形式系统的演绎与归纳

形式系统的演绎与归纳

演绎与归纳逻辑的对应性作为两种推理现象，在逻辑发展之初就被发现了建模和总结。对这两种推理的研究主导着整个逻辑学的发展。人们习惯上把研究演绎的分支称作“演绎逻辑”,把研究归纳的分支称作“归纳逻辑”。表面上,演绎逻辑和归纳逻辑“气味相投”,但二者实际多有格格不入的地方。人所共知,逻辑学的鼻祖亚里士多德重演绎轻归纳;英国哲学家培根倡归纳反演绎。自逻辑学进入现代逻辑阶段以来,演绎逻辑和归纳逻辑的冲突愈加尖锐。在现代逻辑中,人们对各种演绎推理进行了逻辑分析,但在归纳推理上却困难重重,至今还未能令人信服地处理最简单的一类归纳推理——简单枚举法。作为逻辑学的分支,演绎逻辑已得到全面的发展,形成了诸多的子分支(比如一阶逻辑和模态逻辑等等)和跨学科分支(比如模型论和公理集合论等等)。相比之下,归纳逻辑还停留在哲学探讨以及方法论的研究阶段。考虑到归纳与演绎多有不相称之处,一些学者认为归纳不应再被纳入逻辑学范畴之列,有人甚至认为归纳根本就不存在。在现代逻辑之后,归纳逻辑似乎难以与演绎逻辑相提并论,归纳逻辑和演绎逻辑差距之大可以说是前所未有。在本文,我将证明,对于任何一个演绎系统,都可构造一个归纳系统与之对应,反之也成立。也就是说,在形式系统的意义上,演绎逻辑和归纳逻辑是一一对应的。这个结论所带来的后果是演绎逻辑和归纳逻辑并行不悖。一、推理的导向性理论人们常说,某个推理的结论能由其前提“归纳地导出”,某个推理的结论能由其前提“演绎地导出”。这直接表明,就推理而言,“演绎”与“归纳”之分是针对推理前提导出结论的关系(以下有时又称之为“推理的导出关系”)而言的,而非针对推理的前提和结论的性质而言。问题在于,如何刻画演绎和归纳以落实这一点?1.导推理、演绎真值的概念构成文众所公认,一切演绎推理都满足:假使推理的前提都真时,则其结论(必然地)为真(以下简称“演绎的保真性特征”)。对于归纳,最常见的刻画如下:假使推理的前提都真时,则其结论不必然但很可能地(即“概然地”)为真(以下简称“归纳的概然性特征”)。这一刻画把归纳和“概然性”相关联,符合人们的常识。我们的问题是,与演绎的保真性特征对照,归纳的概然性特征确实落实了归纳与演绎应有的差异吗?考察下面几个推理。推理(1)和(2)都是演绎推理,它们的结论都由各自的前提演绎地导出,因而它们在推理的导出关系上没有任何区别。这两个推理的区别在于它们前提和结论所涉及的真值概念不同:推理(1)涉及的是熟知的古典真值概念,而推理(2)涉及的却是由古典逻辑真值概念扩充得到的模态真值概念。这里所说的“古典真值”包括“真”和“假”两值,“模态真值”也包括“真”和“假”两值。为区别起见,我们无妨称前二者为“古典真”和“古典假”,称后二者为“模态真”和“模态假”。(1)4是两个素数之和,6是两个素数之和,8是两个素数之和,10是两个素数之和,所以,至少有一个大于2的偶数是两个素数之和。(1*)4是两个素数之和,6是两个素数之和,8是两个素数之和,10是两个素数之和,所以,任何大于2的偶数都是两个素数之和。(2)不可能存在不是两个素数之和的大于2的偶数,所以,必然所有大于2的偶数都是两个素数之和。按照上面的说法,推理(1)的特征是:假使推理的前提都为“古典真”时,则其结论为“古典真”,而推理(2)的特征是:假使推理的前提都为“模态真”时,则其结论为“模态真”。不论是“古典真”还是“模态真”,它们都属“真”,此即推理(1)和(2)的共性——“演绎性”——之所在。“古典真”和“模态真”归属于不同的真值概念,此是推理(1)和(2)差异之所在——我们因此常说推理(1)是“古典的”,推理(2)是“模态的”。再来看看推理(1*)。它是一个归纳推理。按照归纳的概然性特征,若这个推理的前提都为真时,则其结论概然地为真。这里,所谓“结论概然地为真”其实就是“结论是‘概然真’的”。在这样的理解下,推理(1*)的特征实质是:假使推理的前提都为真时,则其结论为“概然真”。在这一点上,归纳的现有刻画都大同小异——如果这些刻画有所分歧,那么分歧无非出在对“概然真”的理解上。不论对“概然真”作何理解,“概然真”总归是“真”之一种。所以,假使按照归纳的概然性特征刻画推理(1*),那么推理(1*)和(1)只是在各自的前提和结论所涉及的真值概念上(分别是“古典真值”和“概然真值”)有所不同,而在推理的导出关系上,它们竟没有任何区别——都是前提演绎地导出结论的关系。这表明归纳的概然性特征尽管有其直观基础,但是它并没有落实归纳与演绎在推理导出关系上的差异。实际上,按照归纳的概然性特征,对推理(1*)所进行的处理并非针对推理(1*)本身,而是针对下面的推理(3)的。但是,推理(1*)和(3)是完全不同的推理:前者是归纳推理,而且是非模态推理(其中没有出现任何模态词),而推理(3)是演绎推理,而且是模态的(其中出现“大概”一词,它在命题中的角色和熟知的“必然”“可能”等类似,都属模态词范畴)。这样的处理显然是指鹿为马,把归纳推理处理为演绎推理了。(3)4是两个素数之和,6是两个素数之和,8是两个素数之和,10是两个素数之和,所以,任何大于2的偶数大概都是两个素数之和。2.推理的前提和结论前面的分析表明归纳的概然性特征没有落实归纳与演绎应有的区别。那么,如何刻画归纳才能表明归纳和演绎的区别呢?回答就是:假使归纳的前提都为假时,则其结论也为假。这是归纳最本质的特征(以下称为“归纳的保假性特征”),是归纳区别演绎之所在。首先,归纳的保假性特征是归纳基本涵义的必然结果。人们对归纳看法各异,但在一点上没有异议:归纳所得到的结论总能为个别事例所否证。这是归纳的基本涵义。没有这一点,所谓的“归纳”只能是一句空话。而有了这一点,我们立刻就可得出:假使归纳的前提有一个为假,则其结论为假,因为个别事例否证归纳所得到的结论就是指一旦归纳的某个前提为假,该结论就一定为假。当然,如果归纳的前提都是假的,那么归纳所得到的结论也为假。毫无疑问,归纳的基本涵义蕴涵着归纳的保假性特征。其次,归纳的保假性特征表明归纳与演绎之分并非针对推理的前提和结论所涉及的真值概念而言。我们以推理(1*)和(1)为例来说明这一点。按照归纳的保假性特征,推理(1*)满足:假使推理的前提都为“古典假”时,则其结论为“古典假”。这里,“古典假”指古典真值中的“假”。同“古典真”一样,“古典假”也是古典的。也就是说,在熟知的一阶语言中,按照古典逻辑解释逻辑符号和非逻辑符号的方式,我们可同时处理推理(1*)和(1)。因此,推理(1*)和(1)在推理的前提和结论所涉及的真值概念上没有任何区别。一般地,任何真值概念都同为演绎推理和归纳推理共享。对于推理而言,“演绎的”和“归纳的”之说都是针对推理的导出关系而言的,而诸如“古典的”、“直觉主义的”和“三值的”以及各种“模态的”等说法则是针对推理的前提和结论所涉及的真值概念而言的。所以,如果一种真值概念能用于刻画演绎推理,那么该真值概念同样也适用于归纳推理,反之也成立(见下表)。“归纳推理不是保真性的,而仅仅是保假性的。”见R.S.Michalski,最重要地,归纳的保假性特征表明了归纳与演绎在推理前提导出结论的关系上有着根本的区别。推理一般被看作是由其前提和结论构成的有序对。这意味着,推理有两个不可或缺的构成要素:第一,若干被称为“前提”和“结论”的命题,第二,被称为“前提”的那些命题与被称为“结论”的命题之间的关系——即“推理的导出关系”。从语义的角度看,推理的前提和结论的出现决定了推理所涉及到的真值概念,而推理的导出关系实质就是这些真值之间的某种关系。若干个推理如果共享了同样的真值概念,那么它们之间最本质的差异就由这些推理的前提和结论之间的导出关系所对应的二元真值关系的差异决定。在某个二值的真值概念下,可能的二元真值关系有“从真到真”、“从假到假”、“从假到真”和“从真到假”四种。在二值以上的真值概念下,可能的二元真值关系将会更多,但都包含以上四种真值关系。在这个意义上,这四种二元真值关系是最基本的真值关系,其中前面两种尤其重要。“从真到真”的真值关系所表达的就是演绎推理的前提导出结论的关系(或推理的前提演绎地导出结论的关系),而“从假到假”的真值关系所表达的则是归纳推理的前提导出结论的关系(或推理的前提归纳地导出结论的关系)。从这一点,我们就可以看出演绎的保真性特征和归纳的保假性特征的确表明了演绎和归纳在推理导出关系上的差异。比如,推理(1)和(1*)以及下面的(4)和(5)涉及的都是古典真值,但它们在推理的前提导出结论的关系上各不相同:推理(1)具有演绎地导出的关系,所对应的真值关系是“从真到真”,(1*)具有归纳地导出的关系,所对应的真值关系是“从假到假”,推理(4)和(5)具有的导出关系既不是演绎地导出的又不是归纳地导出的,所对应的真值关系分别是“从假到真”和“从真到假”。(4)2是素数,2既非素数又非合数,所以,2是合数。(5)2是素数,2或非素数或非合数,所以,2是合数。综上所述,我们可以断定,如同演绎的保真性特征是对演绎恰当的刻画一样,归纳的保假性特征也是对归纳合适的刻画。特别地,这一刻画揭示了推理的演绎与归纳之分是针对推理的前提导出结论的关系而言的,而不是针对推理的前提和结论所涉及的真值概念而言的。二、语义的后承关系和语法推演关系在符号逻辑中,我们是通过形式化的方法来研究推理的。首先,通过分析推理前提和结论的形式结构建立一整套的形式语言。其次,在形式语言下,通过澄清推理的基本语义特征建立一定的形式语义,给出一定的语义后承关系。再次,在形式语言下,通过建立形式系统给出一定的语法推演关系。最后,证明所给出的语义后承关系与语法推演关系等价。这是研究推理的四步曲。在本文,我们也要按上述四步曲研究演绎推理和归纳推理,但是我们将要面对的不是一个个具体的演绎推理和归纳推理,而是演绎推理和归纳推理的一个个抽象的类(比如,“古典演绎推理”的类和“古典归纳推理”的类)。因此,推理的形式化也是抽象的,我们所要建立的不是一个个具体的形式语言、形式语义和形式系统,而是它们的适当抽象。1.形式系统的构成现有的形式语言已经构成了一个庞大的家族,其成员都具有一定的初始符号以及由这些符号构成的表达式。对于当前的研究而言,我们只需注意这些家族成员可能具有的四种成分:逻辑算子符号(比如逻辑联结词、模态算子符号等等)、量词符号(比如全称量词符号、特称量词符号等等)、量词符号所辖的符号(比如个体变元、谓词变元等等,一律称之为“Q-变元符号”)以及表达式中的公式。注意,这四种成分都可以是空集。有序组<O(L),Q(L),QV(L),A(L)>(又记为“L”)是形式语言,若O(L),Q(L),QV(L)和A(L)都是集合,它们两两不相交,并且O(L)中任意元素已规定“元数”,A(L)中任意元素都不出现O)(L)或Q(L)中的元素。我们称O(L)为L的逻辑算子符号集(()(L)中某个元素的元数为n,则此元素就是一个n元算子符号),Q(L)为L的量词符号集,QV(L)为L的Q-变元符号集,A(L)为L的原子公式(称为“L-原子公式”)的全集。上面对形式语言的规定只涉及原子公式,全体公式构成的集合如下规定:Form(L)=∩{A|A(L)A,并且对任意n元逻辑算子符号σ∈O(L),若α1,α2,α3,…,αn∈A,都有σ(α1α2α3…αn)∈A;对任意的量词符号Θ∈Q(L)和Q-变元符号θ∈QV(L),若α∈A,则Θθ(α)∈A}。我们称Form(L)为L—公式的全集,称其中元素为“L—公式”,称那些不是L—原子公式的L—公式为“L—复杂公式”。以后用α和β等表示L—公式,用Γ和∑等表示L—公式集。下面规定形式系统。我们称S为L的形式系统,若S为有序对<Λ(L),Ξ(L),>,其中Λ(L)Form(L),(L)P(Form(L))×Form(L),P(Form(L))×Form(L),并且对任何有序对<Γ,α>∈,都存在L—公式序列α1,α2,…,αλ=α,使得对任意αi(i=1,2,3,…,λ),下述条件至少有一成立:(2)存在L-公式集∑{α1,α2,…,αλ-1},使得<∑,αi>∈Ξ(L)。在S的各个分量中,Λ(L)是S的公理集,Ξ(L)是S的变形规则集(或推演规则集),是S的推演关系。记“<Γ,α>∈”为“Γα”。当Φα时,称α是系统S的内定理。我们规定系统S是有穷(可公理化)的,若Λ(L)和Ξ(L)在模式的意义上都是有穷集。系统S1=<Λ(L1),(L1),1>和S2=<Λ(L2),(L2),2>是等价的,如果它们各自的推演关系相等,即1=2。“形式系统”的上述定义囊括了现有的一切逻辑系统(含公理或公理模式型系统,自然推演型系统)和形式数学系统。对形式语言L,构造形式语言L*=<O(L*),Q(L*),QV(L*),A(L*)>,其中QV(L)=QV(L*),A(L)=A(L*),并且存在一一映射f:O(L)UQ(L)→O(L*)UQ(L*),使得(1)f(f(σ))=σ;(2)f(σ)是L*的n元逻辑算子符号,当且仅当σ是L的n元逻辑算子符号;(3)f(σ)是L*的量词符号,当且仅当α是L的量词符号。对任意L—公式α,归纳定义α*(称之为“α的镜像”)如下:(1)当α为L—原子公式时,α*=α;(2)当α为L—公式σ(α1,α2,…,αn)时,α*=f(σ)(),其中α1,α2,…,αn∈F(L),σ∈O(L)且其元数为n。(3)当α为L—公式Θθ(α)时,α*=f(Θ)θ(α),其中Θ∈Q(L)和θ∈QV(L)。对L-公式集Γ,定义Γ*为集合{α*|α∈Γ}。一般地,对任何n元L—有序组(n≥0),定义<A1,A2,A3,…,An>*为n元有序组<>,其中A1,A2,A3,…,An为L-公式或L—公式集。我们称<A1,A2,A3,…,An>*为<A1,A2,A3,…,An>的镜像。(2*)存在L*—公式集∑{α1,α2,…,αλ-1},使得<∑,αi>∈Ξ(L*)。为简洁起见,我们有时又用“”表示“当且仅当”。下面的定理是显然的,它表明集合就是集合*,<Λ(L*),Ξ(L*),>=<Λ(L),Ξ(L),>*。以后又把<Λ(L*),Ξ(L*),*>记为S*。定理1设Γ和α分别为L-公式集和L-公式。则(1)ΓαΓ*α*;(2)。2.形式语义的真值概念推理由前提和结论的出现以及前提和结论之间的导出关系两个要素构成,相应地,推理的基本语义特征有两个方面:前提和结论所涉及的真值概念以及前提和结论之间的真值关系。在符号逻辑中,任何具体的形式语义都必须包含这两个方面。我们对形式语义的抽象也是从这两个方面入手的。在形式语言L下,我们称三元有序组Ξ=<Ω,M,Π>是L的形式语义,其中Ω,M和Π的规定如下所述:(1)Ω={Ti|i∈I,I至少含元素0和1}。称Ω为Ξ的真值集,其中T0为真值“真”,T1为真值“假”,并且T0≠T1。(2)M是所有满足下列条件的映射M:Form(L)→Ω构成的集合:对任意的i∈I,(2.1)当α为L—公式σ(α1,α2,…,αn)时,M(α)=Ti,当且仅当σ(M(α1)=Ti1,M(α2)=Ti2,…,M(αn)=Tin),其中σ是n元逻辑算子符号,α1,α2,…,αn的L-公式,i1,i2,…,in∈I,是n元表达式且满足:若(φ1,φ2,…,φn)(Ψ1,Ψ2,…,Ψn)。(2.2)当α为L-公式Θθ(β)时,M(α)=Ti,当且仅当(M(β)=Tim),其中是L的量词符号,θ是L的Q-变元符号,β是L—公式,im∈I,是一元表达式且满足:若φΨ,则(φ)(Ψ)。我们称M为L的赋值集,称其中元素为“L-赋值”。对L-公式集Γ,我们以“M(Γ)=Ti”对任意α∈Γ,都有M(α)=Ti。(3)Π是所有(i,k∈I)构成的集合。对任何i,k∈I,(Form(L))×Form(L),且{<Γ,α>|若M(Γ)=Ti,则M(α)=Tk}。我们把“<Γ,α>∈”记为“”。当时,称α是Γ的i-k后承。特别地,当时,称α是Γ的演绎后承;当时,称α是Γ的归纳后承。当时,称α是L—恒真式;当时,称α是L—恒假式。在形式语义的定义中,第一条规定确保任何形式语义的真值概念都含“真”“假”两值。第二条规定则明确了公式在被赋予真值时,所应遵照的原则:复杂公式的真值与该公式中没有出现的公式的真值一律无关。我们把这个原则称为“真值相关原则”或“弱组合原则”以便和熟知的弗雷格原则(或组合原则,按照这个原则,复杂公式的真值由此公式中的子公式的真值完全决定)相对照。相比之下,组合原则对赋值的要求较苛刻,仅适用于少数几种形式语义,而真值相关原则对赋值的要求更加宽松,适用范围更广,表达了现有的一切形式语义在赋值规定上的共同特征。前面两条规定给出了一定的真值概念,第三条规定确定该真值概念下所有可能的真值关系。在这些真值关系中,以最为重要。很显然,“α是Γ的演绎后承”的意思就是假设Γ中的任意L—公式都为真,则L—公式α一定为真,而“α是Γ的归纳后承”的意思则是假设Γ中的任意L-公式都为假,则L-公式α一定为假。最后给出形式语义的镜像语义概念。对任意c,d∈I,我们引进函数[c,d]:Ω→Ω如下:对任意Ti∈Ω,[c,d](Ti)=Td,当i=c时;[c,d](Ti)=Tc,当i=d时;否则,[c,d](Ti)=Ti。以下记[c,d](Ti)为“”。Ξ=<Ω,M,Π>是L的形式语义,Ξ*=<Ω*,M*,Π*>是L*的形式语义。我们称Ξ*是Ξ的c-d镜像语义(c,d∈I),若:(2)M*是所有满足下列条件的L*-赋值构成的集合:对任意的i∈I,(2.1)当α为L*-公式f(σ)(α1,α2,…,αn)时,,当且仅当(M(α1),其中σ是n元逻辑算子符,α1,α2,…,αn是L*—公式,相同,i1,i2,…,in∈I。(2.2)当α为L*—公式f(Θ)θ(β)时,,当且仅当,其中Θ是L*的量词符号,θ是L*的Q-变元符号,β是L*—公式,相同,im∈I。注意,对任何i,k∈I,形式语义中的和镜像语义中的不相同,为区别起见,我们把后者一律记为“”。三、推演关系和后承关系的语义特征形式系统中的语法推演关系是按照一定的语义后承关系给出的,而语义后承关系又是按照某类推理的语义特征给出的。一旦证明了推演关系和后承关系相互等价,形式系统的语义特征最终就取决于推理的语义特征。比如,如果形式系统所对应的那类推理的前提和结论所涉及的真值概念是古典的/直觉主义的,那么该形式系统就是“古典的”/“直觉主义的”。类似地,如果形式系统所对应的那类推理的前提和结论之间的导出关系是演绎的/归纳的,那么该形式系统就是“演绎的”/“归纳的”。1.演绎形式、归纳形式的其它真值语言不论是“演绎的”还是“归纳的”都是推理的语义特征(而非语形特征)。只有在明确了推理的前提和结论所涉及的真值概念的条件下,我们才能对推理形式是“演绎的”还是“归纳的”进行判定。以此类推,“演绎的”和“归纳的”也是形式系统的语义特征。只有在一定的真值概念下可判定形式系统是演绎的还是归纳的。下面就给出形式系统之为“演绎”和“归纳”的形式定义。形式系统<Λ(L),Ξ(L),>在形式语义Ξ=<Ω,M,Π>下是演绎的,当且仅当(亦即对任意L—公式α和L—公式集Γ,都有Γα,当且仅当)。形式系统<Λ(L),Ξ(L),>在形式语义Ξ=<Ω,M,Π>是归纳的,当且仅当(亦即对任意L—公式α和L—公式集Γ,都有Γα,当且仅当)。由上一定义可以看出,演绎系统的内定理都是恒真式,归纳系统的内定理都是恒假式。在内定理集的意义下,演绎系统和归纳系统没有任何公共部分。所以,对形式系统而言,“演绎”和“归纳”是两种截然不同的语义定性。在某个形式语义下,形式系统之所以是“演绎的”/“归纳的”,是因为形式系统的语法推演关系所对应的语义后承关系具有“从真到真”的真值关系/“从假到假”的真值关系。而在任何形式语义中,除这两种真值关系之外,至少还有其它两种真值关系。所以,在任何语义下,不但有演绎系统和归纳系统,还有其它种类的形式系统。一般地,我们引入“型”概念,以表达形式系统的语法推演关系在真值关系上的特征。对任意i,k∈I,形式系统<Λ(L),Ξ(L),>在形式语义Ξ=<Ω,M,Π>下是i-k型的,当且仅当(亦即对任意L—公式α和L—公式集?,都有Γα,当且仅当)。我们把所有i-i型形式系统统称为“保真值型形式系统”,把所有i-k型系统统称为“易真值型形式系统”(i,k∈I,且i≠k)。显然,“0-0型”和“1—1型”分别对应“演绎”和“归纳”,它们都是“保真值型”。除“演绎”和“归纳”这两种型外,至少还有其它两种型,即“1-0型”和“0-1型”,后二者都属“易真值型”。不论是“保真值型”,还是“易真值型”,它们都表达了形式系统的语法推演关系在真值关系上的特征,当然也就表达了该语法推演关系所对应的推理导出关系的语义特性。一句话,形式系统型的多样性表达了推理导出关系的差异。形式系统的型是直接针对真值关系作出的,而不是针对真值概念作出的。从这一点,我们可以猜测任何真值概念都能为演绎系统和归纳系统所共享,而且演绎系统和归纳系统是一一对应的。下面就来证明这两个猜测确实成立。设Ξ=<Ω,M,Π>是L的形式语义,Ξ*=<Ω*,M*,Π*>是其c-d镜像语义,c,d∈I,M∈M,M[c,d]∈M*。我们称M[c,d]是M的c-d镜像,若对任意L*—原子公式α,M[c,d](α)=(M(α))[c,d]。显然,对任意L-原子公式α,M(α)=(M[c,d](α))[c,d]。定理2设Ξ=<Ω,M,Π>是L的形式语义,Ξ*=<Ω*,M*,Π*>是其c-d镜像语义,c,d∈I,M∈M,M[c,d]∈M*,且M[c,d]是M的c-d镜像。则(1)对任意L-公式α,都有M(α)=(M[c,d](α*))[c,d]。(2)对任意L*—公式α,都有M[c,d](α)=(M(α*))[c,d]。证明:只证(1),类似可证(2)。对α进行结构归纳证明:M(α)=(M[c,d](α*))[c,d]。(ⅰ)当α为L—原子公式时,已证。(ⅱ)当α为L-公式σ(α1,α2,…,αn)时,任取i∈I,则有:注意,第二个“”使用了归纳假设:M(αk)=TikM[c,d](αk*)=(k=1,2,…,n)。(ⅲ)当α为L-公式Θθ(β)时,任取i∈I,则有:定理3设Ξ=<Ω,M,Π>是L的形式语义,Ξ*=<Ω*,M*,Π*>是其c-d镜像语义,c,d∈I。对任意L-公式集r和L—公式α,都有:。证明:存在L-赋值M,使得M(Γ)=Tc但M(α)≠Tc存在L*—赋值M[c,d],使得M[c,d](Γ*)=Td但M[c,d]。其中,第二个“”使用了定理2。证毕。从定理3容易推出下面的定理。定理4形式系统S=<Λ(L),Ξ(L),>在形式语义Ξ=<Ω,M,Π>下是c-c型的,当且仅当形式系统S*=<Λ(L*),Ξ(L*),‖->在Ξ的c-d镜像语义Ξ*=<Ω*,M*,Π*>下是d-d型的(c,d∈I)。在定理4中,取c=0,d=1,则有:形式系统在某形式语义下是演绎的,当且仅当此系统的镜像系统在该形式语义的镜像语义下是归纳的;取c=1,d=0,则有:形式系统在某形式语义下是归纳的,当且仅当此系统的镜像系统在该形式语义的镜像语义下是演绎的。也就是说,对于任何按照某—形式语义建立起来的演绎系统,我们都可给出一个形式语义,并能按照该形式语义建立起一个归纳系统;反之也成立。在这个意义上,演绎系统和归纳系统是一一对应的。2.两个形式语义所解释的形式语言的扩充上面对形式系统进行语义定性,反过来,我们可对形式语义进行语形定性。先给出一个概念。设Ξ=<Ω,M,Π>是L的形式语义,我们称Ξ中的后承关系是有穷可公理化的,若存在有穷的形式系统<Λ(L),Ξ(L),>,使得(i,k∈I)。定理5设Ξ=<Ω,M,Π>是L的形式语义,c,d∈I,则:是有穷可公理化的,当且仅当a是有穷可公理化的。证明:对任意c,d∈I,是有穷可公理化的存在有穷的形式系统S,使得存在有穷的形式系统S*,使得是有穷可公理化的。其中第二个“”使用了定理4以及结果:形式系统S是有穷的形式系统S*是有穷的。证毕。由定理5,对任意有穷(可公理化)演绎系统,我们都可构造一个有穷(可公理化)的归纳系统,反之也成立。也就是说,不但演绎系统和归纳系统是一一对应的,而且其中的有穷(可公理化)的系统也是。最后,我们解决这样的问题:任何真值概念都能为演绎系统和归纳系统所共享。由于演绎系统和归纳系统的形式语义是互为镜像的,所以,我们只需证明互为镜像的两个形式语义的真值概念是相同的即可。为证明互为镜像的两个形式语义的真值概念相同,我们需要对这两个语义所解释的形式语言进行扩充,以便进行比较。设Ξ=<Ω,M,Π>是L的形式语义,Ξ*=<Ω*,M*,Π*>是Ξ的c-d镜像语义,c,d∈I。在L和L*中引入一元逻辑算子符号“”,它在Ξ和Ξ*中的解释都是:对任意i∈I以及赋值M,M(α)=Ti,当且仅当M(α)=。按如下方式,分别与L*和L中已有的n元逻辑算子符号和量词符号相应,在L中引进n元逻辑算子符号f(σ)和量词符号f(Θ)(左栏),在L*中引进n元逻辑算子符号σ和量词符号Θ(右栏):经过扩充,L和L*具有同样的初始符号。现在证明:在L中引入的n元逻辑算子符号f(σ)和量词符号f(Θ)在形式语义Ξ中的解释与L*中原有的n元逻辑算子符号f(σ)和量词符号f(Θ)在形式语义Ξ*中的解释相同的;在L*中引入的n元逻辑算子符号σ和量词符号Θ在形式语义Ξ*中的解释与L中原有的n元逻辑算子符号σ和量词符号Θ在形式语义Ξ中的解释相同的。定理6设Ξ=<Ω,M,Π>是L的形式语义,Ξ*=<Ω*,M*,Π*>是Ξ的c-d镜像语义,c,d∈I,在L和L*中新引入的符号见上,则:(1)对任何L-公式α1,α2,…,αn,α和赋值M∈M以及i∈I,都有:),其中σ是L的n元逻辑算子符号,i1,i2,…,in∈I。(1.2),其中Θ是L的量词符号,θ是L的Q-变元符号,im∈I。(2)对任何L*—公式α1,α2,…,αn,α和赋值M∈M*以及i∈I,都有:其中σ是L*的n元逻辑算子符号,i1,i2,…,in∈I。(2.2)M(Θθ(α))=Ti(M(α)=Tim),其中Θ)是L*的量词符号,θ是L*的Q-变元符号,im∈I。证明:只证(1.1),其余类似可证。M(f(σ)(α1,α2,…,αn))=其中第二个“,”使用了,第四个“,”使用了(k=1,2,…,n)。证毕。从定理6可知,在扩充后的形式语言中,形式语义及其c-