基于教学中的数学学科核心素养的培养 论文

摘要：

2022年安徽省中小学教育教学论文评选基于教学中的数学学科核心素养的培养本文通过一节高三复习课《由递推公式求通项公式》题型探究展示数学问题的模型关键词：核心素养，数学建模，递推公式，通项公式引言：高三数学教学中，主要任务是梳理、巩固知识点，构建知识网络结构，总结解题方法和思想，提升学生的解题能力，进而达到提升学生的数学学习成绩，因此，教师在教学中很容易形成固定教学模式“列知识点——讲题——做题”，这对学生数学能力的提疲惫不堪，事实上，在数学问题求解中，很多数学问题可以用模型思想来解决，教学中帮助学生掌握模型建立的思想，可以轻松解决一类问题，以及由这一模型衍生出的其他问题，大大提升了学生的解题能力，让学生从繁重的“刷题”工作中解放出来。本文将帮助学生建立模型感，提升模型思想的应用，重点培养学生数学建模的核心素养。一、问题引入n项和等问题都离不开数列的通项公式，在求数列通项公式的过程中，不光体现了对数学知识点的考察，还反映了学生的对数学思想和解题方法的掌握，体现了学生的数学学科的核心素养，因此，数递推公式求通项公式的问题求解中，通过模型思想的应用，会使的头疼问题迎刃而解，同时在教学中也能培养学生的数学建模核心素养。【2018安徽（理Sn为数列{an}前n项和，若Sn=2an+1,则S6=二、问题分析与初探上述问题可以先由S1====的值呢？直接“硬算”不太现实。那有没有什么好的办法解决上述问题呢？为了更好的解决上述提出的问题，我们先来看下面的一个问题。【探究问题1】已知在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an=4an-1+3,求a100012022年安徽省中小学教育教学论文评选的值。师：虽然利用递推公式可以求出a1000的值，但不太现实，所以这个问题实际上是想让我们干什么？生：求通项公式。师：那我们应该怎么求出这个问题的通项公式呢？生：思考中…（感觉不知道怎么入手）师：我们会熟练地求哪些数列的通项公式？生：等差数列、等比数列-an-1=d)或等比(an=qan-1)数列定义式吗？如果能,应该怎么变？生：思考、讨论中…很快有学生发现由于an与an-1前的系数不一样，变不成等差数列的定义式形式,那很有可能变成等比数列的定义式形式。生：应该变成等比数列定义式形式。题中的递推公式an=4an-1+3如果能变成等比数列定义式形式，那它应该可以分解成an+α=β（an-1+α）的形式。师：非常好！很重要的一步，然后怎么处理得到α，β值呢？=βan-1+αβ-an+α=β（an-1+α）是an=4an-1+3得来的，可知{ β=4

，解得

α=1，所以{an+1}是一个以2为首项，4αβ-α=3 {β=4为公比的等比数列，则an+1=2×4n-1，即an=2×4n-1-1，所以an=2×4999-1.师：非常好！从问题探究1中，我们能学到什么？=pan-1+q(p,q为常数)模型,当

p≠+α=β（an-1+α），还原回去，利用两式相等，得{ β=p

，解出α，β，再利用等比数αβ-α=q列知识求解出{an+=列，直接利用等差数列知识求解出{an}通项公式。型，掌握这种模型建立的思想，可以解决出由它可以衍生出很多问题。三、引入问题求解及模型衍生思想应用22022年安徽省中小学教育教学论文评选2018安徽（理14）记Sn为数列{an}前n项和，若Sn=2an+1,则S6=师：有了上面探讨，同学们会解决2018安徽（理14）问题了吗？=Sn-Sn-1(n≥Sn=2Sn-2Sn-1+1，所以Sn=2Sn-1-1，这样就可以利用我们刚学的模型解决了。因为Sn+α=β（Sn-1+α）,所以Sn=βSn-1+αβ-α是由Sn=2Sn-1-1分解得来的可知{αββ=2-=-=a1=-1所以{Sn-1}是-α=1

β=2一个以-2为公比的等比数列，则Sn-1=-2×2n-=-2n+以S6=-63.【探究问题2】（1）已知数列{an}，a1=1，当n≥2时，an=4an-1+n,求an的通项公式。（2）已知数列{an}，a1=1，当n≥2时，an=4an-1+n2+n,求an的通项公式。（3）已知数列{an}，a1=1，当n≥2时，an=an-1+4n,求an的通项公式。师：这个问题能不能直接利用我们刚才讨论的模型求解？生：不能，刚才的模型中p,q为常数,但这个问题中q是和n有关的一次式。师：那我们应该怎么解决这个问题呢？生：思考、讨论中…（感觉有难度）有一个和n有关的一次式，右边是an-1，那它应该有一个和（n-1）有关的一次式。=4an-1+n可分解成an+kn+b=β（an-1+k(n-1)+b）.师：很好！接下来怎么处理？生：和上面一样，还原回去，利用两式相等，列出方程组解出里面的待定系数。由 an+kn+b=β（an-1+k(n-1)+b）， 得{β=4{

an=βan-1+(βk-k)β=4 1-βk+βb-b=0 =4

1 4 16n-βk+βb-b,{

βk-k=1

,解得

k=3b 9

，所以{an+

3n+

}是一个以9 91 4

n-1n-1 1 4+3n+9=

9×4=

9×4

-3n-9.32022年安徽省中小学教育教学论文评选师：非常好！那第（2）小题呢？又怎么解决？生：同样道理，左边是an，那它应该有一个和n有关的二次式，右边是an-1，那它-+an2+bn+c=β（an-1+a(n-1)2+b(n-1)+n-1

12 探究问题1的知识即可求出通项公式，解得an=

27×4

-3n

-9n-27.师：很好！第（3）小题是不是也用这种思想构建模型呢，如果不是，该怎么解决？这个a与an-1前的系数一样刚才的在等式两边构建相应次方的关于n（n-1-an-1=4n，利用等差数列求通项公式的思想——累加法求出通项公式,解得an=2n2+2n-3.师：很好！结合这个问题，我们能得到什么？生：在模型an=pan-1+q（p为常数）中，当

p≠1时，q是和n有关的多项式，利用探究问题1-通项公式，当p=1时，利用等差数列求通项公式的思想——累加法求出通项公式。【探究问题3】在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an=4an-1+2n,求an的通项公式。师：这个问题中的递推公式结构和刚才的相似，但等式右边最后一项由关于n的一能，那能不能用刚才构建模型的思想解决这个问题？-1）的多项式，这个应该在等式两边构建相应的指数式。师：那如何构建呢？=4an-1+1,和上面思想一样，为了2n 2n右边出现2n-=2an-1+

an= ,则b

an-1= ，2n 2n-1

n 2n

n-1

2n-1所以bn=2bn-1+1，就变成探究问题1的模型了，解得an=3×22n-2-2n。42022年安徽省中小学教育教学论文评选师：非常好！结合探究问题3可以总结得到什么?=pan-1+关于n的指数式，构建出相应指数式的次方，再利用换元思想，就可以变成探究问题1的模型求解了。【探究问题4】已知正项数列{an}，a1=4，当n≥2时，an=4an-12,求an的通项公式。个问题又该怎么解决呢？生：思考、讨论中…（感觉难度有点大）师：它和我们刚才研究的模型结构有什么地方不同？生：刚才研究的an、an-1的次方相同，这个次方不一样。师：那我们能不能把an、an-1的次方变成一样？什么运算有这个功能？生：对数运算有这个功能，给他两边取对数，变成lgan=lg(4an-12)，利用对数的运算得lgan=2lgan-1+=lgan,则bn=2bn-1+lgn4,这样本问题又成了问题探究1的模型了，利用探究问题1的知识求得an=42n师：非常好，结合探究问题4可以总结得到什么?

-1。=pan-12(p>0,an>0),两边取对数得lgan=2lgan-1+lgp,再利用换元思想，令bn=lgan,则bn=2bn-1+lgp,这样本问题就成了探究问题1的模型了,因此利用探究问题1的模型知识就可以求解通项公式了。【探究问题=≥2时，an=a式。

an-1,求a的通项公+2 +2 n师：这个外型和我们前面讨论得又不一样了，该怎么解决呢？生：对于分式，一般先变成整式得anan-1+2an=an-1，和讨论得模型很像了，就是多了anan-1。师：那能否把anan-1变没或变成常数，这样就和我们讨论的模型一样了，怎么变呢？52022年安徽省中小学教育教学论文评选-1的值，直接变常数，不行，两边同减anan-1，相当于移项，也不行。师：那怎么办？我们能不能两边同除以anan-1，这样可以得1+a1

2 1aa.n-1 na= ,则bn=2bn-1+1,这样本问题又成了an1探究问题1的模型了,利用探究问题1的知识求得an= 。15×2n-3-1师：是的，很好！结合探究问题5我们又能得到什么？pan-1qarn生：对于递推式a=qarnn-1+

,先变成整式得qanan-1+ran=pan-1,再两q r 1

1 r q边同除以anan-1,p+pa

=a,利用换元思想，令bn=a则bn=pbn-1+p,这样n-1 n n本问题就成了探究问题1的模型了,利用相应的模型构建思想就可以求出通项公式了。四、部分高考真题1.（2010全国I）设数列{an}满足a1=2，an+1-an=3∙22n-1（1）求数列{an}的通项公式（2）令bn=nan,求数列{bn}的前n项和snn n 3an3 n n2.（2013全国}的前n n 3an3 n n

1,则数列{a}的通项公式a=3.（2013湖南）设Sn为数列{an}的前项和，已知a1≠0,2an-a1=S1∙Sn,n∈N*(Ⅰ)求a1,a2，并求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和．4.（2011广东）设b>0，数列{an}满足a1=b,an=a（1）求数列{an}的通项公式；

nban-1．n-1+2n-2(n≥2)．（2）证明：对于一切正整数n，an≤

bn+12n+1

+1.5.（2015=-1,an+1=Sn∙Sn+=．6.（2014新课标全国Ⅱ卷）已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.212（Ⅰ）证明{an+

}是等比数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：1a1

1+a2

1 3<.+⋯+<.7.（2016年四川高考）已知数列{an}首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=q62022年安徽省中小学教育教学论文评选Sn+1，其中q>0，n∈N*.（I）若2a2,a3,a2+2成等差数列，求an的通项公式；525a2=，n(Ⅱ)设双曲线x2-y=a2=，nn3证明：e1+e2+⋯+en>五、模型思想的探讨

4n-3n3n-1通过上述研究，an=pan-1+q(p,q为常数)是给递推公式求通项公式中一个他问题。提升了学生的学生解题能力，进而培养了学生的数学核心素养。党的十九大明确提出：“要全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，发在中华人民共和国教育部制定2017版2020数学学科核心素养。方法构建模型解决问题的素养。事实上，不光生活中的实际问题可以通过数学建模来解决，对于我们数学中的很多纯数学问题也可以通过建模思想来解决，本节复习课中，对于一类给递推公式求通项公式，我们构建了基本模型，用此模型解决出现的问题，并对此模型衍生出的问题也进行了研究，进而掌握这种模型及处理这种模型衍生的问题思想，