高中数学练习题

第四章平面向量问题一平面向量基本定理的应用问题平面向量问题一直在高中数学中以数学工具的形式出现,它很好的体现了数学知识间的联系与迁移,具体到平面向量基本定理,又在向量这部分知识中占有重要地位,是向量坐标法的基础,是联系几何和代数的桥梁,本文从不同角度介绍定理的应用．一、利用平面向量基本定理表示未知向量平面向量基本定理的内容：如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2,平面内选定两个不共线向量为基底,可以表示平面内的任何一个向量．【例1】如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为,与的夹角为,且,若,则（）A. B. C. D.【小试牛刀】【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期期中】在中,若点满足,则（）A．B．C．D．二、利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题．【例2】【2016届浙江省绍兴市一中高三9月回头考】已知向量满足,若为的中点,并且,则的最大值是（）A．B．C．D．【小试牛刀】如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意一点,设向量．三、三点共线向量式设是共线三点,是平面内任意一点,则,其特征是“起点一致,终点共线,系数和为1”,利用向量式,可以求交点位置向量或者两条线段长度的比值．【例3】如图所示,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,且,则的值为.【小试牛刀】若点M是ABC所在平面内一点,且满足：.（1）求ABM与ABC的面积之比.（2）若N为AB中点,AM与CN交于点O,设,求的值.四、平面向量基本定理在解析几何中的应用【例4】【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】设双曲线的右焦点为F,过点F与x轴垂直的直线交两渐近线于A,B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设坐标原点为O,若,且,则该双曲线的渐近线为（）A．B．C．D．【小试牛刀】【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】已知是双曲线（,）的左顶点,、分别为左、右焦点,为双曲线上一点,是的重心,若,则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．与的取值有关【迁移运用】1.如图,在平行四边形中,,,,则（）(用,表示)A．B．C．D．2．设向量,若(tR),则的最小值为（）A．B.1C.D.3.【2016届广西武鸣县高中高三8月月考】直线过抛物线的焦点,且交抛物线于两点,交其准线于点,已知,则（）A.2B.C.D.44．已知是两个单位向量,且=0．若点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,则（）A．B．CD．5．在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点,＝λ＋μ,则λ＋μ的值为()A.B.C.D.16.已知,若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则的面积是（）A．B．2C．D．47.过坐标原点O作单位圆的两条互相垂直的半径,若在该圆上存在一点,使得（）,则以下说法正确的是（）A．点一定在单位圆内B．点一定在单位圆上C．点一定在单位圆外D．当且仅当时,点在单位圆上8.在平面上,⊥,||=||=1,=+．若||<,则||的取值范围是()A．(0,]B．(,]C．(,]D．(,]9.在平面直角坐标系中,为坐标原点,直线与圆相交于两点,．若点在圆上,则实数（）A．B．C．D．10.如图,在扇形OAB中,,C为弧AB上的一个动点．若,则的取值范围是．11.如图,四边形是边长为1的正方形,,点为内（含边界）的动点,设,则的最大值等于12.（2015北京理13）在中,点,满足,.若,则；.问题二平面向量中的范围、最值问题平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．一、平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量和,它们的夹角为,把数量叫做和的数量积(或内积),记作.即=,规定,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即=；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a·b＝x1x2＋y1y2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例1】【2015河北邯郸摸底】在边长为2的等边三角形中,是的中点,为线段上一动点,则的取值范围为【小试牛刀】【2015福建高考试题理9】已知,若点是所在平面内一点,且,则的最大值等于（）.A．13B．15C．19D．21二、平面向量模的取值范围问题设,则,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．【例2】【2015.浙江台州中学】已知向量满足与的夹角为,,则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）【小试牛刀】【2016届山西省山西大学附中高三10月月考】已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是（）A．B．C．D．三、平面向量夹角的取值范围问题设,,且的夹角为,则．【例3】已知向量与的夹角为,时取得最小值,当时,夹角的取值范围为（）A.B.C.D.【小试牛刀】非零向量满足=,,则的夹角的最小值是．四、平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．【例4】【2015.山东潍坊市期中】已知,,且与的夹角为锐角,则的取值范围是．【小试牛刀】【2016届江西省南昌二中高三上学期第三次考试】设向量、满足：,,的夹角是,若与的夹角为钝角,则的范围是（）A．B．C．D．【迁移运用】1．【2015-2016学年福建三明一中高二上第二次月考】已知,,,点在直线上运动,则当取得最小值时,点的坐标为（）A．B．C．D．2．【2016届广西河池高中高三上第五次月考】在中,为中线上一个动点,若,则的最小值是（）A．2B．-1C．-2D．-43．【2016届湖南师范大学附中高三上学期月考】已知的面积为1,为直角顶点．设向量,,,则的最大值为（）A．1B．2C．3D．44．【2016届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中】若均为单位向量,,,则的最大值是（）A．1B．C．D．２5．【2016届陕西省商洛市商南高中高三上第二次模拟】已知向量,满足：||=3,||=1,|﹣2|≤2,则在上的投影长度的取值范围是（）A．[0,]B．（0,]C．[,1]D．[,1]6．【2016届宁夏银川一中高三上学期第三次月考】已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是（）A．1B．2C．D．7.已知向量,则的最大值,最小值分别是（）A．B．C．D．8．已知是单位向量,.若向量满足（）A．B．C．D．9．设为单位向量,非零向量,若的夹角为,则的最大值等于________.10.如图,边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在轴,轴正半轴上移动,则的最大值是．11.【2016届福建省厦门一中高三上学期期中】平面上四点满足,则面积的最大值为．12．【2016届浙江省慈溪中学高三上学期期中】已知非零向量,,满足,,,则的最小值是,最大值是．13.【2015.河南顶级名校】设O是的三边中垂线的交点,分别为角对应的边,已知,则的范围是___________．14（2015天津高考理14）在等腰梯形中,已知,,,,动点和分别在线段和上,且,,则的最小值为.15.如图,在等腰直角三角形中,,是的重心,是内的一点（含边界）,则的最大值为_________.16．△的面积满足,且,与的夹角为,则的取值范围____．17.在矩形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是________．问题三平面向量解析几何中的应用向量具有代数与几何形式的双重身份,平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势,平面向量在解析几何的应用非常广泛,通常涉及长度、角度、垂直、平行、共线、三点共线等问题的处理,其目标就是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算,本文从以下几个方面加以阐述一、利用向量相等的关系,把几何问题代数化两向量相等当且仅当两个向量的长度相等、方向相同,由于向量坐标的唯一性,故两个向量相等的充要条件是坐标对应相等．【例1】【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】椭圆,作直线交椭圆于两点,为线段的中点,为坐标原点,设直线的斜率为,直线的斜率为,．（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与轴交于点,且满足,当的面积最大时,求椭圆的方程．【小试牛刀】已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率等于.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线交椭圆C于A,B两点,交y轴于M点,若,求证为定值.二、利用向量垂直的充要条件,巧妙化解解析几何中的垂直问题两个非零向量垂直的充要条件是,如,,则．【例2】设F1,F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点,P是第一象限内该椭圆上的一点,且PF1⊥PF2,则点P的横坐标为()A．1B.C．2D.【小试牛刀】【2016届广西武鸣县高中高三月考】已知椭圆的左顶点为,是椭圆上异于点的任意一点,点与点关于点对称．（1）若点的坐标为,求的值；（2）若椭圆上存在点,使得以线段为直径的圆过原点,求的取值范围．三、利用向量平行的充要条件,灵活转换解析几何中的平行或共线问题与非零向量平行的充要条件是存在唯一实数,使得,若,,则．【例3】（1）求椭圆C的方程；（2）点,在线段上取一点使得,试判断当直线运动时,点是否在某一定直线上运动？若在请求出该定直线,若不在请说明理由.【小试牛刀】设椭圆的左右焦点分别为、,是椭圆上的一点,,坐标原点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的一点,,连接QN的直线交轴于点,若,求直线的斜率．四、利用向量夹角,合理处理解析几何中的角度问题两个非零向量夹角范围为,由数量积定义可以推出,当时,夹角为锐角；当时,夹角为钝角,所以当排除和的情况,的范围与三角形内角范围一致,利用向量夹角可以灵活处理解析几何中的角的问题．【例4】已知抛物线,为抛物线的焦点,为抛物线上的动点,过作抛物线准线的垂线,垂足为．（1）若点与点的连线恰好过点,且,求抛物线方程；（2）设点在轴上,若要使总为锐角,求的取值范围．【小试牛刀】已知圆C的圆心在坐标原点,且与直线相切（1）求直线被圆C所截得的弦AB的长．（2）过点G(1,3)作两条与圆C相切的直线,切点分别为M,N求直线MN的方程（3）若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不同的两点P,Q,若∠POQ为钝角,求直线l纵截【迁移运用】1．【2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】已知两个动点、和一个定点均在抛物线上（、与不重合）.设为抛物线的焦点,为其对称轴上一点,若,且、、成等差数列.（Ⅰ）求的坐标（可用、和表示）；（Ⅱ）若,,、两点在抛物线的准线上的射影分别为、,求四边形面积的取值范围.2．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】如图,已知椭圆C的方程为,双曲线的两条渐近线为,过椭圆C的右焦点F作直线,使交于点P,设与椭圆C的两个焦点由上至下依次为A,B．（1）若的夹角为60,且双曲线的焦距为4,求椭圆C的方程；（2）若,求椭圆C的离心率．3．【2016届云南师范大学附属中学高三月考】如图,过椭圆内一点的动直线与椭圆相交于M,N两点,当平行于x轴和垂直于x轴时,被椭圆所截得的线段长均为.（1）求椭圆的方程；（2）在平面直角坐标系中,是否存在与点A不同的定点B,使得对任意过点的动直线都满足？若存在,求出定点B的坐标,若不存在,请说明理由.4．【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】椭圆的左、右焦点分别是,过斜率为1的直线与椭圆C相交于A,B两点,且．（1）求椭圆的离心率；（2）设点,,求椭圆C的方程．5．已知分别是椭圆的左、右焦点,其左准线与x轴相交于点N,并且满足.设A、B是上半椭圆上满足的两点,其中.（1）求此椭圆的方程；（2）求直线AB的斜率的取值范围.6．已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程．（2）设为椭圆上一点,若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和,且满足（O为坐标原点）,求实数的取值范围7．已知点是椭圆的右焦点,点、分别是轴、轴上的动点,且满足．若点满足．（1）求点的轨迹的方程；（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点,直线、与直线分别交于点、（为坐标原点）,试判断是否为定值？若是,求出这个定值；若不是,请说明理由．8.已知A、B是椭圆上的两点,且,其中F为椭圆的右焦点.（1）当时,求直线AB的方程;（2）设点,求证:当实数变化时,恒为定值.9.平面内动点P(x,y)与两定点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率之积等于,若点P的轨迹为曲线E,过点直线交曲线E于M,N两点．（Ⅰ）求曲线E的方程,并证明：MAN是一定值；（Ⅱ）若四边形AMBN的面积为S,求S的最大值10.如图,椭圆的离心率为,轴被曲线截得的线段长等于的短轴长.与轴的交点为,过坐标原点的直线与相交于点,直线分别与相交于点.（Ⅰ）求、的方程；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）记的面积分别为,若,求的取值范围.11.已知椭圆的离心率为,过顶点的直线与椭圆相交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）若点在椭圆上且满足,求直线的斜率的值.12.设分别是椭圆的左,右焦点.（1）若是椭圆在第一象限上一点,且,求点坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同两点,且为锐角（其中为原点）,求直线的斜率的取值范围.13．已知点A（－1,0）,B（1,－1）和抛物线.,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q,如图.（1）证明:为定值;（2）若△POM的面积为,求向量与的夹角；(3)证明直线PQ恒过一个定点.问题四高考题中向量数量积的若干种求法平面向量的数量积是向量知识中的重要内容,考题中往往会涉及到求值或者取值范围的小题或大题,是高考题的热点和重点,那么如何求平面向量数量积呢？本文从三个方面予以阐述,以期给同学们启发．一、利用“定义”求平面向量数量积,根据几何或代数关系求非零向量的模和夹角是前提.【例1】【2015四川绵阳市高三一诊】如图,正六边形ABCDEF的边长为1,则＝（）（A）（B）（C）3（D）－3AABCDEF【小试牛刀】【2015江西南昌】若等腰△ABC底边BC上的中线长为1,底角B＞60º,则·的取值范围是______．二、利用“坐标”求平面向量数量积设,,则,用此法求平面向量数量积时,必须先建立恰当的平面直角坐标系,把向量坐标化,特别注意,当遇到特殊三角形或四边形时可以多考虑建系,以达到事半功倍的效果．【例2】【2015河南八校】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,a=b=3,点P是边AB上的一个三等分点,则=()A.0B.6C.9D.12【小试牛刀】【2016届辽宁省大连市八中高三12月月考】已知是坐标原点,点,若点为平面区域上的一个动点,则的取值范围是（）A．B．C．D．三、利用“分解转化法”求平面向量数量积利用平面向量基本定理将所求向量用基底表示,在不含坐标系或者不宜建系的情况下,通过向量运算得到解题结果,这种方法应予以重视．【例3】【2016届福建省上杭县一中高三12月考】如图,、是半径为1的圆的两条直径,,则的值是（）A．B．C．D．【小试牛刀】【2015湖南娄底市】在边长为1的正三角形ABC中,＝x,＝y,x>0,y>0,且x＋y＝1,则·的最大值为（）A．－B．－C．－D．－【迁移运用】1.【2016届广西河池高中高三上第五次月考】在中,为中线上一个动点,若,则的最小值是（）A．2B．-1C．-2D．-42.在中,已知,,若点在斜边上,,则的值为（）A．48B．24C．12D3．【2015四川成都】已知函数f（x）＝sin（2πx＋φ）的部分图象如图所示,点B,C是该图象与x轴的交点,过点C的直线与该图象交于D,E两点,则（）•的值为（）A．B．C．1D．24．【2015山东胶州】在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A＝30°,BC＝1,D为斜边AB的中点,则＝（）A．1B-1C．2D．-25．【2015山东胶州】△中,点在线段上,点在线段上,且满足,若,则的值为（）A.1B.C.D.6.【2015吉林摸底】如图,平行四边形ABCD中,,点M在AB边上,且,则等于（）A．B．C．D．17.【2015吉林摸底】中,,D是边BC上的一点（包括端点）,则的取值范围是（）A．[1,2]B．[0,1]C．[0,2]D．[-5,2]8．【2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】在中,,,若为外接圆的圆心（即满足）,则的值为.9．【2016届河南省信阳高中高三上第八次大考】如图在平行四边形中,已知,,则的值是．10．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】在边长为1的正三角形ABC中,设,则__________．11．【2016届中国人大附中高三上期中检测】在等腰梯形ABCD中,已知,,点E和点F分别在线段BC和CD上,且,,则的值为．12．【2015湖北省重点中学】已知在直角三角形中,,,点是斜边上的一个三等分点,则．

第五章数列问题一：等差数列、等比数列的证明问题翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，主要证明方法有：利用等差、等比数列的定义、运用等差或等比中项性质、反证法、利用通项公式与前项和公式，证明或判断等差（等比）数列即数学归纳法.一：利用等差（等比）数列的定义用定义法判断一个数列是等差数列，常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义；在等比数列中一样有：时，有（常数）；②时，有（常数）．【例1】【2016届广西河池高中高三上第五次月考】在数列中，．（Ⅰ）证明数列成等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和．【小试牛刀】【2016届安徽省马鞍山二中等高三第三次联考】已知数列满足．（1）求证：为等比数列，并求出的通项公式；（2）若，求的前n项和．二：运用等差或等比中项性质是等差数列，是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法．【例2】正数数列和满足：对任意自然数成等差数列，成等比数列．证明：数列为等差数列．【小试牛刀】设数列的前项为，已知，且其中为常数．（Ⅰ）求与的值；（Ⅱ）证明数列为等差数列．三：反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．如： 【例3】设是公比不相等的两等比数列，．证明数列不是等比数列．【小试牛刀】设{an}是公比为q的等比数列．（Ⅰ）推导{an}的前n项和公式；（Ⅱ）设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．四：利用通项公式与前项和公式，证明或判断等差（等比）数列【例4】若是数列的前项和，,则是()A．等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C．等差数列，而且也是等比数列 D.既非等数列又非等差数列利用常规结论，证明或判断等差（等比）数列若数列是公比为的等比数列，则（1）数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；（2）若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列；（3）数列是公比为的等比数列；（4）数列是公比为的等比数列；（5）在数列中，每隔项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为；（6），，等都是等比数列；（7）若成等差数列时，成等比数列；（8）均不为零时，则成等比数列；（9）若是一个等差数列，则正项数列是一个等比数列．若数列是公差为等差数列，则（1）成等差数列，公差为（其中是实常数）；（2），（为常数），仍成等差数列，其公差为；（3）若都是等差数列，公差分别为，则是等差数列，公差为；（4）当数列是各项均为正数的等比数列时，数列是公差为的等差数列；（5）成等差数列时，成等差数列．【小试牛刀】已知正数数列{an}对任意p，q∈N＋，都有ap＋q＝ap＋aq，若a2＝4，则a9＝()A．6B．9C．18 D．20五：运用数学归纳法【例5】数列的前项和记为，已知，．证明：数列是等比数列．【小试牛刀】已知数列满足.（Ⅰ）写出，，，并推测的表达式；（Ⅱ）用数学归纳法证明推测的结论.【迁移运用】1.已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足：Sn＝eq\f(1,8)(an＋2)2，则{an}为（）数列．A.等差B.等比C.常数列D.可能是等差数列也可能是等比数列2.等差数列的前项和为30，前项和为100则它的前项和为（）A．130 B．170 C．210 D．2603.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，n∈N*，则()A．{an}是递增的等比数列B．{an}是递增数列，但不是等比数列C．{an}是递减的等比数列D．{an}不是等比数列，也不单调4.等差数列的公差，，前项和为，则对正整数，下列四个结论中：正确的是（）（1）成等差数列，也可能成等比数列；（2）成等差数列，但不可能成等比数列；（3）可能成等比数列，但不可能成等差数列；（4）不可能成等比数列，也不可能成等差数列；A.（1）（3）B.（1）（4）C.（2）（3）D.（2）（4）5.已知数列的前项和为，，，，其中为常数．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）当为何值时，数列为等差数列？并说明理由．6.设数列的前项和为，已知，，其中.（Ⅰ）求证:是等差数列；（Ⅱ）求证:；（Ⅲ）求证:.7．【2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】设数列满足：.（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）若，且对任意的正整数，都有，求实数的取值范围.8.【2016届陕西省商洛市商南高中高三上第二次模拟】设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an﹣p，其中p是不为零的常数．（1）证明：数列{an}是等比数列；（2）当p=3时，若数列{bn}满足bn+1=bn+an（n∈N*），b1=2，求数列{bn}的通项公式．9.【2016届山东省枣庄八中高三上12月月考】在数列{an}中，已知．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{bn}是等差数列；（3）设数列{cn}满足cn=an+bn，求{cn}的前n项和Sn．10．【2016届宁夏石嘴山三中高三补习班上第三次适应性考试】设数列{an}满足当n＞1时，．（1）求证：数列为等差数列；（2）试问a1a2是否是数列{an}中的项．如果是，是第几项；如果不是，说明理由．11.【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】已知数列的前项和为,若（）,且．（Ⅰ）求证：数列为等差数列；（Ⅱ）设,数列的前项和为,证明:（）．12．【2016届山东省枣庄市三中高三12月月考】已知数列的各项均不为0，其前n项和为，且满足，．（1）求的值；（2）求证是等差数列；（3）若，求数列的通项公式，并求问题二：数列中的最值问题数列中的最值常见题型有：求数列的最大项或最小项、与有关的最值、求满足数列的特定条件的最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等.一：求数列的最大项【例1】已知数列的通项公式为=，求的最大项．【小试牛刀】【2015-2016学年湖南省常德石门一中高二上期中】已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为_____．二：的最值问题【例2】已知数列{an}的前n项和Sn＝－eq\f(1,2)n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8.（Ⅰ）确定常数k，并求an；(Ⅱ)求数列的前n项和Tn.【小试牛刀】【2016届河北省衡水中学高三上学期四调】设向量，（），若，设数列的前项和为，则的最小值为．三：求满足数列的特定条件的最值【例3】【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列是等差数列，若，且它的前n项和有最大值，那么当取得最小正值时，n等于（）A．17B．16C．15D．14【小试牛刀】已知数列的前项和，数列{}满足，且．（Ⅰ）求，；(Ⅱ)设为数列{}的前项和，求，并求满足7时的最大值．四：求满足条件的参数的最值【例4】己知各项均不相等的等差数列的前四项和，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；(Ⅱ)设为数列的前项和，若对恒成立，求实数的最小值．【小试牛刀】已知数列的通项公式为，前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，则常数所能取得的最大整数为.五：实际问题中的最值【例5】为了保障幼儿园儿童的人身安全，国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案，计划若干时间内（以月为单位）在两省共新购1000辆校车．其中甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每月的新购量比上一月增加50％；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，计划以后每月比上一月多新购m辆．（Ⅰ）求经过n个月，两省新购校车的总数S(n)；（Ⅱ）若两省计划在3个月内完成新购目标，求m的最小值．【小试牛刀】某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元.设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（）A.B.C.D.【迁移运用】1.设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是()．A.eq\f(16,3)B.eq\f(13,3)C．4 D．02.等差数列中，，是前n项和且，则当（）时，最大.A.12B.13C．12或13 D．13或143.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是()A．5B．6C．7D．84.数列{an}满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1025的最小n值是()．A．9B．10C．11D．125.在数列{an}中，an＝eq\f(n－\r(2013),n－\r(2014))，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是()A．a1，a50 B．a1，a44 C．a45，a44 D．a45，a506.【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知函数，且，设等差数列的前项和为，若，则的最小值为（）A．B．C．D．7.在正项等比数列{an}中，a5＝eq\f(1,2)，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为________．8.【2016届江苏省盐城市盐阜中学高三上12月月】等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为．9.【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】已知数列满足，，则的最小值为．10.已知等差数列满足：，且，，成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数n，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.11.已知首项为eq\f(3,2)的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设Tn＝Sn－eq\f(1,Sn)(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．12.【2016届上海市七校高三上12月联考】公差不为零的等差数列{an}中，a1、a2、a5成等比数列，且该数列的前10项和为100．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=an﹣10，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．13.【2015北京理20】已知数列满足：，，且，记集合.（1）若，写出集合的所有元素；（2）若集合存在一个元素时3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（3）求集合的元素个数的最大值.14.【2015四川理16】设数列（）的前项和满足，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求使得成立的的最小值.问题三：由复杂递推关系求解数列的通项公式问题递推公式是给出数列的一种重要方法，利用递推关系式求数列的通项时，通常将所给递推关系式进行适当的变形整理,如累加、累乘、待定系数等，构造或转化为等差数列或等比数列，然后求通项.一：用累加法求数列的通项【例1.】【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】在数列中，，，则该数列的通项公式=．【小试牛刀】在数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，有an＝an－1＋2n－1(n≥2)，求数列的通项公式；二：利用累乘法求数列的通项【例2】设是首项为1的正项数列，且，则.【小试牛刀】在数列{an}中，已知a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式为．三：用构造法求数列的通项【例3】【2016届宁夏六盘山高中高三上学期第二次月考】已知数列满足，且=2，则=__________．【小试牛刀】【2016届云南师范大附中高考适应性月考】已知数列满足，，，，则．四．利用与的关系求数列的通项【例4】设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．【小试牛刀】【2016届贵州市兴义市八中高三上第四次月考】已知数列的前项和满足，则__________．五：递推公式为（其中，均为常数）.【例5.】数列：，，求数列的通项公式.【解法一】（待定系数——迭加法）:【解法二】（特征根法）：【小试牛刀】已知数列满足（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列\【迁移运用】1.已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是()A．2n－1B.C．n2D．n2.【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】数列中，，，（，），则．3.数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N＋)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝()A．0B．3C．8 D．114.正项数列{an}满足：a1＝1，a2＝2,2aeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,n＋1)＋aeq\o\al(2,n－1)(n∈N*，n≥2)，则a7＝________.5.在数列{an}中，a1＝1，eq\f(1,12)an＝eq\f(1,4)an－1＋eq\f(1,3)(n≥2)，则{an}的通项公式为．6.已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝eq\f(an,2an＋1)，则其通项公式为________．7．已知数列{an}满足：a1＝1，(n－1)an＝n×2nan－1(n∈N，n≥2)，则数列{an}的通项公式为________．8.在数列中，，则数列的通项通项．9．【2016届重庆市第一中学高三12月月考】已知数列的前n项和为，且．（1）求出数列的通项公式；（2）设数列满足，若对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．10．【2016届江苏省盐城市盐阜中学高三上12月月测】已知{an}的前n项和Sn，an＞0且an2+2an=4Sn+3（1）求{an}的通项公式；（2）若bn=，求{bn}的前n项和Tn．11．【2016届河南省信阳高中高三上第八次月考】已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=n（2﹣Sn），n∈N*，若bn≤λ，n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．（3）设Cn=，Tn是数列{Cn}的前n项和，证明≤Tn＜1．12．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知数列的首项，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．13.【2015湖南文19】设数列的前项和为，已知，，且.（1）证明：；（2）求.14.【2015浙江文17】已知数列和满足，.(1)求与;(2)记数列的前项和为，求.问题四：如何顺畅求解复杂数列的求和问题数列求和数历年高考命题的热点，数列求和的方法取决于其通项公式的形式，基本思路是将其转化为等成数列或等比数列的求和问题进行求解.一、公式法公式法是数列求和的最基本的方法．也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和.利用等比数列求和公式,当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论．【例1】设为等差数列，为数列的前n项和，已知，，为数列的前n项和，求．【小试牛刀】【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】的值为（）A．B．C．D．二、分组法将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般的数列求和问题转化成特殊数列求和问题.运用这种方法的关键是将通项变形.“合项”法是利用加法的交换律和结合律将“不规则和”转化为“规则和”，化繁为简.【例2】【2016届河北省衡水中学高三二调】已知数列中，，且，则数列的前项和为（）A．B．C．D．【小试牛刀】已知数列的通项公式为，数列是以函数的最小正周期为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和.三、裂项相消法此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了．只剩下有限的几项．注意：eq\o\ac(○,1)余下的项前后的位置前后是对称的．eq\o\ac(○,2)余下的项前后的正负性是相反的．常用的裂项公式：【例3】已知数列前项和为，首项为，且，，成等差数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）数列满足，求证：．【小试牛刀】【2016届湖南省长沙明德中学高三上第三次月考】数列1，，，…，的前项和（）A．B．C．D．四、错位相减法若数列是等差数列，数列是等比数列，由这两个数列的对应项的乘积组成的新数列，当求数列的前项和时，常常采用将各项乘以的公比，并向后错一项与原的同次项对应相减的方法.错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.注意：eq\o\ac(○,1)要考虑当公比为1时为特殊情况，eq\o\ac(○,2)错位相减时要注意末项.【例4】已知数列，满足，,，.（Ⅰ）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）令求数列的前项和.【小试牛刀】【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知数列的首项，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．五.数列{|an|}的前n项和问题【例5】在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(Ⅰ)求d，an；（Ⅱ）若d<0，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|.【牛刀小试】【2016届浙江宁波效实中学高三上期中考试】数列的前项和为，则；数列的前10项和．【迁移运用】1.【2016届浙江省余姚中学高三上学期期中】已知数列满足：，且，则的值为（）A．B．C．D．2.【2014年杭州模拟】已知函数f(x)＝x2＋2bx过(1,2)点，若数列的前n项和为Sn，则S2014的值为()A.eq\f(2012,2011)B.eq\f(2010,2011)C.eq\f(2014,2013) D.eq\f(2014,2015)3.已知函数f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2当n为奇数时，,－n2当n为偶数时，))且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于（）A．0 B．100 C．－100 D．102004.【2016届学年江西省新余一中等校高三联考模拟】已知数列的前n项和为，令，记数列的前n项为，则）A．B．C．D．5.【2016届学年江西省新余一中等校高三联考模拟】数列的通项公式是，则该数列的前100项之和为A．B．C．200D．1006.设f(x)＝eq\f(4x,4x＋2)，若S＝f(eq\f(1,2015))＋f(eq\f(2,2015))＋…＋f(eq\f(2014,2015))，则S＝________.7.【2016届甘肃省兰州一中高三12月月考】数列的通项为，前项和为，则=．8.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2012。9.【2016届云南省玉溪市一中高三上学期期中】数列的通项，其前项和为，则为．10.数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．11．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－eq\f(1,2n)，n∈N＋，则：(Ⅰ)a3＝________；（Ⅱ）S1＋S2＋…＋S100＝________.12.【2016届福建省上杭县一中高三12月考】已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，且数列的前项和为，证明：．13.直线ln：y＝x－eq\r(2n)与圆Cn：x2＋y2＝2an＋n交于不同的两点An，Bn，n∈N＋.数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝eq\f(1,4)|AnBn|2.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n－1n为奇数，,ann为偶数，))求数列{bn}的前n项和Tn.14.(山东省青岛市高三3月统一质量检测考试2)在数列中，其前项和为，满足.（Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）设（为正整数）,求数列的前项和.15.在等比数列{an}中，an>0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，又4是a4与a6的等比中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝log2an，求数列{|bn|}的前n项和Sn.问题五数列与不等式的相结合问题数列与不等式的交汇题，是高考数学的常见题型.对数列不等式综合题的解答，往往要求能够熟练应用相关的基础知识和基本技能，同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧.近年数列与不等式交汇题考查点：1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大.3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想.一：最值问题求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值.【例1】设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为______.【小试牛刀】【2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联】已知等差数列的等差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．4B．3C．D．二:恒成立问题求解数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立；（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.【例2】已知正项数列的首项，前项和满足．（Ⅰ）求证：为等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）记数列的前项和为，若对任意的，不等式4恒成立，求实数的取值范围．【小试牛刀】【2016届湖北武汉华中师大第一附中高三上期中】设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为()A.1006B.1007C.1008D.1009三：证明问题【例3】设数列满足，，其中为实数.（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；(Ⅱ)设，证明：；（Ⅲ）设，证明：.【小试牛刀】【2015届江苏省盐城中学高三上学期12月月考】已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，且数列的前项和为，证明：．四：探索性问题数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.【例4】已知等差数列满足：，且、、成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式.（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.【小试牛刀】是否存在一个等比数列同时满足下列三个条件：①且；②；③至少存在一个，使得，，依次构成等差数列？若存在，求出通项公式；若不存在，说明理由.五:新定义题型【例5】【2016届北京市海淀区高三上学期期中考试】对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质．（1）若数列的通项公式为，且具有性质，则t的最大值为；（2）若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a的取值范围是．【小试牛刀】若有穷数列（是正整数），满足，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”.（Ⅰ）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项.（Ⅱ）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？（Ⅲ）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和.【迁移运用】1.【2015浙江理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则（）．A.B.C.D.2.【2015北京理6】设是等差数列，下列结论中正确的是（）.A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则3.设数列是等比数列，则“”是数列是递增数列的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是（）A.若，则数列有最大项B.若数列有最大项，则C.若数列是递增数列，则对任意，均有D.若对任意，均有，则数列是递增数列5．【2016届福建省上杭县一中高三12月】函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6．【2015-2016学年辽宁省鞍山市一中等校高二上期末】设各项均为正数的数列的前项之积为，若，则的最小值为（）．A．7B．8C．D．7.【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知数列满足：，则（）A．B．C．D．8．【2016届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中】已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，，且，则下列结论成立的是（）A．B．C．D．9．【2016届宁夏银川一中高三上学期第三次月考】已知数列的通项公式为=，其中a、b、c均为正数，那么与的大小是（）A．>B．<C．=D．与n的取值有关10.【2015届江苏省泰兴市高三上学期期中考试】已知，设为数列的最大项，则．11.已知数列和满足，若为等比数列，且.（Ⅰ）求与；（Ⅱ）设，记数列的前项和为()求；()求正整数，使得对任意，均有.12.在平面上有一点列，，…，，…，对每个自然数，点位于函数的图象上，且点、点与点构成一个以为顶点的等腰三角形.（Ⅰ）求点的纵坐标的表达式；（Ⅱ）若对每个自然数，以，，为边长能构成一个三角形，求的取值范围；（Ⅲ）设.若取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，求数列的最大项的项数.13.设（，），（，）是函数的图象上的任意两点．（1）当时，求+的值；（2）设，其中，求（3）对应（2）中，已知，其中，设为数列的前项和，求证.14.【2016届辽宁省大连市八中高三12月月考】已知数列中，函数．（1）若正项数列满足，试求出，，，由此归纳出通项，并加以证明；（2）若正项数列满足（n∈N*），数列的前项和为Tn，且，求证：．问题六：数列中探索性问题近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的探索性问题，这类问题不仅考查学生的探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间，而这类问题有下列三类题型：规律探索性问题；条件探索性问题；结论探索性问题.现将这三类问题的解法总结如下，供同学们学习时参考.一：条件探索性问题对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件．另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答．【例1】【2016届江苏省扬州中学高三12月月考】已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数k，使成等比数列，若数列的公差为d，求d的所有可能取值之和．【小试牛刀】数列满足：.（Ⅰ）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是；（Ⅱ）求的取值范围，使数列是单调递增数列.二：结论探索性问题【例2】【2016届江苏省清江中学高三上测评】已知数列中，（为非零常数），其前n项和满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，且，求的值；（3）是否存在实数，使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？若存在，分别求出与的取值范围；若不存在，请说明理由．【小试牛刀】从数列中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列的一个子列.（Ⅰ）写出数列的一个是等比数列的子列；（Ⅱ）若是无穷等比数列，首项，公比且，则数列是否存在一个子列为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论.三：存在性探索问题通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．【例3】【2016届江西省南昌市二中高三上第四次考试】设等差数列的前项和为，数列的前项和为满足（Ⅰ）求数列的通项公式及数列的前项和；（Ⅱ）是否存在非零实数，使得数列为等比数列？并说明理由【小试牛刀】在等差数列和等比数列中，，，是前项和．（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；（Ⅲ）是否存在正实数，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中？若存在，求出一个可能的的值，若不存在，请说明理由．【迁移运用】1.已知数列是首项为，公差为1的等差数列，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围_______.2.已知数列的通项公式为，前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，则常数所能取得的最大整数为.3.设等差数列满足公差,,且数列中任意两项之和也是该数列的一项.若，则的所有可能取值之和为_________________.4．【2016届江苏省南通市石庄高中高三上第三次调研】已知非零数列{an}满足a1=1，anan+1=an﹣2an+1（n∈N*）．（1）求证：数列是等比数列；（2）若关于n的不等式＜m﹣3有解，求整数m的最小值；（3）在数列中，是否存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤6），使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的r、s；若不存在，请说明理由．5．【2015-2016学年山东省枣庄市三中10月学情调查】数列满足（）,（1）证明为等差数列并求；（2）设，数列的前n项和为，求；（3）设，，是否存在最小的正整数使对任意，有成立？设若存在，求出的值，若不存在，说明理由．6．【2016届福建省厦门一中高三上学期期中】已知等比数列的前项和为，成等差数列，且（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求，并求满足的值．7．【2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联考】已知数列（1）若，对于任意，不等式恒成立，求的取值范围（2）求证：()8．【2016届山东师大附中高三上学期第三次模拟】已知数列的前项和，数列满足．（1）求；（2）设为数列的前项和，求，并求满足时的最大值．9.在等差数列中，已知，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，设数列的前项和为，试比较与的大小．10.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1＝an＋2an－1(n≥2)．（Ⅰ）设bn＝an＋1＋λan，是否存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn.11.等差数列的公差为，且．若设是从开始的前项数列的和，即，，如此下去，其中数列是从第开始到第)项为止的数列的和，即．（Ⅰ）若数列,试找出一组满足条件的,使得：；

（Ⅱ）试证明对于数列，一定可通过适当的划分，使所得的数列中的各数都为平方数；（Ⅲ）若等差数列中．试探索该数列中是否存在无穷整数数列,使得为等比数列,如存在,就求出数列；如不存在，则说明理由．

第六章不等式问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题1不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分．解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法．下面我就以近几年高考试题为例加以剖析．1．1函数性质法一、一次函数——单调性法给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图像（线段）（如右下图）可得上述结论等价于（1）或（2）可合并定成同理，若在内恒有，则有例1．若不等式对满足的所有都成立，求的范围．二、二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解有以下几种基本类型：类型1：设（1）上恒成立；（2）上恒成立．类型2：设（1）当时，上恒成立上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立例2．已知不等式对任意实数恒成立．则取值范围是（）A．B．C．D．例3．已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．三、其它函数：恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）．例4．（07年重庆卷理20)已知函数在处取得极值，其中，为常数．（1）试确定，的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．例5.（08天津文21）设函数，其中．（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．（节选）例6.（09年全国卷=2\*ROMANII文21）设函数，其中常数．（=2\*ROMANII）若当时，恒成立，求的取值范围．（节选）1．2分离参数法——极端化原则若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式（，为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或)，得的取值范围．适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．例7.（2013新课标卷Ⅰ理11）已知函数，若||≥，则的取值范围是...[-2,1].[-2,0]例8.（07年山东卷文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是．例9.（09年山东卷文21）已知函数，其中．（1）当满足什么条件时，取得极值?（2）已知，且在区间上单调递增，试用表示出的取值范围．例10．（2010天津高考理16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是．1．3主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．例11.（07辽宁卷文科22)已知函数，，且对任意的实数均有，．(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)若对任意的，恒有，求的取值范围．例12．(08安徽文科20)已知函数，其中为实数．（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．（节选）1．4数形结合——直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为（或）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．例13.(07安徽理科3)若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）(A)(B)(C)（D）例14.若不等式在内恒成立，求实数的取值范围．例15．若不等式对于任意∈都成立，求的取值范围．1．5消元转化法例16．已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若，若对于所有的恒成立，求实数t的取值范围．2不等式能成立问题的处理方法若在区间上存在实数使不等式成立，则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立，则等价于在区间上的．注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别．从集合观点看，含参不等式在区间上恒成立，而含参不等式在区间上能成立至少存在一个实数使不等式成立．例17．若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是．例18．已知函数存在单调递减区间，求的取值范围3不等式恰好成立问题的处理方法例19．已知当的值域是，试求实数的值．例20．已知，，⑴若存在，使得，求实数的取值范围；⑵若存在，使得，求实数的取值范围；⑶若对任意，恒有，求实数的取值范围；⑷若对任意，恒有，求实数的取值范围；⑸若对任意，存在，使得，求实数的取值范围；⑹若对任意，存在，使得，求实数的取值范围；⑺若存在，使得，求实数的取值范围；⑻若存在，使得，求实数的取值范围.【迁移应用】1．【2016届山东省枣庄市三中高三12月月考】若存在正数使成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．2．【2016届浙江省余姚中学高三上学期期中】设，在上恒成立，则的最大值为（）A．B．C．D．3.设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（）A．B． C．D．4.设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是（）A．B．C．2D．45.函数，当时，恒成立，则的最大值是（）A．3B．C．4D．6.集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是()（A）, （B）,（C）, （D）,7．【湖南湘中名校2014届高三上学期第一次大联考数学8】已知，若对任意的，存在，使，则实数m的取值范围是()A． B． C． D．8．【2016届湖南省常德市一中高三上第五次月考】已知，若恒成立，则实数的取值范围是________．9．【2016届浙江省富阳市二中高三上学期第二次质量检测】若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是．10.若函数对任意的恒成立，则．11.若函数，满足对任意实数、，当时，，则实数的取值范围为.12若对满足条件的正实数都有恒成立，则实数a的取值范围为.13对于在区间[a，b]上有意义的两个函数，如果对于区间[a，b]中的任意x均有，则称在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，若函数与在区间[a，b]上是“密切函数”，则的最大值为．14已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值.(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.(3)求证:对一切x∈(0,+∞),都有xlnx>.15已知二次函数若对于任意,恒有成立，不等式的解集为A.(1)求集合A；(2)设集合，若集合B是集合A的子集，求的取值范围.16．已知实数，且，若恒成立.（1）求实数m的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数x的取值范围.17.已知函数，函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若对任意,均存在,使得成立，求实数的取值范围．18.已知函数，，.（Ⅰ）当时，若对任意恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当时，求函数的最小值.

问题二线性规划中的参数问题简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域