选修2-2-数系的扩充和复数的概念课件

5.1数系的扩充和复数的概念选修2-2-数系的扩充和复数的概念历史回顾

数，是数学中的基础概念，也是人类文明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。一、数系的扩充自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前。

自然数自然数正整数零历史回顾负数是“欠”出来的.它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的。我国三国时期数学家刘徽首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则.刘徽（公元250年前后）自然数正整数零负整数整数负数自然数集整数集历史回顾有理数（分数）分数（有理数）是“分”出来的。早在古希腊时期，人类已对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数。自然数正整数零负整数整数分数有理数整数集有理数集历史回顾无理数自然数正整数零负整数整数分数有理数边长为1的正方形的对角线长度为多少？11？无理数是“推”出来的。公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”。“无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑.无理数实数有理数集实数集历史回顾复习回顾从社会生活来看为了满足生活和生产实践需要，数的概念在不断地发展.。从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的。自然数集整数集有理数集实数集从N到R经历了几次扩充？每次扩充的主要原因是什么？每次扩充的基本原则是什么？复习引入数集的每次扩充都是为了解决在原有数集中某种运算不能实施的矛盾。复习引入实数集能否继续扩充呢?数系每次扩充的基本原则：（1）增加新元素；（2）原有的运算性质仍然成立；（3）新数系能解决旧数系中的矛盾.正数与负数，有理数与无理数，都是具有“实际意义的量”，称之为“实数”，构成实数系统。由于实数的局限性，导致问题出现矛盾的结果。

数学家们预测，在实数范围外还有一类新数存在，即还有比实数集更大的数系。探究新知

问题1、若，则对此你有什么困惑？对于一元二次方程没有实数根．我们知道：

我们如何将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？思考？引入一个新数：满足探究新知探究新知

现在我们就引入这样一个数

i

，把

i

叫做虚数单位，并且规定：

（1）i2

1；

（2）实数可以与

i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。1.虚数单位i与实数进行四则运算，可以形成一般形式的数：a＋bi（a，b∈R）

把形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，记作C.2.复数集用描述法表示:C＝{a＋bi|a，b∈R}新课解读二、复数的概念如复数z＝－3i的实部和虚部分别是：实部为,虚部为－3.实部通常用字母

z

表示，即虚部其中称为虚数单位。3、复数的代数形式：新课解读（1）对于复数z＝a＋bi（a，b∈R），当a，b满足什么条件时，z为实数？为虚数？为纯虚数？当b＝0时，z＝a为实数;当b≠0时，z叫做虚数;当a＝0且b≠0时，z叫做纯虚数.复数a+bi（2）复数集C和实数集R之间有什么关系？师生共研讨论4.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？虚数集实数集纯虚数集新课解读复数集5.复数相等：两个实数可以相等，两个复数也可以相等，并且规定：

a＋bi＝c＋di（a，b，c，d∈R）的充要条件是a＝c且b＝d.由此a＋bi＝0的充要条件是:

a＝b＝0新课解读

不能！虚数不能比较大小.6.两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？初试牛刀1.说明下列数是否是虚数，并说明各数的实部与虚部:典例分析三、复数的概念示例例1.实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？关键:m的取值解:

(1)当m-1=0，即m=1时，复数z是实数．(2)当m-1≠0，即m≠1时，复数z是虚数．(3)当m+1=0，且m-1≠0，即m=-1时，复数z是纯虚数．典例分析三、复数的概念示例例2.设复数z1＝(x－y)＋(x＋3)i，

z2＝(3x＋2y)－yi，若z1＝z2，求实数x，y的值.

x＝－9，y＝6解：x－y=3x＋2yx＋3=－y巩固练习1.下列命题：（1）若a、b为实数，则z=a+bi

为虚数（2）若b为实数，则z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则z=a一定不是虚数其中真命题的个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3巩固练习2.当m为何实数时，复数Z=m2+m-2+(m2-1)i是(1)实数(2)虚数（3)纯虚数(4)0m=±

1m≠±1m=-2m=1课堂小结1.虚数单位的引入：i2＝－1

今后在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都在实数集内解决问题.2.复数的相关概念：复数的代数形式z=a＋bi（a，b∈R）复数的实部、虚部虚数、纯虚数复数相等：a+bi

=c+