2021年中考数学12 二次函数（解析版）(一)

专题12二次函数

专题常识回顾

1.二次函数的概念：一样地，自变量X和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a/0,a>b、c为

常数)，则称y为x的二次函数。抛物线)，=。/+以+。3力,。是常数，。。0)叫做二次函数的一样

式。

2,二次函数尸ax2+bx+c(aW0)的图像与性质

b

(1)对称轴：尤=----

2a

(2)极点坐标：(-二h,4ac—b~)

2a4a

(3)与y轴交点坐标(0,c)

(4)增减性：

当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大;

当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小。

3.二次函数的解析式三种形式。

(1)一样式y=ax°+bx+c(aWO).

已知图像上三点或三对x、y的值，平常挑选一样式.

(2)极点式y=a(x-h)2+k

已知图像的极点或对称轴，平常挑选极点式。

(3)交点式y=a(x-xt)(x-x2)

已知图像与x轴的交点坐标再、为，平常选用交点式。

4.根据图像判断a,b,c的符号

(1)a确定启齿方向：当a>0时，抛物线的启齿向上；当a<0时，抛物线的启齿向下。

(2)b----对称轴与a左同右异。

(3)抛物线与y轴交点坐标(0,c)

5.二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax?+bx+c与x轴交点的横坐标xi,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根。

抛物线y=ax2+bx+c,当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0

6-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；

4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；

h2-4ac<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。

6.函数平移规律：左加右减、上加下减.图像平移步骤

(1)配方为：y=a(x-h)2+k,确定极点(h,k)

(2)对x轴，左加右减：对y轴，上加下减。

7.二次函数的对称性

二次函数是轴对称图形，有如许一个结论：当横坐标为XLX2其对应的纵坐标相等，那么对称轴

专题典型题考法及解析

【例题1](2021湖北荆州)二次函数)，=-2?-4x+5的最大值是

【答案解析】7

【试题解答】y=-2?-4x+5=-2(x+1)2+7,

即二次函数y=-/-4.r+5的最大值是7,

故答案为：7.

【例题2】（2021广西贺州）已知抛物线了=以2+区+c（〃w0）的对称轴是直线x=l,其部分图象如图

所示，下列说法中：①底?<0；②a-/?+cv0；③3a+c=0；④当一lvxv3时，y>0,对的是（填

写序号）.

【答案解析】①③④

【试题解答】根据图象可得：QVO.c>0,

对称轴：x=—=1,

2a

b=-2a,

v0、

.,.b>0,

/.abc<0,故①正确；

把工=一1代入函数关系式y:方?+"+c中得：y=〃一Z?+c,

由抛物线的对称轴是直线％=1,且过点（3,0）,可得当x=-l时，>=0,

.,.a—h+c=0,故②错误；

,.,/?=-2^,

ci—（~2a）+c=0、

即：3a+c=0,故③正确；

由图形可以直接看出④正确.

故答案为：①③④.

【例题3]（2021贵州省毕节市）某山区不仅有瑰丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫

奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增添村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试

销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：

x（元）152030…

y（袋）252010

若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：

（1）日销售量y（袋）与销售价元）的函数关系式；

（2）假定后续销售情况与试销阶段结果一样，要使这种土特产逐日销售的利润最大，每袋的销售价

应定为几元？逐日销售的最大利润是几元

【答案解析】见解析。

【试题解答】根据表格中的数据，操纵待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价、（元）的函数

关系式即可；

操纵每件利润X总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可.

（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价元）的函数关系式为y=4户。得

产3+。解得无=-1

故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：尸-产40

（2）依题意，设利润为m元，得

（x-10）（-x+40）=-x+50^+400

整理得w=-（%-25）2+225

■:-1<0

，当x=2时，"，取得最大值，最大值为225

故要使这种土特产逐II销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，逐II销售的最大利润是225元.

专题典型练习题

一、挑选题

1.（2021广西河池）如图，抛物线y=o?+饭+。的对称轴为直线％=1,则下列结论中，错误的是（

）

A.ac<0B.b2—4«c>0C.2a—b=0D.a—b+c=O

【答案解析】C.

【试题解答】由抛物线的启齿方向判断。与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的关系，然

后根据对称轴及抛物线与无轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

A.由抛物线的启齿向下知a<0,与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得c>0,是以oc<0.故

本选项正确，不吻合题意；

夕由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac>0,故本选项正确，不吻合题意；

C由对称轴为x=-2=i.得2a=-b,即2a+b=0,故本选项错误，吻合题意；

,2a

。.由对称轴为x=l及抛物线过(3,0),可得抛物线与x轴的另外一个交点是(-1,0),所以a-b+c=0,

故本选项正确，不吻合题意.故选：C.

2.(2021哈尔滨)将抛物线y=2/向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物

线为()

A.y=2(x+2)2+3B.y=2(x-2)2+3

C.y=2(x-2)2-3D.y=2(x+2)2-3

【答案解析】B

【试题解答】将抛物线y=2?向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解

析式为y=2(x-2)2+3,故选8.

3.(2021湖北咸宁)已知点A(-l,m),8(1,m),C(2,m-n)(n>0)在同一个函数的图

象上，这个函数大概是()

A.y=xB.y=-1C.y=/D.y=-x1

【答案解析】D

【试题解答】''A(-1,m),B(1,m),

.,.点A与点8关于y轴对称；

因为y=x,旷=-1的图象关于原点对称，是以选项A、8错误;

/-m-〃<小；

由8(1,，")，C(2,m-n)可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，

对于二次函数只有Z<0时，在对称轴的右侧，y随X的增大而减小，

，。选项正确。

4.(2021年陕西省)已知抛物线y=%2+(〃2+l)x+〃2,当x=l时，y〉0,且当x<-2时，y的值

随x值的增大而减小，则机的取值范畴是().

A.m>—1B.m<3C.—1<m<3D.3<m<4

【答案解析】C

【试题解答】根据"当x=l时，y>0"，得至iJ一个关于根不等式，在根据抛物线y=/+(加+l)x+加,

可知抛物线启齿向上，再在根据“当x<-2时，y的值随x值的增大而减小”，可知抛物线的对称

轴在直线％=—2的右侧大概是直线x=—2,从而列出第二个关于m的不等式，两个不等式联立，即

可解得答案.

因为抛物线y=/+(,〃+l)x+m,

所以抛物线启齿向上.

因为当x=l时，y>(),

所以1’+（加+l）x1+m>0①,

因为当x<—2时，y的值随x值的增大而减小，

所以可知抛物线的对称轴在直线％=—2的右侧大概是直线x=-2,

联立不等式①，②，解得一

5.(2021广西梧州)己知加>0,关于x的一元二次方程(x+l)(x—2)=0的解为%,%(占<々)，

则下列结论对的是()

XJ

A.x]<-1<2<2B.-l<x)<2<X2C.-1<X<x2<2D.x]<-\<x2<2

【答案解析】A

【试题解答】关于x的一元二次方程(x+l)(x-2)-a=0的解为％,x2,可以看作二次函数

m=(x+l)(x—2)与x轴交点的横坐标，

;二次函数加=(x+l)(x—2)与x轴交点坐标为(-1,0),(2,0),如图：

当机>0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时犬<-1,或x>2；

又X1<x2

.'.xi=7,x2=2；

/.Xy<—1<2<X2,

6.(2021四川泸州)已知二次函数y=(x-a-1)(x-a+1)-34+7(其中x是自变量)的图象与x

轴没有公共点，且当x<-l时，)，随x的增大而减小，则实数。的取值范畴是()

A.a<2B.a>-1C.-l<aW2D.-1«2

【答案解析】。

【试题解答】y=(.x-a-1)(x-a+1)-3a+~l—j^-2ax+a2-3«+6,

•.•抛物线与x轴没有公共点，

/.△=(-2a)2-4(a2-3a+6)<0,解得a<2,

•••抛物线的对称轴为直线x=-受=a,抛物线启齿向上，

而当x<-1时，y随x的增大而减小，

■1,

实数a的取值范畴是-lWa<2.

7.(2021四川省雅安市)在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2)2+1,下列说法中错误的是

()

A.y的最小值为1

B.图像极点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2

C.当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x22时，y的值随x值的增大而减小

D.它的图像可以由y=x2的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到

【答案解析】C

【试题解答】根据二次函数的性质进行判断，由二次函数y=(x-2)2+1,得它的极点是(2,1),对

称轴为直线x=2,当x=2时，函数的最小值是1,图像启齿向上，当x22时，y的值随x值的增大

而增大，当x<2时;y的值随x值的增大而减小，可由y=x2的图像向右平移2个单位长度，再向上

平移I个单位长度得至I」，所以C是错误的，故选C.

二、填空题

8.(2021黑龙江哈尔滨)二次函数y=—(x—6尸+8的最大值是

【答案解析】8

【试题解答】-1<0,：.)，有最大值，

当x=6时，y有最大值8.故答案为8.

9.(2021黑龙江大庆)如图抛物线y=—x2(p>0)，点F(0,p)，直线l:y=-p,已知抛物线上的点到点F的

4P

间隔与到直线1的间隔相等，过点F的直线与抛物线交于A,B两点,垂足分别为A,,Bi,

毗邻AF,BiF,AQ,BQ,若A|F=a,B1F=b,则△AQBi的面积=(只用a,b示意).

【答案解析】于

【试题解答】先由边相等得到/AFBi=90°,进而得到AB的长度，由等面积法得到点F到AB的

间隔，进而得到△AQBi的高，求出三角形面枳.

1on_yy

设NA=x,则NB=180°-X,由题可知，AA]=AF,BBi=BF,所以NAFA]=^—ZBFBi=-,所以

22

NAFBi=90°,所以△A】FBi是直角三角形，A[B[=>/△+〃，所以点F到AB的间隔为,ab,因

为点F(0,p),直线I:y=-p,△AiOBi的高为产，所以△AiOBj的面积=

2y1a2+b2

・y]a2+b2•ab_ab

22\lcr+b24

10.(2021江苏镇江)已知抛物线>=加+4以+4o+l(〃W0)过点A(m,3),B(几,3)两点，若线段

A8的长不大于4,则代数式〃+。+1的最小值是

_7

【答案解析】--

4

【试题解答】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据线段A8的长不大于4.求出a的取值

范畴，再操纵二次函数的增减性求代数式/+”+|的最小值.

,_y=ar+4ar+4a+1=a(x+2)2+1,

.该抛物线的极点坐标为（-2,1）,对称轴为直线x=-2.

•抛物线过点A（肛3）,B（n,3）两点,

22

•当y=3时，a(x+2)2+1=3,(x+2)2=—,当〃>0时，x=~2±

aa

22

.A(—2—J—,3),B(—2+.—,3).

aa

诙2小

•线段A8的长不大于4,

・2卜

♦。小一.

2

13

•/+〃+1=(〃+—)2+—,

24

1137

'・当〃=—,(/+〃+])疝|]=(〃+—)2+—=—

2244

11.（2021江苏镇江）已知抛物线>=加+4办+4。+1（"0）过点A（九3）,8（〃,3）两点，若线段/W的长

不大于4,则代数式T+a+1的最小值是

【答案解析】Z

【试题解答】・抛物线y=尔+4ax+44+l（〃工0）过点4（租,3）,6（〃,3）两点,

m+n4a小

----=---=—2

22a

•.•线段A3的长不大于4,

.'.4«+1..3

1

Cl..；-

2

:.cr+a+\fi'J最小值为：（:）2+：+l=:；

故答案为

4

12.（2021内蒙古赤峰）二次函数>=4/+以+,（aWO）的图象如图所示，下歹U结论:①b>0；②〃-b+c

=0;③一元二次方程0?+以+°+1=0（”关0）有两个不相等的实数根；④当x<-1或x>3时，y>0.±

述结论中对的是.（填上所有正确结论的序号）

【答案解析】②③④

【试题解答】由图可知，对称轴x=l,与x轴的一个交点为（3,0）,

.”=-2°,与x轴另一个交点（-1,0）,

,6<0；

•••①错误；

②当x=-1时，y=0,

••a-0+c=0；

②正确；

③一元二次方程aF+〃x+c+l=0可以看作函数与y=-1的交点,

由图象可知函数-1有两个差别的交点，

...一元二次方程ar2+/>x+c+l=0（aWO）有两个不相等的实数根；

.•.③正确；

④由图象可知，y>0时，xV-l或x>3

...④正确；

故答案为②③④.

三、解答题

13.（2021北京市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y二奴,+云--与y轴交于点A,将点A向右平移

2个单位长度，得到点B,点B在抛物线上.

（1）求点B的坐标（用含。的式子示意）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点%［，-工），Q（2,2）.若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，联合函数图象，求a的取值范

2a

畴.

【答案解析】见解析。

【试题解答】先求出A点的坐标为由平移规律求得点B的坐标；由A、B两点的纵坐标

一样，得A、B为对称点进而求出抛物线对称轴方程；根据a的符号分类会商解析解答即可.

（1）;当x=0时，抛物线y=-=--；

aa

.•.抛物线与y轴交点A点的坐标为（°，一：），

...由点A向右平移2个单位长度得点B的坐标为即3（2,-5.

（2）•••由两点的纵坐标一样，得A、B为对称点....抛物线对称轴方程为

；即

2

直线x=l.

（3）①当a>0时，-l<0.解析图象可得,根据抛物线的对称性，抛物线不大概同时经由点A和点P；

a

也不可

能同时经由点B和点Q,所以线段PQ和抛物线没有交点.

②当a<0时，-1>0.解析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不大概同时经由点A和点P；但

a

当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰好有一个公共点，此时-142.即

综上所述：当时，抛物线与线段PQ恰好有一个公共点.

14.（2021辽宁本溪）工厂制作一种火爆的网红电子产物，每件产物成本16元，工厂将该产物进行网

络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（X为正整数）之间满足如图所示的函数关系.

（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范畴；

（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为几件时，工厂获利最大？最大利润是几？

【试题解答】本题主要考查一次函数和二次函数的应用.

卖力察看图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值所有是整数；根据利润=（售价-成本）

X件数，列出利润的表达式，求出最值.

（1）当0<xW20且X为整数时，产40；

当20VxW60且x为整数时，Z=--A4-50；

2

当x>60且x为整数时，尸20；

（2）设所获利润犷（元），

当0<xW20且x为整数时，尸10,

.,.（^（40-16）X20=480元，

当0cxW20且x为整数时，尸40,

...当20〈后60且x为整数时，Z=--A+50,

2

）r=（厂16）A=（—广50-16）x,

2

12

vr—x+34%,

2

1、-

二«=——（六34）2+578,

2

1

一-<0,

2

二当下34时，w最大，最大值为578元.

答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元.

15.（2021•湘潭）湘潭政府工作陈诉中强调，2021年着重推进村落振兴战略，做优做响湘莲等特色农产

物品牌.小亮调查了一家湘潭特产店A、8两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/

盒，售价120元/盒，8种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均天天的销

售总额为2800元，平均天天的总利润为1280元.

（1）求该店平均天天销售这两种湘莲礼盒各几盒？

（2）小亮调查发觉，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒.若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A

种湘莲礼盒降价几元/盒时，这两种湘莲礼盒平均天天的总利润最大，最大是几元？

【答案解析】见解析。

【试题解答】根据题意，可设平均天天销售A礼盒x盒，8种礼盒为），盒，列二元一次方程组即可解题;

根据题意，可设A种礼盒降价元/盒，则A种礼盒的销售量为：（10+^）盒，再列出关系式即可.

（1）根据题意，可设平均天天销售A礼盒x盒，B种礼盒为y盒，

则有［（12。-72）x+（8（M。）尸128（解得卜=10

1120x+80y=2800|y=20

故该店平均天天销售A礼盒10盒，B种礼盒为20盒.

（2）设A种湘莲礼盒降价元/盒，利润为W元，依题意

总利润W=（120-^-72）（10+苧+800

化简得W=1/〃2+6"?+1280=-—（/«-9）2+1307

33

Va=-A<0

3

二当山=9时，取得最大值为1307,

故当A种湘