关于实变函数教学的一些思考

关于实变函数教学的一些思考

1基于实变函数的内容实际变化函数是高师数学专业的一项重要基础课程。其任务是让学生掌握现代抽象分析的基本思想，提高抽象思维和表达能力，加深对数学表现的理解，加深对数学的理解。实变函数的内容已经广泛渗透到现代数学的各个领域,例如泛函分析、现代偏微分方程、调和分析、分形理论等。Lebesgue积分的创立是二十世纪数学标志性成就之一,而测度论是现代概率论的基础。因此,学好实变函数有着重要意义。但是由于实变函数概念的抽象和理论的艰深,许多学习过这门课程的学生感到实变函数晦涩难学,很难理解。作为任教老师应当认真研究这门课的教法,上好这门课,使学生能真正理解这门课的思想实质。2改进实用函数教育法的一些方法2.1结合正反两方面的实例数学中的所谓反例就是用以否定错误命题而举的例子。反例可以分成三类:用来否定似是而非的命题的,用来说明命题和定理的条件、结论是不可更改的,用来纠正直观上可能产生的错觉的。反例同正面例子结合,可以达到以反辅正、殊途同归的目的。实变函数概念繁多,而且相互联系很强,一个概念往往与许多概念密切相关。如果学生对其中一个概念不能深刻理解,往往会影响到对一批概念的理解。同时,实变函数概念往往很抽象,这也使得学生在理解概念时不容易把握其内涵。在讲解概念时,除了认真讲清概念的含义外还应当结合正反两方面的例子,即使学生理解概念的本质,也使学生去掉一些错误的认识。例如:讲解可测函数的概念时,应当首先讲清其含义,特别强调是对于任意的a∈R,E[f>a]为可测集,则称f为E上一个Lebesgue可测函数,然后证明这等价于对于任意的a∈R,E[f≥a](或E[f≤a]或E[f<a])为可测集。最后再从反面构成一个非可测函数的例子,使学生知道即便对于任意的a∈R,E[f=a]为可测集,f不一定为E上的可测函数。例1在(0,∞)中取不可测集A,在E=R1上定义f(x)={x,x∈A,−xx∉Af(x)={x,x∈A,-xx∉A则∀x∈R1,集E[f=a]至多包含两点,所以是可测集,但因集E[f>0]∩(0,∞)=A不可测,所以f为不可测函数。实变函数论中的定理条件往往很简单却很抽象,容易被学生忽视,通过一些反例可以帮助学生把握这些极容易被忽视和认识模糊的地方。例如,Egoroff定理中条件mE<∞是不可少的。例2取E=(0,+∞),则mE=∞。作E上函数列:fn(x)={1,x∈(0,n]‚0‚x∈(n,+∞),n=1,2,⋯fn(x)={1,x∈(0,n]‚0‚x∈(n,+∞),n=1,2,⋯显然,{fn(x)}处处收敛于1,但是对于任意δ>0与可测集Eδ⊂E,当mEδ<δ时,{fn(x)}在E＼Eδ上不一致收敛于1。事实上对任何n,因mEδ<δ,所以(n,∞)＼Eδ≠〉。从而存在x∈(n,∞)＼Eδ使fn(x)=0。在使用反例教学时,应从正面例子入手,同时反例也不宜举得过多。2.2利用lebesgue积分进行内实变函数是一门承上启下的课程,一方面它是数学分析课的继续、发展、深化和拓广,另一方面,它也是泛函分析、偏微方程、概率论与随机过程等的基础。这是实变函数同其他课程的联系,是外部的联系。Riemann积分是数学分析的重要内容,而Lebesgue积分是变实函数论的主要组成部分,这两种积分从思想及形式上有着明显的区别,但它们也有着深刻的联系,Lebesgue积分是Riemann积分本质的改造,这种改造是对Riemann积分的缺陷认识基础上进行的。首先Riemann积分对函数连续性的要求比较高,Riemann可积函数的间断点集只能是零测度集。其次,由于Riemann可积函数列的极限函数不一定是Riemann可积的。这就使得交换积分与极限的顺序还必须附加一些强的条件。Lebesgue积分是在Lebesgue测度与Lebesgue可测函数等新的概念引入基础上对Riemann积分的一种变革,不同于Riemann积分,Lebesgue积分是通过值域分划得到新的积分和。同样,数学分析中连续函数的概念与可测函数是紧密联系的。一方面,连续函数必为可测函数,反之未必。另一方面,由鲁津定理知,可测函数是基本上连续的函数。把实变函数论中的概念同数学分析中有关概念加以比较,可以加深对这些概念的理解。实变函数同泛函分析有着密切的联系。例如,泛函分析中的Lp[a,b]空间,C[a,b]的共轭空间等,现代概率论的公理体系是建立在测度论的基础之上。实变函数中有大量分形的例子,由于实变函数课程讲述的时间安排,我们不可能在讲述实变函数时,仔细的介绍实变函数与这些后续课程的联系。但我们在讲述实变函数时,简单地介绍其与相关后续课程的重要联系,使学生认识到实变函数的应用,会增强学生学习的兴趣,提高学生学习的主动性与积极性。实变函数内容理论体系严密完整,前后知识贯穿一起,这是其内部的联系。学习完各章节后,分别对各章节内容予以梳理,有助于学生从总体把握,知道各个部分的内在联系,在整体中理解部分。2.3直观化的教学手段很多学过实变函数的学生总结起来总是感到实变函数不可捉摸,难以深入理解其思想本质,这是由于实变函数理论的高度抽象性。教学过程中适当地应用直观化教学手段,可以帮助学生克服觉着实变函数难懂、抽象、枯燥的心理,学好实变函数。实变函数直观化的教学手段应是多样性的,它可以是为学生所熟悉的数学分析中的直观例子。例如,讲到开集概念时,使用开圆或开区间做例子等。直观化的教学手段还应包括实变函数发展史中富有趣味、直观形象且具启发意义的例子。例如,讲到基数时,可以简单地介绍史学家对原始人猎物分配过程的猜测性描述,从而引出一一对应可以作为比较两个无限集的元素多少的手段。再如,讲到不存在最大基数的定理时,可由有限集上这一结论的成立(即n<2n,引导学生发现这一结论,再结合著名的理发师悖论讲述这一定理的证明思路。在讲到Riemann积分与Lebesgue积分的区别时,可以使用Lebesgue本人所使用的一个例子:偿还一笔钱,可以从口袋中摸出不同面值的钞票,还给债主,直到还清,这叫Riemann积分,也可以分不同面值将口袋中钱还给债主,这叫Lebesgue积分。直观化的图示可以帮助学生清理思路,认识概念、命题之间的联系。例如:结合实变函数教学,介绍数学史中关于实变函数的论述,可以增加学生对实变函数的感性认识,理解其思想实质,增强学生的学习兴趣,培养学生的创新意识。目前,已有一些实变函数教科书将实变函数有关概念的发展演化列举在其章节附录中(见)。2.4以问题为导向,拓展课程体系,增加学生学习的基础,提高学生专业生学生感到实变函数难于掌握,一个重要原因是面对习题总是感觉到束手无策。实变函数的大部分习题是证明题,理论性很强,需要学生在熟悉所学概念与定理的基础上,展开抽象思维,认真分析,合理推证,这对学生的数学素养要求很高。如果学生对课后习题不能顺利做出,长此以往,就会使学生产生实变函数难学的心理负担,不利于学生对实变函数知识与概念的巩固复习。因此,分章及梳理小结,精选习题,上好习题课,对于学生掌握实变函数问题的典型方法、分解难点,增强学习信心十分必要,选题原则是强调基本概念、性质、定理,突出基本方法,题目不宜太多太难,应努力使学生发现解题技巧,选题对于一类习题要有启发性,讲解时要做好师生互动,有些只要讲解思路予以提示即可,对于繁难题目可以认真讲解。结合所学内容,设计小的专题研究问题,会增强学生的兴趣,也培养了学生的科研能力,对于提高学生的综合素质极为有利。例如,可测函数列的收敛性问