山东实验中学高三第二次诊断性考试数学试题及答案解析

试卷第=page22页，总=sectionpages22页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat22页山东实验中学高三第二次诊断性考试数学试题及答案解析一、单选题1．命题:“”的否定为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【详解】解：命题“”是全称命题，则命题的否定是特称命题即，故选：．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，属于基础题．2．是虚数单位，若复数，则的虚部为（）A． B．0 C． D．1【答案】A【解析】利用复数的代数形式的运算法则直接求解．【详解】解：是虚数单位，复数，的虚部为．故选：．【点睛】本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．3．在中，若，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】余弦定理将各值代入得解得或(舍去)选A.4．若是任意实数，且，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据指数函数的单调可得正确，举反例可判断其他选项是错误的.【详解】解：、是任意实数，且，如果，，显然不正确；如果，，显然无意义，不正确；如果，，显然，，不正确；因为指数函数在定义域上单调递减，且，满足条件，正确．故选：．【点睛】本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，属于基础题．5．设，，若，求实数组成的集合的子集个数有A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【解析】先解方程得集合A，再根据得，最后根据包含关系求实数，即得结果.【详解】,因为，所以，因此，对应实数的值为，其组成的集合的子集个数有，选D.【点睛】本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题.6．已知，且，则的值为（）A．-7 B．7 C．1 D．-1【答案】B【解析】由了诱导公式得，由同角三角函数的关系可得，再由两角和的正切公式，将代入运算即可.【详解】解：因为，所以，即，又，则，解得=7，故选B.【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.7．古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天【答案】C【解析】由等比数列前项和公式求出这女子第一天织布尺，由此利用等比数列前项和公式能求出要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为多少天．【详解】解：设该女子第一天织布尺，则，解得，前天织布的尺数为：，由，得，解得的最小值为8．故选：．【点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于基础题．8．已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意，设，则有，即函数的图象关于对称，结合时，，及已知导数可判断函数单调性，从而可求不等式．【详解】解：根据题意，设，则，则有，，即有，故函数的图象关于对称，则有，当时，，，又由当时，，即当时，，即函数在区间为增函数，由可得，即，，函数的图象关于对称，函数在区间为增函数，由可得，即，此时不存在，故选：．【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调性，涉及函数的对称性以及不等式的解法，属于中档题．9．已知函数的图象关于直线对称，若，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据函数的对称性，利用，建立方程求出的值，然后利用辅助角公式求出的解析式，利用最值性质转化为周期关系进行求解即可．【详解】解：解：的图象关于直线对称，，即，，则，，，或，，即，一个为最大值，一个为最小值，则的最小值为，，的最小值为，即的最小值为.故选：．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用对称性建立方程求出的值以及利用辅助角公式进行化简，转化为周期关系是解决本题的关键10．已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先作图象，再根据图象确定等量关系以及参数取值范围，最后化简得结果.【详解】先作图象，由图象可得因此为，从而，选A.【点睛】对于方程解(或函数零点的)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、多选题11．关于平面向量，下列说法中不正确的是（）A．若且，则 B．C．若，且，则 D．【答案】ACD【解析】利用向量数量积所具备的相关性质逐一进行判断即可．【详解】解：对于，若，因为与任意向量平行，所以不一定与平行，故错；对于，向量数量积满足分配律，故对；对于，向量数量积不满足消去率，故错；对于，是以为方向的向量，是以为方向的相量，故错．故选：．【点睛】本题考查命题真假性的判断，掌握向量的相关性质即可，属于基础题．12．己知函数的一个零点，为图象的一条对称轴，且上有且仅有7个零点，下述结论正确的是（）A． B．C．上有且仅有4个极大值点 D．上单调递增【答案】CD【解析】根据的零点和对称轴，可以推出为奇数，再结合在上有且仅有7个零点，推出的值，进而推出的值以及函数单调性．【详解】解：为图象的一条对称轴，为的一个零点，，且，，，，在上有且仅有7个零点，，即，，，又，所以，令，解得，当解得，因为，所以故上有且仅有4个极大值点，由得，，即在上单调递增，在上单调递增，综上，错误，正确，故选：．【点睛】本题考查了正弦函数的奇偶性和对称性，考查了正弦型函数的单调性，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于难题．13．设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可．【详解】解：令函数，因为，，为奇函数，当时，，在上单调递减，在上单调递减．存在，得，，即，；，为函数的一个零点；当时，，函数在时单调递减，由选项知，取，又，要使在时有一个零点，只需使，解得，的取值范围为，故选：．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于中档题．三、填空题14．已知向量满足，，，则___________.【答案】【解析】根据向量的数量积的运算律求出，再计算即可得解.【详解】解：由已知：，，，所以，展开得到，所以，所以，所以；故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量的模的运算；利用了向量的模的平方与向量的平方相等，属于基础题．15．设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意得，，解得，所以，由，解得，即，要使得是的充分不必要条件，则，解得，所以实数的取值范围是．【考点】充分不必要条件的应用；不等式的求解．【方法点晴】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定与应用、分式不等式和一元二次不等式的求解等知识的应用，本题的解答中根据分式不等式的求解和一元二次不等式的求解，求解的解集，再由是的充分不必要条件，列出不等式组是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．16．在中，分别为内角的对边，若，且，则__________．【答案】4【解析】已知等式，利用正弦定理化简得：，可得，，可解得，余弦定理可得，，可解得，故答案为.17．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为9的圆锥和底面半径为，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与各自的高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为_________；若新圆锥的内接正三棱柱表面积取到最大值，则此正三棱柱的底面边长为_________.【答案】3【解析】先求出原来的体积和，再求出新的体积和，列出方程，即可解出新的底面半径，设新圆锥的内接正三棱柱的底面边长为，高为，底面正三角形的外接圆的半径为，利用相似比用表示出，从而把正三棱柱的表面积表示成的二次函数，利用二次函数的性质即可求出三棱柱的表面积取到最大值时的值．【详解】解：由题意可知，底面半径为5，高为9的圆锥和底面半径为，高为8的圆柱的总体积为，设新的圆锥和圆柱的底面半径为，则：，解得：，设新圆锥的内接正三棱柱的底面边长为，高为，底面正三角形的外接圆的半径为，，，又，，正三棱柱的表面积，当时，三棱柱的表面积取到最大值，故答案为：3，．【点睛】本题主要考查了圆锥与圆柱的体积公式，属于中档题．四、解答题18．己知函数的最大值为1.（1）求实数的值；（2）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）-1（2）最大值，最小值-3【解析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数，可得．（2）根据函数的图象变换规律，可得．再根据，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．【详解】解：（1），（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，，当时，，取最大值，当时，，取最小值.【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域、值域，属于基础题．19．等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据已知求出和，从而得到通项公式；（2）写出的通项公式，可知当时，，当时，；从而可分别在两个范围内求解.【详解】（1）由题意得：（2）当时，；时，当时，当时，即综上所述：【点睛】本题考查等差数列的通项公式求解、含绝对值的数列前项和问题.解决含绝对值的求和问题，关键是要区分清楚通项正负的临界点，从而分别在两段区间内进行求和运算.20．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量已知，.（1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在和中分别对使用余弦定理，可推出与的关系，即可得出是一个定值；（2）求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出的最大值.【详解】（1）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，，则，；（2），，则，由（1）知：，代入上式得：，配方得：，当时，取到最大值.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形面积的求法以及二次函数最值的求解，解题的关键就是利用题中结论将问题转化为二次函数来求解，考查运算求解能力，属于中等题.21．已知函数且a≠0）．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）的极小值为，试求a的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可知．，由此能求出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（2）当a＜-1时，求出，解得，不成立；②当a=-1时，≤0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）单调递减．f（x）无极小值；当-1＜a＜0时，极小值f（1）=-a-4，由题意可得，求出；当a＞0时，极小值f（1）=-a-4．由此能求出a的值．【详解】（1）函数f（x）=（2ax2+4x）lnx-ax2-4x（a∈R，且a≠0）．由题意可知．∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．（Ⅱ）①当a＜-1时，x变化时变化情况如下表：x1（1，+∞）-0+0-f（x）↘极小值↗极大值↘此时，解得，故不成立．②当a=-1时，≤0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递减．此时f（x）无极小值，故不成立．③当-1＜a＜0时，x变化时变化情况如下表：x（0，1）1-0+0-f（x）↘极小值↗极大值↘此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，解得或．因为-1＜a＜0，所以．④当a＞0时，x变化时变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）-0+f（x）↘极小值↗此时极小值f（1）=-a-4，由题意可得，解得或，故不成立．综上所述．【点睛】本题考查切线方程的求法，考查极值的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．22．设正项数列的前n项和为，已知(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式(2)设数列的前n项和为，且，若对任意都成立，求实数的取值范围。【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）首先求出，利用与作差，化简即可得到为常数，进而可证明数列为等差数列，其首项为2，公差2，利用等差数列通项公式求出；（2）结合（1）可得，利用裂项相消，即可求出数列的前项和为，代入，分离参数即可得到，分别为奇数和偶数是的范围即可。【详解】（1）证明:∵，且，当时，，解得．当时，有即，即．于是，即．∵，∴为常数∴数列是为首项，为公差的等差数列，∴．（2）由（1）可得：，∴，即对任意都成立，①当为偶数时，恒成立，令，，在上为增函数，②当为奇数时，恒成立，又，在为增函数，∴由①②可知：综上所述的取值范围为:【点睛】本题考查数列前项和与通项公式的关系，求数列前项和的方法以及数列与函数的结合，考查学生运算求解能力，属于中档题。23．已知函数且在上的最大值为，（1）求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明【答案】（1）（2）2个零点.【解析】（1）由题意，可借助导数研究函数上的单调性，确定出最值，令最值等于，即可得到关于a的方程，由于a的符号对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解；（2）借助导数研究函数f（x）在（0，π）内单调性，由零点判定定理即可得出零点的个数．【详解】(1)由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),对于任意的x∈(0,)，有sinx+xcosx>0,当a=0时,f(x)=−，不合题意；当a<0时,x∈(0,),f′(x)<0,从而f(x)在(0,)单调递减，又函