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文档简介

函数的连续性第一节连续性概念1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）；（2）。证：（1）的定义域为，当时，有由三角不等式可得：，故当时，有对任意给的正数，取则，当且时，有可见在连续，由的任意性知：在其定义域内连续。(2)的定义域为对任何的，由于，从而对任给正数，取，当时，有故在连续，由的任意性知，在连续。2．指出函数的间断点及类型：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）解：（1）在间断，由于不存在，故是的第二类间断点。（2）在间断，由于，故是的跳跃间断点。（3）在间断，由于，故是的可去间断点。（4）在间断，由于，，故是的可去间断点。（5）在间断，由于，，，故是的跳跃间断点。（6）在的点间断且若，则不存在，故是的第二类间断点。（7）在及间断，且，不存在，故是的第二类间断点。又因，，故是的跳跃间断点。3．延拓下列函数，使在上连续：（1）；（2）；（3）。解：（1）当时，没有定义，而==12质知因此当时，有，故在处连续。8．设为上的单调函数，定义，证明函数在上每点都连续。证：由于为上的单调函数，故只有第一类间断点，故右极限处处存在。于是处处有定义，任取，下证在右连续。由于=且=，（）从而对任给正数，存在正数，当时，有，任取，则必存在。于是当时，上不等式成立。由极限不等式性质知因此当时，有，故在处右连续。9．举出定义在上符合下列要求的函数：（1）在和三点连续的函数；（2）只在和三点连续的函数；（3）只在上间断的函数

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