《圆周角和圆心角的关系及其相关推论》教学设计(部级优课)-九年级数学教案

《圆周角和圆心角的关系》教学设计一、创设情景激发兴趣导入新课《数学课程标准》指出：“对数学的认识，应处处着眼于数学与人的发展和现实生活之间的密切联系”根据这一理念和九年级学生的年龄特点、心理发展规律，联系生活中喜闻乐见的话题，创设有一定挑战性的问题情景，目的在于激发学生的探索激情和求知欲望，把学生的注意力较快地集中到本课的学习中。问题：足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，小明、小强两名同学分别站在圆上A、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置，射门角度大，射门的机率高。如果你是教练，请评一评他们两个人，如果仅从射门角度的大小考虑，谁的位置射门更有利？二、数学思考师生互动启发猜想⑴教师引导学生把实际问题抽象成数学问题：“研究同弧所对的圆周角的大小关系问题”。导入新课⑵引导学生通过画图测量，发现：∠C、∠D的度数相等。⑶教师引导，问题转化为研究“同弧所对的圆周角与圆心角的关系”⑷美国教育心理学家奥苏伯尔说：“影响学习的唯一最重要的因素就是学习者已经知道什么。要探明这一点并应据此进行教学”为此，教师直观演示启发由已学“直径所对的圆周角的特征”这一特殊情况猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半．三、动手实践分类化归验证猜想由实验、观察等方法得出的猜想的正确性需要进一步验证。学生动手实践：在圆形硬纸片上任取一段弧，画出该弧所对的圆心角和任意一个圆周角。并根据所画的图形，探索说明“该弧所对的圆周角等于圆心角的一半”成立的理由。荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔的“再创造”数学教学模式强调：以学生的独立学习为基础的小组合作，全班交流，教师启导。本活动的设计让学生有自主探索、合作交流的时间和空间。学生在动手实践和充分的独立思考的基础上如有遇到个人难以独立解决的问题可以小组合作解决，在这个过程中教师深入课堂对学生适时的点拨、指导（如：经过圆周角的顶点把硬纸片对折，启发学生作辅助线等。）适时的评价、激励和有度的批评、督促。师生互动，彼此形成一个“学习共同体”，CABCABOCABOBCAO(a)ABCO(b)(c)(d)(e)CABO⑵教师引导学生对展示硬纸片分类：图(a)、(e)同类，图(b)、(d)同类，图(c)一类⑶教师用“几何画板”动画直观演示，归纳分类如下：CCABOCABOCABO第一类：圆心在圆周角一边上第二类：圆心在圆周角内部第三类：圆心在圆周角外部⑷教师总结各小组验证成果：学生在小组交流探索中发现：三类情况的验证方法各不相同，第二、三类困难。教师适时引导学生认识到：“分类验证的必要性”，并归纳学生的说理的成果：学生探索发现：第一类情况最特殊容易验证。由圆的轴对称性联想到把硬纸片对折、发现过圆周角的顶点C作辅助线“直径”，可以把第二、第三类情况转化为第一类来验证。教师提议把第一类圆内部的图形想象成一面三角旗、则第二类、第三类分别想象成两面三角旗合并、两面三角旗叠成，化抽象为具体、化一般为特殊。学生豁然开朗。教师总结说理如下：第一类：圆心在圆周角一边上CCABO（一面三角旗）【∠C=∠AOB∠A=∠COA=OC】CACABOABODCAODCBODC +（两面三角旗合并）【∠C=∠AOB∠ACD+∠BCD=(∠AOD+∠BOD)∠ACD=∠AOD、∠BCD=∠BOD】CACABOCABODACODCBOD -（两面三角旗叠成）【∠C=∠AOB∠ACD-∠BCD=(∠AOD-∠BOD)∠ACD=∠AOD、∠BCD=∠BOD】⑸教师精讲：猜想成立，就可以把情景中研究“同弧所对的圆周角的大小问题”化归为研究“同弧所对的圆周角与圆心角的关系问题”本环节以学生活动为核心。本环节首先让学生自主探究、合作交流,突出了重点,然后教师通过引导,环环相扣把难点突破,其间有机渗透了“分类”、“化归”等数学思想四、阅读教材深入思考联想建构阅读教材第19页蓝体字判断：⑴同弧或等弧所对的圆周角相等……（）⑵等弦所对的圆周角相等……………（）⑶相等的圆周角所对的弧相等………（）思考：在同一圆内，若两条弧相等，则你可以得到哪些结论？精讲：对于两个相等的圆，有相同的结论。本环节加深学生了对知识的了解，让学生体验数学的严谨性，意在培养学生自主学习的习惯、引导学生爱读书敢质疑、能自主建构圆周角、圆心角、弧、弦的关系。五、变式例题：（1）如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。（2）如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆内，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。六、关注差异分层练习巩固提高A层（基础题）图1：试找出图甲中所有相等的圆周角⑵在圆中一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)0和(5x–30)0则这条弧所对的圆心角的度数为、圆周角的度数为。B层（中等题）⑴图2中互余的圆周角共有…………（）A、4对B、6对C、8对D、10对⑵如图3所示，AD平分∠BAC，那么图中相似的三角形有………（）3图3图11245678图2O12345678ABCDE图3C层（提高题）如图4，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=.OABCDP图512345图4如图5：已知弦AB、CD相交于P点，且∠OABCDP图512345图4A层课本20页的随堂练习，意在让多数学生参与，巩固知识。B层（1）题是课本练习题的变式题，意在培养学生的分类思想。C层意在培养学生的化归思想七、课堂反思师生小结触类旁通师生互动，针对本堂课学生自主探索、合作交流的情况，练习的效果进行评价，引导学生对本课探索学习中所运用的数学思想、方法，得到的新知识、新旧知识的联系等进行小结、反思。这样可以充分发挥学生的主体地位，加深学生对本课内容的学习与了解，加强数学思想的渗透力，从而提高学生自主建构知识网络，分析、解决问题的能力，达到触类旁通！八、学以致用作业适量分层要求尊重学生的个体存在差异的客观事实，为了尽可能地让所有的学生都能主动的参与，都能在获得必要发展的前提下，不同的学生获得不同的发展。练习、作业的设计分层要求。A层（基础题）如图6所示，A、B、C三点在⊙O上，∠BOC=100o，则∠BAC=度，∠BDC=度.如图7，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠D=25，则∠AOC=如图8，已知AB=AC=2cm,∠BDC=60，则△ABC的周长是。如图9：∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，求∠OBC的度数.AABCO图9ABCDO图6ABCDO图7ABCDO图8B层（中等题）在⊙O中，∠BOC=100o，则弦BC所对的圆周角是度.如图10，AD是⊙O直径，BC=CD，∠A=30°，求∠B的度数.AABCDO图10C层（提高题）ABCOHE图11如图11，AB是⊙