2021学年成都市石室中学高二数学（理）上学期期中考试卷附答案解析

2021学年成都市石室中学高二数学（理）上学期期中考试卷

一、单选题

1.命题“玉Ko'，-+1>0”的否定是（）

A.VXG/?,x3-x2+l<0B.VXG/?,%3-x2+1>0

C.3xR,x3—x24-1<0D.不存在3—x24-1<0

0G（）（）X（）£R,X（）0

2.若同=1,恸=2,且Z_L（H），则向量入2的夹角为（）

A.45°B.60C.120=D.135。

3.抛物线x=4）/的焦点到准线的距离为

A.8B.2C.4D.-

28

4.A=|X||X-1|>1,XG/?^,B={x|log2x>l,XG/?!,则“XEB”是“十£4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知命题p：Vx>0,xH—>4,命题［：玉e（0,+oo）,2'"=—,则下列判断正确的是（）

A.r9是假命题B.q是真命题C.〃人（—《夕）是真命题D.（「P）v夕是真命题

6.函数/（司=&43叩£尺/>0,嗣<"的部分图象如图所示，则叽。的值分别是（

）

71C.4,-JD.4,g

~663

x+l>0

7.若实数x,y满足约束条件r-yKO,则2=%-3^的最小值是（）

2x+3y-l<0一

3]_1

A.-2B.D.

2210

22（5J79、

8.以双曲线r土-匕=1的焦点为椭圆C的长轴顶点，且过点4---的椭圆C的方程为（）

91644

220，->2

A.兰+反=1B.—+^=1C.—+^-=1D.上+匕=1

2516259169925

9.已如A,B,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且ACJ.3cAe=3C=1,则三棱锥O-45C的

体积为（）

A.—BD.同

12-174

【答案】A

10.以过圆/+丁=1（）》内一点（5,3）的最短弦长为等差数列｛%｝的首项《，最长弦长为其末项/，若等差

数列｛叫的公差de,则项数n的取值不可能是（）

3,2

A.4B.5C.6D.7

11.如图，在AABC中，NCA8=NCB4=30°,AC、BC边上的高分别为30、AE,则以A、3为焦点、

且过。、E的椭圆与双曲线的离心率的乘积为（）

C.2D.6+1

12.点P是直线/：x=-2上一动点，点F（2,0）,点。为尸产的中点，点M满足MQ_LPF,MP=AOF（AeR）,

过点M作圆（x-5y+V=l的切线，切点为S,当|MS|取得最小值时，则直线MF的方程为（）

A.y=±(x-2)B.y=±5/2(x-2)C.y=±6(x-2)D.y=±2&(x-2)

二、填空题

13.在△48C中，NA,NB,NC的对边分别为a,h,c,S.asinAsinB+bcos2A=>j2a>则一=

a

92

14.若直线y=2x与双曲线'-方=i（a>o,/,>o）没有公共点，则该双曲线离心率的取值范围为

15.已知斜率为左的直线/过抛物线C:y2=2px（p>（））的焦点，且与抛物线C交于A,B两点，抛物线C

的准线上一点满足方.砺=0,则|明=

16.已知圆M：（x+cos。）2+（y-sin0）2=1,直线/：y=kx,下面四个命题:

2

（A）对任意实数k与0,直线/和圆M相切；

（B）对任意实数上与0,直线/和圆M有公共点；

（C）对任意实数0,必存在实数左，使得直线/与和圆M相切；

（D）对任意实数匕必存在实数。，使得直线/与和圆M相切.

其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）.

三、解答题

/v2

17.已知命题P：实数机满足加2-5卬“+4"<0,其中”>0；命题平方程——+」_=1表示双曲线.

m—3m-5

（1）若4=1,且。人g为真，求实数机的取值范围；

（2）若即是r的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

18.已知数列｛4｝满足4=1,na„=2（n+\-）a,设b“=包.

+lnn

（I）判断数列｛"｝是否为等比数列，并说明理由；（II）求数列｛q｝的前"项和S,,.

19.已知AABC的面积为S,且通.布=S.

（I）求tan2A的值；（11）若8=工，|AB|=3,求AABC的面积S.

4

20.如图，在棱长为2的正方体4BCO-ABGR中，E为棱BC的中点，F为棱C。的中点.

（1）求证：2///平面AEG；（2）求平面A4/C/与平面4C/E夹角的正弦值.

21.在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点费,0且与直线x=-g相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线

3

E.

(1)求曲线E的方程；

(2)设P是曲线E上的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为(x-l『+y2=i,求△PBC面

积的最小值.

22.如图，设圆/+/+2*_15=0的圆心为A,直线/过点以1,0)且与x轴不重合，/交圆A于C,。两点,

过3作4c的平行线交AD于点E.

(1)求点E的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线C，直线/交G于M，N两点，过B且与/垂直的直线与圆A交于P,。两点.

11

(i)证明：丽+网为定值；

(ii)求四边形MPNQ面积的取值范围.

1.A

4

【解析】根据特称命题的否定，直接得出结果.

【详解】命题“玉：oWR，工0J/"+1>的否定是",A3—x2+1<0,9.

故选：A.

【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题型.

2.B

【分析】利用平面向量垂直可得出7R-B)=o,求出cos<£,B>的值，利用平面向量夹角的取值范围可求

得向量£、B的夹角.

【详解】由题意可得=7一£石=忖-|t；|-|/j|cos<a,^>=l-2cos<a,/>>=0,

rr।____

可得cos<〃力>=5,因为()4<〃/>418(),故<〃4>=60.故选：B.

3.D

【分析】抛物线方程化为标准方程，利用抛物线的标准方程可得P=J,由焦点到准线的距离为p,从而

O

得到结果.

【详解】解：抛物线x=4y2,的焦点到准线的距离为p,由标准方程可得。=：,

4o

故选。.

【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，判断焦点到准线的距离为P是解题的关键.

4.A

【分析】解不等式可得集合，进而可得解.

【详解】解不等式可得4=,卜一1注1/€/?}={小40或犬22},

fi=|x|log2x>l,xe=1x|x>21,故B=

所以“xeB”是“xwA”的充分不必要条件,故选:A.

5.D

【分析】根据均值不等式得到。为假命题，根据指数函数单调性得到夕为假命题，对比选项得到答案.

【详解】x>0时，x+->2,^?=4,当X=2时等号成立，所以X+9*4,所以。为假命题；f为真命

X\XX

题，〃人(「夕)为假命题，故A和C错误.

当x>0时，2v>2°=b故0为假命题，则(」，)八9是假命题.所以B错误，D正确.故选：D.

6.A

5

【分析】根据三角函数图象可得周期与对称轴，进而可得参数值.

【详解】由已知得17=.一（-=故T=/，又口>0,则8=4=二=2,

41213y/4T7U

即/（x）=V5sin（2x+0）,又函数经过点•，&）,

即夜sin（2x1^+8）=夜，解得9=一5+22万次£Z,又陷<g,故9=-9,故选：A.

7.B

【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为y=2x-2z,求出过可行域点，且斜率为2的直线在y轴上

截距的最大值即可.

x+l>0

【详解】画出满足约束条件,x-y<0的可行域，

2x+3y-l<0

如下图所示：

1[x=-1Ix=-1

目标函数Z=x—：y化为y=2x—2z,由解得,设

2[2x+3y-l=0[y=l

13

当直线y=2x-2z过A点时，z=x-]y取得最小值为-].故选：B.

8.B

22

【分析】求出双曲线的焦点坐标，得出椭圆的半长轴长，设椭圆标准方程为工+与=1,（。>匕>0）,代入已

知点，求解即可得到椭圆的标准方程.

【详解】解：双曲线H=1的焦点为（-5,0）,（5,0）,

2）

设椭圆标准方程为£+左=l,Qb>0）,则。=5,

6

,(559)KLf9Y

又椭圆过点，所以4I4J，解得力=3,

l752+…

所以椭圆的标准方程为片+亡=1.故选：B.

259

9.A

【分析】由题可得AABC为等腰直角三角形，得出AMC外接圆的半径，则可求得。到平面ABC的距离,

进而求得体积.

【详解】••,AC，BC,AC=8C=1,.“43C为等腰直角三角形，...A8=嬷，

则△ABC外接圆的半径为也，又球的半径为1,

2

所以％='SMe=』x'xlx.故选：A.

3322]2

【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面

距离的勾股关系求解.

10.A

【分析】由圆的弦长公式，求得4=8,““=10,结合等差数列的公式，求得〃=，2+1,进而求得实数〃的

范围，结合选项，即可求解.

【详解】由题意，将圆/+y2=10x化为(x-5>+y2=25,可得圆心坐标为C(5,0),半径r=5,

设A(5,3),可得|4。=3,由圆的弦长公式，可得4=2斤#=8，4=1。，

设等差数列的公差为d,则〃“=4+5-l)d,即8+5-1必=10,所以〃=彳+1,

a

112

因为:所以54彳+1K7,即5口47,结合选项，可得〃的取值不可能是选项A.

32a

故选：A.

11.C

【分析】先设43=2c，由条件分别得到AE、BD,BE、AO的值，

根据椭圆焦点和所过的点，由椭圆定义得到勿=80+AQ,求出。，

代入离心率公式求解即可；

根据双曲线焦点和所过的点，由双曲线定义得到2〃=AO-6力，

7

求出〃，代入离心率公式求解即可.

【详解】根据题意，设4?=2c,则AE=8£)=c,BE=AD=gc,

所以在以A、B为焦点，且过3、£的椭圆中，2a=BD+AD=c+&,

“=仁业,即椭圆离心率e=£=®-l；

2a

所以在以A、8为焦点，且过。、E的双曲线中，2a=AD-BD=6c-c,

/石一1卜,即双曲线离心率0=£=6+1,

2a

所以椭圆与双曲线的离心率的乘积为：(G-1)X(G+1)=2,

故选：C.

12.D

【分析】由题意首先求出〃的轨迹方程，过点似作圆@-5>+丁=1的切线，切点为s,连接MS,NS,

MN,利用勾股定理得到|MS|=4MN1-1,即当|MN|最小时，IMSI有最小值，设M(x,y),利用两点的距

离公式表示出|MN|,即可求出|MV|的最小值，从而求出〃的坐标，即可求出M尸的方程.

【详解】解：依题意，因为而=4万，所以向量而与向量而共线，

所以A/P与x轴平行，故|MP|即为点M到直线x=-2的距离d,

又因为M在线段尸尸的垂直平分线上，所以|MP|=|MF|=d,

所以M点在以尸(2,0)为焦点，以x=-2为准线的抛物线V=8x上，设圆(X-5)2+/=1的圆心为N(5,0),

过点M作圆(X-5)2+V=1的切线，切点为S,连接MS,NS,MN,

则AMMS为直角三角形，且ZMSN=90。，所以|MSF+|NSf=|MN|2,所以|MS|=-1,

当IMN|最小时，IMS|有最小值，

设M(x,y),则|MN|=J(x-5/+y2=&-10x+25+8x=-2^+25=+24,所以当x=l时

|W|n,n=276,所以y2=8xl,解得>=±2也，所以M(1,2夜)或M(1,-20),当M(l,2a)时

kMF=-=-2yf2,此时M尸为y=-2a(x-2)；

8

当夜)时％MF=Z^1=2夜，此时心为y=2夜(x—2)；

1—2

【分析】根据正弦定理化简后计算

【详解】由正弦定理得sinAsinAsin8+sinBcos2A=&sinA，即sin6=&sinA

।,sinBb▲[人人、/1—

故^~7=四=一故答案为：y[l

smAa

14.(1,^]

->1>।

【解析】由直线y=2x与双曲线点-左=1(。>0,6>0)没有公共点，分析出?42,再求e的范围.

【详解】；双曲线/《一igO,6>0)的渐近线方程：尸土"且直线尸2》与双曲线没有公共点,

.,.-<2即0=、[546

a\a~

又e>l,6.故答案为：

【点睛】求椭圆(双曲线)离心率的一般思路：根据题目的条件，找到八氏c的关系，消去6,构造离

心率e的方程或(不等式)即可求出离心率.

15.5

【分析】求出抛物线C的方程为丁=4万，其焦点为尸(1,0).直线/的方程为y=&(x-l).利用面•访=o,

说明M在以A8为直径的圆上.设点AQ,乂)，B(X2,%),利用平方差法求出斜率，设AB的中点为Q(%,

%),推出为=".通过点Q(x0,%)在直线/上，结合点。原+1,令是以AB为直径的圆的圆心.转化求解

9

直线的斜率，求解弦长即可.

【详解】解：由题意知，抛物线C的准线为x=-l,即5=1，得P=2,所以抛物线C的方程为V=4x,

其焦点为尸(1，。).

因为直线/过抛物线的焦点F(1,0),所以直线/的方程为y=Mx-l).

因为必.丽=0，所以用在以A8为直径的圆上•

设点A(%,乂)，B®,y2),联立方程组两式相减可得以运=」一=仙

[y2=4X2,%一/乂+%

2

设AB的中点为。(%,先)，则%=7.因为点。(%,%)在直线/上，

所以/=我2+1,2所以点2。(*+1,令是以48为直径的圆的圆心.

由抛物线的定义知，圆。的半径「=与=土土产=三产=卷+2,

因为I刎2=(/+2)2+[+1)2=/,所以(卷+2)2+(、+1)2=(卷+2>,解得％=—2,

22

所以弦长|AB|=2r=2(k+2)=2(：+2)=5.

k24

故答案为：5.

16.(B)(D)

【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和圆的半径乙然后求出圆心到已知直线的距离d,利用两角和的正

弦函数公式化为一个角的正弦函数与半径〃比较大小即可得到直线与圆的位置关系，得到正确答案即可.

【详解】由题意可得圆心坐标为(-cosasin。)，圆M的半径为1,且圆心到直线/：y=履的距离为

cos，一sinJl+k”sin(，+W)|,._._k._1

d=----,----=-----J-----=sin(0+6?)<1(其中sin0=--,,cos<p=--y-----),

直线/与圆M有公共点，且对于任意实数人,必存在实数e,使直线/与圆M相切.

故答案为(B)(D).

【点睛】本题考查考查直线与圆的位置关系的应用，要求学生会利用圆心到直线的距离与半径比较大小来

判断直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档

题.

17.(1)(3,4)；(2)：,3.

【分析】(1)当。=1时，求得不等式加-5卬"+4/<0的解，再由方程上一+上=1表示双曲线，可

/n-3m-5

求得对应的实数加的取值范围，由〃八"可知〃、4均为真命题，由此可求得实数团的取值范围;

10

（2）求得力和r中对应的，"的取值范围，根据力是r的充分不必要条件，可得出集合的包含关系,

进而可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数。的取值范围.

【详解】命题由题得（加一a）（〃2-4a）<0,又a>0,解得

对于命题4，由于方程上一+工=1表示双曲线，则（〃?-3）（加-5）<（）,解得3Vm<5.

tn—3m-5

（1）若a=l,命题〃为真时，1<相<4.

当〃人4为真时，则〃真且夕真，°」.*.3</7?<4,

3<"?<5

因此，实数”?的取值范围是（3,4）；

(2)—^P：加工。或〃724a,:/n<3ngm>5.

由于r7是r的充分不必要条件，则｛间机Wa或｛司机（3或625｝,

p<3解得注43.

{4a>5

当a=：时，则有卜或〃?25｝｛利同43或〃?25｝,合乎题意；

当a=3时，则有“司机43或加N12｝｛同加43或机25｝,合乎题意.

综上所述，实数。的取值范围是住,3.

_4_

【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数，同时也考查了利用充分不必要条件求参数，考查计算能力,

属于中等题.

18.(1)见解析(2)S“=(〃-1)-2"+1

【详解】分析：（I）利用定义证明数列｛2｝为等比数列.（H）先求出a“=〃-2"T,再利用错位相减求出数

列｛。“｝的前〃项和S..

详解：（I）由条件可得"+1=乜，b"=%,所以❷=2・4,

n+\n〃+1n

即加+/=2加，又从=1,所以也｝是首项为1,公比为2的等比数列.

（II）由（I）可得&=2"T,所以““=止2”二

n

①5〃=1・2°+2・21+3-22+3+(〃-1)・2"-2+小2”

11

@2S„=l-2l+2-22+3-23+---+(n-l)-2n-|+w2"

2

®-Sn=2?+2'+2+2i+---+2'-'-n-2"=Y^-n-2"

整理得：5„=(n-1)-2n+l(ne2V+)

点睛：（1）本题主要考查数列性质的证明和错位相减求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的

计算能力.（2）数列｛%%｝,其中也J是等差数列，｛&｝是等比数列，则采用错位相减法.

,4„

19.（I）――；（II）3

【分析】（I）由已知和三角形面积公式可得cosA=；sinA,进而得到tanA=2,由二倍角的正切公式可得

答案;

（II）由（1）式中的tanA=2,可得sinAcosA由两角和的正弦公式可得sinC,结合正弦定理可得边b,代入

面积公式可得答案.

【详解】解：（I）设AABC的角所对应的边分别为a,6,c,

2tanA_4

ABAC=S>bccosA=—bcsinA,/.cosA=—sinA,tanA=2/.tan2A=2--

22l-tanA3

(II)叵一词=3,即画=c=3,

tanA=2,0<A<—,sirt4=8s

255

.•.sinC=sin(A+8)=sinA8sB+cosAsi®竽亭冬会噜,

由正弦定理知：,=—~q=b=—.~~--sinB=-75,S=—BcsinA=—>/5-3-=3.

sinCsinBsinC225

【点睛】本题主要考查利用正弦、余弦定理求解三角形的基本量及两角和的正弦公式等，需牢记三角函数

各公式并灵活运用.

20.（1）证明见解析（2）g

【分析】（1）以A为原点，AB,AD,然分别为x,>,z轴，建立如图空间直角坐标系，求得平面4EG的一个

法向量，由空间向量的数量积运算可得证；

（2）由正方体的特征可得，平面AAC的一个法向量为丽=（2,-2,0）,根据面面角的向量求解方法可求得

答案.

【详解】（1）证明：以A为原点，A8,AD"分别为x,），,z轴，建立如图空间直角坐标系，

12

则A（0,0,0）,A（0,0,2）,8（2,0,0）,c（2,2,0）,。（0,2,0）,C（2,2,2）,D,（0,2,2）,

因为E为棱BC的中点，F为棱CO的中点，所以E（2,l,0）,F（l,2,0）,

___uuuu____

所以A尸=（L0,-2），AG=（2,2,0），AE=（2,l,_2）,

设平面AEG的一个法向量为加=（耳,y,zj,

m-iAjCj=2x,+2y,=0

，令q=2,则加=（2,-2,1）

防•=2N+x-2Z]=0

因为即.而=2-2=0,所以即_L而,

因为。尸a平面AEG，所以。尸//平面AEG；

（2）解：由正方体的特征可得，平面AAG的一个法向量为丽=（2,-2,0）,

DBm8272

则=

|叫时-3x2应

所以二面角A-AG-E的正弦值为Jl-cos2（而，同=1.

【详解】试题分析：（1）圆心到定点与到定直线距离相等符合抛物线定义，可直接写出标准方程V=2x；

（2）设P（x。,%）,B（0/）,C（0,c）,直线PB的方程为：（%—b）x—%y+x/=0,由点到直线的距离公式

得（%-2）/+2）屹一x°=0,同理（为一2）c2+2%c—%=0可得忸一同=|三三，面积表示为关于内的函数，

进而利用基本不等式求最值.

试题解析：解：（1）由题意可知圆心到楣，。的距离等于到直线x=-g的距离，由抛物线的定义可知，圆

13

心的轨迹方程：y2=2x.

（2）设P（%%）,B（0,。）,C（O,c）,直线PB的方程为：（%-匕）x-2y+砂=0,

又圆心(1,0)到PB的距离为1,

\y0-h+xoh\

-2

力『+2-1,整理得：（毛-2）3+2），（--5=0,同理可得：（-\）2）c+2yoc-xo=0,

所以，可知人。是方程(七一2)/+2%了一毛=。的两根，所以：b+c=^-,历=3,依题意儿＜0,

/一/"()/

即“2,则”八贤沪

因为y；=2x°,所以：快-。1=|二匕卜所以

S=4M-c|同=(x0-2)+—二+428,当为=4时上式取得等号，所以APBC面积最小值为8.

2V

【解析】1、抛物线的定义；2、点到直线的距离公式及基本不等式求最值.

【方法点晴】本题主要考查抛物线的定义、点到直线的距离公及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线

中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，

非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别

式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题(2)就是用的这种思路，利用均值不等式

法求三角形最值的.

22.1)?+,=1(尸0)(2)(i)证明见解析；(ii)[12,86)

【分析】(1)推出1班|=|即转化求解圆A的标准方程，利用椭圆定义可得点E的轨迹方程.

(2)(i)设/的方程为N=«(x-1)伙*0),MU,,%),Ng,%),不妨设演＜1＜七，联立直线与椭圆方程，消

元、列出韦达定理，根据弦长公式表示出IMBI,\网,代入计算可得；

(ii)设直线/的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|,由尸Q，/,设PQ方程，求

得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得IPQI,再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，

即可得到所求范围.

【详解】⑴解：圆A：x2+y2+2x-15=0即为(x+l)2+y2=16,

可得圆心A(-l,0),半径r=4,

由8E//AC,可得NC=NEBD,

由AC=AD,可得ND=NC,

即为NO=NE5D,即有E3=£D,

14

贝l]|E4|+|EB|=|E4|+|E£)HAD|=4>|AB|=2,

故E的轨迹为以A,8为焦点的椭圆，且有2a=4,即a=2,c=l,b=yla2-c2

22

则点E的轨迹方程为?+q=l（yHO）；

⑵解:

（i）证明：依题意：/与X轴不垂直，设