2022年浙江省宁波市余姚市中考数学一模试卷

第1页（共1页）2022年浙江省宁波市余姚市中考数学一模试卷一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）下列各数中，最小的数为（）A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．2．（4分）下列运算正确的是（）A．a3+a3＝a6 B．（3a）2＝6a2 C．a2•a3＝a5 D．a4÷2a＝2a33．（4分）2022年9月即将召开的杭州亚运会足球项目比赛场地位于杭州上城区体育中心体育场，它的总建筑面积约为16000平方米，16000用科学记数法表示为（）A．1.6×104 B．16×103 C．0.16×105 D．1.6×1034．（4分）下列图形的三视图中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（）A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．长方体5．（4分）为了参加市中学生篮球赛，某校一支篮球队购买了10双运动鞋，尺码如表：尺码（cm）2525.52626.527购买量（双）22231则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（）A．25.5cm，26cm B．26.5cm，26cm C．26.5cm，25.5cm D．26cm，26cm6．（4分）已知点P（m+1，2﹣3m）在第二象限，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＜ C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜7．（4分）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（）A．x＝ B．x＝3 C．x＝﹣ D．x＝π8．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，中线AD，BE相交于点F、EG∥BC，交AD于点G．GF＝2．则BC的长为（）A．12 B．16 C．20 D．249．（4分）已知A，B两点的坐标分别为（2，﹣3），（0，﹣1），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点（P在Q的左侧）．若x1≤m＜x2恒成立，则a的取值范围为（）A．a＜﹣5 B．a≤﹣3 C．﹣5＜a＜0 D．﹣3≤a＜010．（4分）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形PMNQ，若AB：AD＝3：5，则下列BM：MC的值能达成这一翻折的是（）A．1：4 B．2：5 C．1：9 D．4：9二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）分解因式：2x2﹣8＝．12．（5分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．13．（5分）已知x2﹣2x＝3，则3x2﹣6x﹣4的值为．14．（5分）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为cm2．（结果保留π）15．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝10，BC＝24，点P是线段CD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，CP的长为．16．（5分）如图，直线y＝﹣x+2交x轴于点A、交y轴于点B，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且BC⊥AB，连结AC交反比例函数图象于点D，若CD＝2DA，则k的值为．三、解答题（本大题有8小题，共80分）17．（8分）（1）化简：（a+1）（5﹣a）+（a﹣2）2；（2）计第：|﹣2|+（）﹣1﹣（﹣2022）0．18．（8分）如图，在7×13的方格纸中，A，B是方格纸中的两格点，请按要求作图．（1）在图1中，以AB为一边作一个矩形ABCD，要求C，D两点也在格点上．（2）在图2中，以AB为一边作一个菱形ABEF，要求E，F两点也在格点上．19．（10分）国家教育部规定：初中生睡眠时间应达到9个小时，某中学对全体初中生就睡眠的时长进行抽样调查，调查结果共分为四个层次：A．8小时以下；B．8～9小时；C．9～10小时；D．10小时以上．根据调查统计结果绘制以下两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题：（1）本次参与调查的学生共有多少人？并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中层次B的圆心角度数；（3）睡眠时间8小时以下的3名同学中有一名男生和二名女生，若心理老师想从这3名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学是一名男生和一名女生的概率．20．（8分）如图，某渔船向正东方向以10海里/时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东的60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．（1）B处离岛C有多远？（2）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（3）如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？参考数据：≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259．21．（10分）“一方有难，八方支援”．疫情期间，某志愿者组织筹集两车物资送往疫情严重地区．图中的折线、线段分别表示甲，乙两车所走的路程y甲（千米），y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：（1）乙车的速度为千米/小时，甲车由于发生故障，在途中停留了小时．（2）甲车排除故障后立即提速10千米/小时赶往目的地，求甲车原来的速度．（3）排除故障后甲车与乙车第一次相遇时，距出发点的路程为多少千米？22．（10分）已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．23．（12分）若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍，我们把这个三角形叫做和谐三角形．（1）已知△ABC是和谐三角形，AB＝3，BC＝4，请直接写出所有满足条件的AC的长．（2）在△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2，连结AD，若△ABD为和谐三角形，求AC的长．（3）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，且∠DBC＝∠A，E为AB上一点，满足AE：EB＝3：2，连结DE，求证：△AED为和谐三角形．24．（14分）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，AD⊥BC于D，E为AB边上的点，过A、D、E三点的⊙O交AC于F，连结DE，DF．（1）求证：AE＝CF．（2）若tan∠ADF＝3，求⊙O的面积．（3）如图2，点P为上一动点，连结PD，PE，PF．①若P为的中点，设AE为x，△PDF的面积为S，求S关于x的函数表达式．②在点P运动过程中，试探索PD，PE，PF之间的数量关系，并证明．

2022年浙江省宁波市余姚市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）下列各数中，最小的数为（）A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．【解答】解：∵﹣3＜﹣1＜2，∴最小的数是﹣3，故选：C．2．（4分）下列运算正确的是（）A．a3+a3＝a6 B．（3a）2＝6a2 C．a2•a3＝a5 D．a4÷2a＝2a3【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故A不符合题意；B、（3a）2＝9a2，故B不符合题意；C、a2⋅a3＝a5，故C符合题意；D、a4÷2a＝a3，故D不符合题意；故选：C．3．（4分）2022年9月即将召开的杭州亚运会足球项目比赛场地位于杭州上城区体育中心体育场，它的总建筑面积约为16000平方米，16000用科学记数法表示为（）A．1.6×104 B．16×103 C．0.16×105 D．1.6×103【解答】解：16000＝1.6×104，故选：A．4．（4分）下列图形的三视图中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（）A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．长方体【解答】解：A．圆锥的主视图和俯视图都是等腰三角形，俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；B．球的三视图都为圆，故本选项符合题意；C．圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；D．长方体是主视图和俯视图都是矩形，左视图是正方形，故本选项不合题意；故选：B．5．（4分）为了参加市中学生篮球赛，某校一支篮球队购买了10双运动鞋，尺码如表：尺码（cm）2525.52626.527购买量（双）22231则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（）A．25.5cm，26cm B．26.5cm，26cm C．26.5cm，25.5cm D．26cm，26cm【解答】解：数据26.5出现了3次最多，这组数据的众数是26.5，共10个数据，从小到大排列此数据处在第5、6位的数都为26，故中位数是26．故选：B．6．（4分）已知点P（m+1，2﹣3m）在第二象限，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＜ C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜【解答】解：∵点P（m+1，2﹣3m）在第二象限，∴，解得m＜﹣1，故选：A．7．（4分）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（）A．x＝ B．x＝3 C．x＝﹣ D．x＝π【解答】解：当x＝时，x2＝（）2＝3，3不是无理数，则命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题，故选：A．8．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，中线AD，BE相交于点F、EG∥BC，交AD于点G．GF＝2．则BC的长为（）A．12 B．16 C．20 D．24【解答】解：∵中线AD，BE相交于点F，∴点F是△ABC的重心，BD＝CD，∴AF＝2FG，∵EF∥BC，∴△GEF∽△BDF，BD＝CD＝2EG，∴，∴DF＝2GF＝4，∴AF＝2DF＝8，∴AD＝DF+AF＝4+98＝12，∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∴BC＝2AD＝24，故选：D．9．（4分）已知A，B两点的坐标分别为（2，﹣3），（0，﹣1），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点（P在Q的左侧）．若x1≤m＜x2恒成立，则a的取值范围为（）A．a＜﹣5 B．a≤﹣3 C．﹣5＜a＜0 D．﹣3≤a＜0【解答】解：由题意，抛物线的顶点（1，2），又∵线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点．∴开口向下，∴a＜0，当抛物线y＝a（x﹣1）2+2经过点B（0，﹣1）时，﹣1＝a+2，∴a＝﹣3，观察图象可知，当抛物线与线段AB没有交点或经过点B时，满足条件，∴﹣3≤a＜0．故选：D．10．（4分）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形PMNQ，若AB：AD＝3：5，则下列BM：MC的值能达成这一翻折的是（）A．1：4 B．2：5 C．1：9 D．4：9【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，∵矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形PMNQ，∴AP＝PE＝BP，BM＝ME，MF＝MC，QD＝QF，DN＝FN＝CN，∠BMP＝EMP，∠CMN＝∠FMN，∠CNM＝∠FNM，∠DNQ＝∠FNQ，∴∠BMP+∠CMN＝90°，∠CMN+∠CNM＝90°，∠CNM+∠DNQ＝90°，∠DNQ+∠DQN＝90°，∴∠BMP＝∠CNM，∠CNM＝∠DQN，∠MNQ＝90°，∴∠BMP＝∠DQN，∴△△BMP≌△DQN（AAS），∴BM＝ME＝DQ＝QF，∴MQ＝MF+QF＝MC+BM＝BC，设AB＝CD＝6a，BM＝ME＝QF＝DQ＝x，∵AB：AD＝3：5，∴BC＝AD＝10a，∴MF＝MC＝10a﹣x，AP＝PE＝BP＝3a，DN＝FN＝CN＝3a，MQ＝10a，∴MN2＝MC2+CN2＝（10a﹣x）2+（3a）2，QN2＝DQ2+DN2＝x2+（3a）2，∵MQ2＝MN2+QN2，∴（10a）2＝（10a﹣x）2+（3a）2+x2+（3a）2，解得：x＝a或x＝9a，当x＝a时，BM＝a，∴MC＝BC﹣BM＝9a，∴BM：MC＝1：9，当x＝9a时，BM＝9a，∴MC＝BC﹣BM＝a，∴BM：MC＝9：1，故选：C．二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）分解因式：2x2﹣8＝2（x﹣2）（x+2）．【解答】解：2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x﹣2）（x+2）．故答案为：2（x﹣2）（x+2）．12．（5分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≤3．【解答】解：∵二次根式有意义，∴3﹣x≥0，解得：x≤3．故答案为：x≤3．13．（5分）已知x2﹣2x＝3，则3x2﹣6x﹣4的值为5．【解答】解：∵x2﹣2x＝3，∴原式＝3（x2﹣2x）﹣4＝3×3﹣4＝9﹣4＝5．故答案为：5．14．（5分）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为15πcm2．（结果保留π）【解答】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15π（cm2）．故答案为：15π．15．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝10，BC＝24，点P是线段CD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，CP的长为或．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝24，∴AB＝＝＝26，∵CD⊥AB，∴△ABC的面积＝AB•CD＝AC•BC，∴26CD＝10×24，∴CD＝，分三种情况：当⊙P与BC边相切，如图：过点P作PE⊥BC，垂足为E，∵PE⊥BC，∴∠PEC＝90°，∴∠CPE+∠PCE＝90°，∵CD⊥AB，∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠PCE+∠B＝90°，∴∠B＝∠CPE，∵∠CEP＝∠ACB＝90°，∴△BCA∽△PEC，∴，∴＝，∴PC＝，当⊙P与AB边相切，如图：∵PD⊥AB，∴CP＝CD﹣PD＝﹣6＝，当⊙P与AC边相切，如图：过点P作PF⊥AC，垂足为F，∵PF⊥AC，∴∠PFC＝90°，∴∠CPF+∠PCF＝90°，∵CD⊥AB，∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠PCF+∠A＝90°，∴∠A＝∠CPF，∵∠CFP＝∠ACB＝90°，∴△BCA∽△CFP，∴＝，∴＝，∴PC＝，∵＞，∴PC＝（舍去），综上所述，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，CP的长为：或，故答案为：或．16．（5分）如图，直线y＝﹣x+2交x轴于点A、交y轴于点B，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且BC⊥AB，连结AC交反比例函数图象于点D，若CD＝2DA，则k的值为4．【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，则△AOB∽△BEC∵直线y＝﹣x+2交x轴于点A、交y轴于点B，∴A（4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，∴＝＝，设E（0，m），m＞2，则BE＝m﹣2，∴CE＝，∴C（，m）∵CD＝2DA，∴D（，m）∵点C、D都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴×m＝×m，解得m1＝0（舍）m2＝4，∴C（1，4），∴k＝1×4＝4，故答案为：4．三、解答题（本大题有8小题，共80分）17．（8分）（1）化简：（a+1）（5﹣a）+（a﹣2）2；（2）计第：|﹣2|+（）﹣1﹣（﹣2022）0．【解答】解：（1）（a+1）（5﹣a）+（a﹣2）2＝5a﹣a2+5﹣a+a2﹣4a+4＝9；（2）|﹣2|+（）﹣1﹣（﹣2022）0＝2+3﹣1＝4．18．（8分）如图，在7×13的方格纸中，A，B是方格纸中的两格点，请按要求作图．（1）在图1中，以AB为一边作一个矩形ABCD，要求C，D两点也在格点上．（2）在图2中，以AB为一边作一个菱形ABEF，要求E，F两点也在格点上．【解答】解：（1）如图1中，矩形ABCD即为所求．（2）在图2中，菱形ABEF即为所求．19．（10分）国家教育部规定：初中生睡眠时间应达到9个小时，某中学对全体初中生就睡眠的时长进行抽样调查，调查结果共分为四个层次：A．8小时以下；B．8～9小时；C．9～10小时；D．10小时以上．根据调查统计结果绘制以下两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题：（1）本次参与调查的学生共有多少人？并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中层次B的圆心角度数；（3）睡眠时间8小时以下的3名同学中有一名男生和二名女生，若心理老师想从这3名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学是一名男生和一名女生的概率．【解答】解：（1）本次参与调查的学生共有：15÷15%＝100（人），则层次C的人数为：100﹣3﹣25﹣15＝57（人），补全条形统计图如下：（2）扇形统计图中层次B的圆心角度数为：360°×＝90°；（3）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中同时选出的两名同学是一名男生和一名女生的结果有4种，∴同时选出的两名同学是一名男生和一名女生的概率为＝．20．（8分）如图，某渔船向正东方向以10海里/时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东的60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．（1）B处离岛C有多远？（2）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（3）如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？参考数据：≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259．【解答】解：（1）如图，过点C作CM⊥AB，垂足为M，由题意得，∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBM＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACB＝∠CAB＝30°，∴AB＝BC＝10（海里）；（2）在Rt△BCM中，BC＝10，∠CBM＝60°，∴CM＝BC＝5（海里）≈8.66海里＜9海里，∴有危险；（3）如图，过点C作CN⊥BF于N，在Rt△BCN中，∠CBN＝∠CBM+∠MBN＝60°+15°＝75°，BC＝10，∴CN＝sin75°•BC≈9.66（海里）＞9海里，∴没有触礁的危险．21．（10分）“一方有难，八方支援”．疫情期间，某志愿者组织筹集两车物资送往疫情严重地区．图中的折线、线段分别表示甲，乙两车所走的路程y甲（千米），y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：（1）乙车的速度为65千米/小时，甲车由于发生故障，在途中停留了1小时．（2）甲车排除故障后立即提速10千米/小时赶往目的地，求甲车原来的速度．（3）排除故障后甲车与乙车第一次相遇时，距出发点的路程为多少千米？【解答】解：（1）由题意，得乙车的速度为：520÷8＝65（千米/小时），甲组在途中停留时间为：3﹣2＝1（小时），故答案为：65；1；（2）设甲车原来的速度为x千米/小时，根据题意得：2x+（7﹣3）×（x+10）＝520，解得x＝80，答：甲车原来的速度为80千米/小时；（3）设排除故障后甲车与乙车第一次相遇时的时间为a小时，根据题意得：65a＝80×2+（a﹣3）×（80+10），解得a＝4.4，4.4×65＝286（千米），答：排除故障后甲车与乙车第一次相遇时，距出发点的路程为286千米．22．（10分）已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x的取值范围．（2）请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．【解答】解：（1）将（3，m）代入y1＝2x﹣2得m＝6﹣2＝4，将（n，﹣6）代入y1＝2x﹣2得﹣6＝2n﹣2，解得n＝﹣2，∴抛物线经过点（3，4），（﹣2，﹣6），将（3，4），（﹣2，﹣6）代入y2＝﹣x2+bx+c得，解得，∴y＝﹣x2+3x+4，由图象可得﹣2＜x＜3时，抛物线在直线上方，∴y1＜y2时x的取值范围是﹣2＜x＜3．（2）令﹣x2+bx+c＝2x﹣2，整理得x2+（2﹣b）x﹣（2+c）＝0，当Δ＝（2﹣b）2+4（2+c）＝0时，两函数图象只有一个公共点，∴b＝2，c＝﹣2，满足题意．23．（12分）若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍，我们把这个三角形叫做和谐三角形．（1）已知△ABC是和谐三角形，AB＝3，BC＝4，请直接写出所有满足条件的AC的长．（2）在△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2，连结AD，若△ABD为和谐三角形，求AC的长．（3）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，且∠DBC＝∠A，E为AB上一点，满足AE：EB＝3：2，连结DE，求证：△AED为和谐三角形．【解答】（1）解：根据三角形的三边关系得，1＜AC＜7，∵△ABC是和谐三角形，∴①当AC+BC＝2AB时，AC＝2AB﹣BC＝2×3﹣4＝2，②当AC+AB＝2BC时，AC＝2BC﹣AB＝2×4﹣3＝5，③当AB+BC＝2AC时，AC＝（AB+BC）＝（3+4）＝，即满足条件的AC的长为2或或5；（2）解：在△ABC中，AB＝4，BC＝8，∴4＜AC＜12，在△ACD中，CD＝BC﹣BD＝6，∵AB＝4，BD＝2，根据三角形的三边关系得，2＜AD＜6，∵△ABD为和谐三角形，∴①当AB+AD＝2BD时，AD＝2BD﹣AB＝0，不符合题意；②当AB+BD＝2AD时，AD＝（AB+BD）＝（4+2）＝3，如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ADE中，AF2＝AD2﹣DF2＝9﹣DF2，在Rt△ABE中，AF2＝AB2﹣BF2＝16﹣（2+DF）2，∴9﹣DF2＝16﹣（2+DF）2，∴DF＝，∴AF2＝9﹣DF2＝，在Rt△ACE中，CF＝6﹣＝，根据勾股定理得，AC＝＝＝6，即AC的长为6；③当BD+AD＝2AB时，AD＝2AB﹣BD＝2×4﹣2＝6，不符合题意；（3）证明：∵AE：EB＝3：2，∴设AE＝6x，则EB＝4x，∴AB＝AE+EB＝10x，∵AB＝AC，∴AC＝10x，∵点D为AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝5x，∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，∴，∴BD＝BC＝5x，如图，过点A作AM⊥BC于M，则BM＝CM＝BC＝x，根据勾股定理得，AM＝＝x，过点D作DG⊥BC于G，∴DG∥AM，∵AD＝CD，∴DG是△AMC的中位线，∴DG＝AM＝x，MG＝CM＝x，∴BG＝BM+MG＝x，过点D作DH⊥AB于H，∴∠AHD＝90°＝∠BGD，∵∠A＝∠DBC，∴△ADH∽△BDG，∴，∴＝＝，∴AH＝x，DH＝x，∴EH＝AE﹣A