制作某种零件•如图，将边长为10岳旭正方形铁皮

剪掉阴影部分四个全等的等腰三角形，然后将△耳”8,△舄m7,钻8,旬£%分别

沿N6,6C,C2。力翻折，使得6，%耳上重合并记为点P，制成正四楂傩P-48。。形

状的零件.当该四棱锥体积最大时，AB=cm;此时该四校谁外接球的表面积

P*

四'解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(10分)

请从"B2sin/8s6=2sinC+sinB;②cos"+cos[=°•"两个条件中任选1,

补充在下面的横线上，并解答.

已知A/8C的内角4,民。的对边分别为a/,c,•

(1)求彳；

(2)设力。是乙4的平分线，b+c=10且&46C面积为2月，求线段的长度•

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分•

18.(12分)

如图，在直三棱柱4BC-44c中，底面三角形/6C为直角三角形，其中Z8_L/C,

AB=3,AC=4,CG=8,M,N分别为BBy和AAt的中点.

(1)求证：CNJL平面GMN;

(2)当点尸在线段C/上移动时，求直线NP与平面BBQ。所成角正弦的最大值.

A

19.（12分）

已知等差数列｛&｝满足.一

''耳。2-1是/和%+1的等比中项，数列｛4｝的前”项

和为且满足

S"»4=3，2S“=6B+1-3.

（1）求数列｛%｝和伯力的通项公式；

（2）将数列和网｝中的公共项按从小到大的顺序依次排成一个新的数列也｝,jfceN,,

1

令4=log3R,求数列｛｝的前左项和q.

20.(12分)

现对某市工薪阶层对于"楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入

（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表：

月收入[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)

频数510151055

赞成人数481252I

（1）根据以上统计数据完成下面的2x2列联表，并问能否有97.5%的把握认为“某市工薪阶

层对于'楼市限购令'的态度与月收入以6500元为分界点有关”？

月收入不低于65百元的人数月收入低于65百元的人数合计

赞成•

不赞成

合计

（2）若对月收入在［55,65）和［65,75）的被调查人中各随机选取两人进行追踪调杳，求在选中

的4人中有人不赞成的条件下，赞成“楼市限购令”的人数J的分布列及数学期望•

附./2________"(ad-bQ---------n=a+b+c+d.

航人一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.0050.001

P(K荏k。)0.0500.0250.010

7279_.10第28.方

3.8415.0246.635

21.(12分)

已知函数/(x)=alnx-4+I(x>0),aeR.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若对任意xw(0,+8),均有/(x)40,求a的值；

(3)假设某篮球运动员每次投篮命中的概率均为0.81,若其10次投篮全部命中的概率为"

证明：p<e-2.

22.(12分)

在平面直角坐标系中，已知。为坐标原点，点%(4,%,)为直线/：y=取+m(痴#0)与

椭圆C:2n^+4〃y=1的一个交点，且左=-今，ZIGN,.

(1)证明：直线/与椭圆C相切；

x2v2

(2)已知直线/与椭圆。：7+黄=1(。>方>0)交于两点，且点沙为43的中点.

(i)证明：椭圆。的离心率为定值；

41

(ii)记AOWB的面积为S,若从=：+丁，证明：2nsin(52)>l.

34〃

青岛市2021年高考统一模拟检测

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1-8:CBDCCBDA

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9.ABC10.BD11.BCD12.ABC

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

13.a<2;14.45°;

676兀

15,-4042;16.(1)8;(2)

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

解：（1）选择条件①Zsin/cos5uZsiuC-sm^,

+b

在“5c中由正弦定理得：cos5=-------,

2a

在A48C中由余弦定理得："一「［二^±

2ac2a

整理得：b2+c~-a2=-bc,

b~+c2-a~1

所以cosN==--

2bc2

因为/为AJ8c内角，所以/；,

选择条件②cosN+cos5=。，

则2cos,d+cos4-l=0,即(2cos4-l)(cos3-1)=0,

A14

所以cosJ=—或cos'=-l,

222

NJT44

因为0<2<n,所以。<一<一,所以cos—>0,所以cos—=-1不成立

2222

N]N7T，兀

所以COS==7，所以不■=；,所以月=:-,

22233

因为A45c面积为26，即;bcsin/=2百，

所以bc=8,

因为Sase~S^BD+^AACD，

所以一伙'sinJ=-NZhcsin—+—4D,bsin—,

232323

即Z>c=(b+c)•AD,

所以4O=f-=g,

b+c5

4

所以线段.〃)的长度为m

18.(本小题满分12分)

解：(1)因为力C=4,N为的中点，所以CN=GN=4ji,

所以CN'GMMCC；,所以CN_L£N,

因为三梭柱48C-481G为直三棱柱，所以CG_L48,

又因为Z8_L2C,CC1C\AC=C,

所以46_L平面441GC,

因为CNu平面441GC,所以CN~L/13

因为MN//AB,以CN_LMV,

又因为GNnNM=N,所以CN_L平面GMN,

(2)以d为坐标原点，45为x轴，/C为)，轴，彳4为？轴，建立加图所示坐标系

所以40,0,0),所3,0,0),C(0,4,0),AT(0,0,4),G(0,4,8),区(3,0,8);

所以3右=(一3.4.0),54=(0,0,8),设平面的法向量为〃=(x,y,z)

In-BC=0f-3x+4y=0

则_____.即c

1〃•股=01z=0

所以7=(4,3,0),

设P(A%Zi),方=/衣i(0W2Wl)

所以(玉,必,马)=/(0.4.8)

所以P(0,4乙84),M>=(0.42.8A-4),

当4=0时

NP与平面BBC］。所成角正弦值为0，

当0</Wl时

记直线N尸与平面典G。所成角为。，

,.八，NPn,124

则sin0={-1=­/----------

\NP'\n,5)(4»+(84_4)2

令工=。21,所以sin£=/3W2,当且仅当，=2

25Vf2-4f+55

3

所以直线NP与平面BBgC所成角正弦的最大值为-

19.(本小题满分12分)

解：(1)设数列｛q｝的公差为d,

q-4=8'2d=8

由、(&-1)2=%(。3+1)可得、(q+d—l)，=%(q+2d+l)

解得：4=3,d=4,

所以a”=3+4(〃-1)=4n—1,

当”之2时，因为2'="+1-3,所以2sl="-3

相减得：2(Sn-SB_1)=Z>n+1-/>„,所以纱=3,

女

h

由4=3,24=2S]=b,-3可得：b,=9,所以二二？，

瓦

所以｛4｝是以A=3为首项，以3为公比的等比数列，

所以4=3",

(2)(法一)列举观察知：q=3,c2=27,C3=243,

猜想：C*=32Z,

下面证明：

n+2

因为bn+2-b„=3-3"=8，3"=4(2•3”)是数列｛4｝的公差d的正整数倍

由于。2工&,所以3，",…不是｛q｝中的项

由于G=4=%=3,所以4…,与上_卜…是｛勺｝中的项，

从而。上=32上一，4=2左_],

11

所以4=H-------------

石+石(2左一1)(2左+1)

11

)]

213352k-12k+l

=-(1—)

22k+1

11

24左+2

(法二)由可得：«=-(3"+1),

4

由于3加+1=(4-1)*"+1

=4"C°一+4"-2C2-4m-3C3+…+4C”，

fittflTHJUW

=4[4*V-4C:+4C：---+c^(~1)]+(-1)",

由于〃eN',所以3利+1必被4整除，从而m=2左-1,

所以。*=a,=%_i=32*-1,

从而4=24-1,

所以「二----1-------(•…H----------------

1x33x5(2左-1)(2比+1)

20.（本小题满分12分）

解：（1）2x2列联表为:

月收入不低于65百元人数月收入低干65百元人数合计

赞成32932

不赞成71118

合计104050

根据列联表可得K2的双测值为

」50x(3x11-29x7)27225之—一〈…，

k=-----------------=----v6.272>5.024

10x40x18x321152

TOP(^2>5.024)=0.025

所以能有97.5%的把握认为“某市工薪阶层对于'楼市限的令'的态度与月收入以6500元

为分界点有关”

（2）J所有可能取值有0,1,2,3;

303

则尸(J=0)=

[c；YQ-旃一石

力,Jn一十。_13527

味点-440-88

以Cf+CC；C；4+*；19019

_

C^0Cf-cjcl440-44

8517

440-88

所以&的分布列是

-0123

3271917

P

44884488

327cl9c177

所以E(C=O"-----rlx-----h2x------3x-

448844884

21.(本小题满分12分)

解：(1)由题知：/'(x)=-——]—=2a~^'

X2y/x2x

若a,0,则八x)«0

所以/(x)在(0,+元)上单调递减

若a>0,令/'(x)=0,解得x4T

当xw(0,4,)时,则八x)>0,所以八幻在(0,4/)上单调递增

若xwGa'+oc),则八女)<0,所以/(x)在(4/,上单调递减

(2)(法一)由(1)知：

若则/(x)在(0,+x)上单调递减，且/⑴0,

所以当0<x<l时，/(x)>0,不合题意

若a>0,Ri]f(x)</(4a2)=aki4a2-2a+l=2ain2a-2a-l

令g(a=rlnr-r+l«>0),则g'(r)In/,

当”(0,1)时,g'(/)<0,所以g(/)在(0,1)上单调递减；

当生(1,+oo)时,g'(f)>0,所以g«)在(1,+00)上单洞递增;

所以g(r)2g(l)=0

为满足题意，必有g(2a)0,所以2。=1,解得a=：

(法二)由题知：/(I)0,所以f(x)W/(l)

所以1为/(x)的一个极大值点

又因为/'(、)=:壶，所以，'⑴=。6=。，解得

此时八幻=看击=¥

当xw(O,l)时，/'(x)>0,所以/(x)在(0,1)上单蜩递增;

当xw(L+x)时，f'(x)<Q,所以/(K)在(L+x)上单调递减

所以当退时‘⑴=。

所以当/(x)SO时，a：-

2

(3)由题意可知，p0.81'°

由(2)知：----->/x+1<0,EPInx1{y[x-1)

2

所以hi(0.81)10=10111(0.81)<20(>/0^81-1)=-2

所以p(O.81)lo<e-2

22.（本小题满分12分）

解：⑴因为4-①，y„h"+〃i②，且2欣+4加1③

2匕，

由①得：X”一2机,，将七一2。“代入②得：y、④

n1+2A

-m小、-2km-

再将其,、八代入%=一2妙”得：X”丁中⑤

1+2K1+2公

将④©代入③得：1+2*—4〃，/=0

将直线/的方程代入椭阙方程2nx2+4ny2=1（〃EN.）得：

2〃（「2左+Snk）nx-4nm1-1=0,所以A=8??[（1+2^2）-4??w:]=0

所以直线/与桶阀。相切

⑵（i）设2（玉'.£）.8（毛’./），直线/的