贝叶斯的决策理论及其应用

贝叶斯的决策理论及其应用

半世纪以来，基于拉姆齐、冯诺夫斯基等人发展的伯克斯决策理论，经过一系列公理性系统，已被应用于风险因素或不确定因素下的各种研究。20世纪40年代以来,随着经济学决策理论逐渐成为哲学和认知科学等多学科研究的兴奋点,而贝叶斯决策理论作为决策理论的基础,在实际应用中却因不符合主体认知行为而经受种种批评和其它理论的挑战,在此背景下,对其理论困境的探讨和反思便具有重要意义。一、决策理论的基本原则贝叶斯决策理论是关于人在风险条件或不确定因素下进行决策的理论。自拉姆齐1931年提出主观概率想法,并基于主观概率和效用概念研究决策理论以来,贝叶斯决策理论伴随主观概率和效用理论研究的深入而不断完善。1937年,德·芬尼蒂独立地提出并发展了主观概率理论;1944年冯·诺依曼和摩根斯坦在《博彩理论和经济行为》中建立了现代效用理论。1954年,萨维奇在《统计学基础》中“发展并辩护了一种高度理想化的人在不确定情形下的抉择行为的抽象理论”,他将主观概率与效用理论结合,指出可由行动偏好导出主观概率的分布,进而形成了决策理论的基本模型。至此,贝叶斯决策理论的基本原则——主观期望效用最大化原则形成。贝叶斯决策理论通过给出模型,使抉择者能够适当组合种种信念和愿望,通过评价各备选行为以选取最有价值的方案。旨在量化备选行为后果的价值,根据期望效用最大化原则在各个不确定信念中作出选择。典范的贝叶斯决策模型由四部分组成:基数效用函数、完备的备选方案、关联于策略的联合概率分布,以及期望效用最大化策略。可给定集合和,A、S、C分别为备选行为集、事件状态集和可能后果集,备选行为可看作一个映射。贝叶斯决策理论通过效用函数U和信念度函数P,利用期望效用公式:,通过计算行动方案的期望效用,根据期望效用最大化原则,比较各方案的期望效用作出最优选择。信念度函数P所反映的即是各事件发生的概率,它是按主观主义解释的,被认为是决策主体对于事件的置信度,属于主体的一种主观内在信念。按照拉姆齐等人的观点,可通过对决策者的偏好的观察来对其关于某事件的信念度进行考察。假设是相较于的较好结果,在备选方案“如果,如果┐”和“如果,如果┐”中,决策者对事件的相信程度不低于时,将更加偏好前者,因为选择前者获取较好结果的可能性不低于选择后者,获取较坏结果的可能性不高于选择前者。那么,信念作为一种内省感觉,如何得以测量?拉姆齐给出信念测度的方法:理论上唯一健全的方式便是检查其公开行为。比如提议打赌,决策者愿意接受的赌注比便是主观信念度的反映,拉姆齐同时指出打赌应满足概率演算公式以避免出现绝对败局。合理行动的基础是决策主体的合理的信念,贝叶斯主义者正是看到了合理信念与合理行动的联系,从而将关注点放在风险或不确定状态的决策上。冯·诺依曼和摩根斯坦将贝叶斯决策的内涵归结为三方面:理性预期、风险规避和效用最大化,并给出决策理论的四个公理性假设:(1)优势原则:某选择相较其他选择在某方面占优势,其他方面又不亚于其他选择,则为优势选择;(2)恒定原则:方案描述方式及其顺序不影响方案的选择;(3)传递原则:如果A方案优于B方案,且B方案优于C方案,则A优于C;(4)相消原则:去掉不同方案的相同部分后不影响决策结果。基于上述思想,萨维奇进一步给出包含弱序原则、独立性原则等7个公理假设在内的完善的决策公理体系。根据独立性原则,给定一个决策,若两个可选行为价值相等,即在某事件状态下的后果是无殊的,则确定两行为之间的偏好关系将无关于后果。由弱序原则得知,假设决策者的偏好≧为一个弱序,当且仅当对任意a,b,c∈X,均满足(1)传递性:如果a≧b且b≧c,则有a≧c;(2)连通性:a≧b或b≧c。进一步也可定义无殊关系和严格偏好关系;根据偏好一致性原则,首先,决策者对不确定信念度的赋值具有一致性。定性层面的信念度的大小关系与其弱序关系相一致,而定量层面的信念度则通过概率的可加性和乘法公式这两个动态传播规则加以表明。根据可加性规则,可诉诸其他事件的信念度指派以确定事件的信念度指派。例如当某一命题的信念度为0.2时,则其否定命题的信念度为0.8。其次,决策者价值赋值也具有一致性。定量大小是对定性的序关系表达,即效用大小关系与偏好的弱序是一致的。根据价值赋值的一致性,对于备选行为和,决策者对的期望效用不低于对的期望效用时,对的偏好不低于,从而确保决策者所选行为有最大价值。此处衍生出新问题:信念度赋值不满足概率公理会有何后果?拉姆齐引入荷兰赌(DutchBook)例子:X、Y二人就事件A打赌。设X对A的信念度P表现为赌商(betquotient),赌注为S(不等于0),X愿意出资PS参赌,若就事件A达成赌博意向,Y将出资(1-P)S。当V(A)=T,即A为真,X将从Y获(1-P)S;如V(A)=F,即A为假,则X将支付PS给Y。假设有P(A)+P(┐A)>1,或0<P(A)+P(┐A)<1,此时X对A的信念度不符合一致性,那么对手Y将利用这一点在赌博中始终获益。因为当P(A)+P(┐A)>1时,可将赌注定为S>0,A发生则有V(A)=T,V(┐A)=F,Y据约定需支付(1-P(A))S给X,而X将支付P(┐A)S给Y,对于X的赌局效用EU=(1-P(A))S+P(┐A)S=[1-(P(A)+P(┐A))]S,因为(P(A)+P(┐A)>1,所以EU<0,即效用为负,X在赌博中亏损,Y将获益。反之亦然。当0<P(A)+P(┐A)<1时,EU<0,即效用为负,X在赌博中亏损,Y将获益。反之亦然。通上以上分析,若主体对事件A的信念度赋值不满足概率公理,他在实际打赌中总处于亏损地位。“荷兰赌”从反面阐释了贝叶斯决策理论的理性观:在决策者的信念度赋值不满足概率公理的情形下,他的价值和信念度赋值是不一致的,决策是并非以追求最大效用为目标的非理性决策。因此,决策者应将合理信念度赋予某事件,信念度应满足可加性等概率公理、一致性等公理假设,从而实现决策的期望效用最大化。二、贝叶斯决策理论与认知行为之间的矛盾1.选择共同结果效应以Allais悖论为代表的“共同结果效应”最先引起了理论学家们对实际决策行为与理论所“规范”的标准行为不一致问题的思考(ChrisStarmer,2000)。Allais悖论中对“共同结果效应”的描述是:参与者在两个备选方案中选择:;。是确定获得100万美元,表示以0.89的概率获100万美元,以0.1的概率获500万美元、剩下0.01的概率什么也得不到。参与者接下来面对两个新的备选行为:;。包括萨维奇的选择是:在与中选择,在与中选择,然而该选择方式正好违背了理论。如果决策者的行为符合贝叶斯决策理论,可推导出他必然在和或者和中作出选择。Allais悖论作为“共同结果效应”的特例,以下方案都会引发有悖于理论的结论:和;其中。其中,且c、x和y均为正实数。方案和均以1-p的概率获取“共同结果”c,独立性原则表明决策者对两种方案的偏好均无关于c。但研究发现,c较大影响着决策者对备选方案的选择。c接近y,则决策者愿意选择;c等于0,则决策者愿意选择。类似例证还有“共同比率效应”,其形式为:和,。据独立性公理,λ为任意常数时,决策者对和的选择无关于p。实验研究表明,p从1递减到0时,决策者的选择逐渐从从转变为。“共同结果效应“和“共同比率效应”现象是占绝大部分的决策者的共同行为而非个体随机行为,呈现出系统的选择方向。20世纪70年代末以来,理论学家试图通过“传统改进模式”下的一系列新理论较好解释此问题,新理论尽管保留了偏好函数“期望效用最大化”的内核,然而其共同特征便是允许偏好函数不满足独立性公理,给传统理论带来挑战。2.ellsger悖论:实践的反思按照效用和信念度赋值的一致性要求,萨维奇给出了饱受争议的确凿性原则(TheSure-thingPrinciple)以表明行为中间的优先性不应取决于那些对两个行为有完全等同结果的状态。只要两个备选行为在某情形之外是一致的,则在这个直觉偏好之上的期望效用的度量也满足这一原则。“Ellsberg悖论”最早对确凿性原则提出质疑,通过说明决策者对不确定事件的信念度赋值的非唯一性和不稳定性来说明该原则与实际决策的背离。根据Ellsberg的一个著名实验,假定罐中球为90个,黑球或黄球60个,红球30个。第一组赌局:赌局:红球获100元;黑球或黄球获0元。赌局:黑球获100元;黄球或红球获0元。第二组赌局:赌局:黑球获0元;黄球或红球获100元。赌局:红球获0元;黑球或黄球获100元。实验表明绝大多数人在第一组赌局中选择,在第二组赌局中选择,然而该种选择无法用确凿性原则解释。因为选择表明,决策者认为拿到红球的概率大于拿到黑球的概率。不论拿到黄球的信念度赋值是多少,面对第二组都应选择,因为:。由此可得,当两个行为的期望效用的大小关系为时,则应有。结果表明决策者在估计不确定事件的概率时存在模糊厌恶心态,即冒险时习惯用已知概率作为根据,从而质疑了将信念度函数作为决策主体在不确定状态下进行决策的根本依据这一基本假设。3.基于概率的市场条件心理学家Slovic(1971)探讨了“偏好逆转”问题。。给被试提供两种自选赌局:(1)机会赌局(P-bet):有p的机会得到$X,有1-p的机会得到$x;(2)金钱赌局($-bet):有q的机会得到$Y,有1-q的机会得到$y。其中,X>x,Y>y,p>q,Y>X。在P-bet赌局中,赢的概率较大,但可能赢得的金额较小(大概率、小结果),而在$-bet赌局中赢的概率较小但可能赢得的金额较大(小概率、大结果),$-bet和P-bet旨在考察决策者对于获取概率或回报金额的看重程度。令被试者对两种赌局作出“评价”,评价方法有两种:(1)如果可以转让参加这些赌局的权利,请被试者指出对于每种赌局愿意接受的最低卖价或支付意愿;(2)如果让他们买,则请指出其最高出价或接受意愿。根据贝叶斯理论,显然决策者将对所选择的赌局给予更高估值。而Slovic发现在实际选择和报价中,大部分决策者的选择和估值并不一致,通常给予$-bet更高估值却选择P-bet。“偏好逆转”现象表明决策者选择上的不一致性。一种可能是决策者对备选行为的估值和选择并非源于同一心理过程,面对两种赌局时,估值和选择并不适合于同一偏好顺序;另一种可能是“偏好逆转”的原因在于“选择违反了传递性公理”。责难不限于此,行为经济学家AmosTversky和RichardThaler等人均认为该现象违背了决策理论中关于偏好的所有原则。该现象的出现进一步表明了个人偏好并非标准理论的最优化的选择,个体甚至可能在概率与最终支付相同的赌局之间作出不一致的选择,这是从心理学角度对偏好一致性原则的挑战。4.问题描述方式的依赖心理学家在对贝叶斯理论的适用性进行检验的过程中发现:完全相同的两个备选行为,仅改变其描述方式或结构,便会导致决策者完全不一样的选择。“亚洲疾病”实验(A.Tversky&D.Kahneman)充分展示了决策者对问题描述方式的依赖,即框架效应。假设美国面临亚洲疾病的威胁,有600人因染上疾病可能死亡。政府准备了两套医疗方案。情景Ⅰ:方案A将有200人获救;方案B将有l/3的可能600人均获救,但有2/3的可能600人均无法获救。情景Ⅱ将医疗方案实施效果的表述改变为:方案C将有400人死亡;方案D将有1/3的可能无人死亡,2/3的可能600人均死亡。情景Ⅰ中72%的被试者选择了方案A,情景Ⅰ中78%的被试者选择了方案D。两种情景显然只是表述不同,这说明主体的真实决策违背了恒定性原则。此外,理论学家还发现许多类似悖论,这些悖论是对传统理论进行改进的主要出发点,也是检验改进后模型的重要参考。三、管理决策与决策理论之自然延伸。在德国,传统改进模式从信息修正方向实现决策优化,仍采用了通过建立数值模型并寻找最优化函数值的方法。其主要特征在于将主体的决策选择仍基于偏好函数的最优化,保留了贝叶斯决策理论的期望效用最大化这一内核。根据贝叶斯理论,主体偏好是基于信念度的偏好,JohnQuiggin(1982)考虑到外界信息涉入对主体偏好的影响,认为偏好系统中应给出关于信念度调整的暗示,提出了包括一系列公理体系的等级依赖期望效用模型(RankDependentExpectedUtility,RDEU)。RDEU是唯一提出两个结果的概率权重与优势原则相一致的模型,解决办法在于通过引入体现了决策主体对待非确定性事件的态度的累积概率转化函数对标准理论的信念度函数进行修正,依据结果的等级及概率赋予结果权重(赋予分布于底端和顶端的事件以高权重而中间事件以低权重),从而有效解释Allais问题。REDU理论满足了优势性、传递性和连续性原则,可作为贝叶斯决策理论的自然延伸。与RDEU模型有关的发展还有DavidSchmeidler(1989)对模糊性的研究。Schmeidler在《非可加性的主观概率和期望效用》中给出了作为REDU的一种的CEU模型。他指出,运用非可加概率使得能传递信息,可加性概率不能对此解释。如果在贝叶斯决策模型中允许具有非可加的信念,并对据此计算的期望效用认可,就能将贝叶斯法则扩展到可加性期望效用不能应用的情形。用非可加测度体现了单纯效用函数不能模型化的不确定情形下的决策态度,解决了Allais和Ellsberg悖论,以及人们同时购买保险和彩票的行为,成为不确定情形下建立决策模型的有效工具。此外,Gilboa和Schmeidler(1989)提出了概率论基础上的最大最小期望效用模型(Max-MinExpectedUtility,MMEU)。由于大部分人对某事件发生可能性大小的回答是“x%和y%之间”,只要满足系列公理,决策者的信念便可用有限可加测度的集合描述。根据MMEU模型,决策者可给定一类主观概率,其中每一个都有可能发生,这就体现了不确定性信念的本质。与传统模式相对应的另一条决策理论的发展进路是非传统改进模式。立足点在于将心理学研究与决策研究有效结合,在有力的实验证据的基础上描述选择过程并建立模型,对标准理论的期望效用原则进行修正,其中著名的是卡尼曼(D.Kahneman)和特沃斯基(A.Tversky)的前景理论。他们发现尽管不确定条件下人们对概率的判断与决策系统偏离“诺伊曼-摩根斯坦-萨维奇”的决策理论,但偏离是有规律的。二人在《前景理论:风险决策的一种分析方法》中提出了新的决策模型。前景理论把决策行为分为两阶段:前期编辑阶段和后期评估阶段。编辑阶段通过数据合并、转换、分解和约减几种运算组织和再表述意见,以简化后期评估与选择,之后通过评估编辑的期望以选择价值最大的期望。评估阶段通过两种尺度π和v以测量期望的总效用V(V=π(p)·v(x)),π为概率p对应的决策权重π(p),v为每可能后果x确定的主观价值v(x)。理论观点可概括为三点:第一,非理性人的决策往往关注于相对于某参照点的财富变化水平,而非最终的财富水平状态;第二,决策者在面临收益时趋于风险规避行为,而面临损失时则趋于风险寻求,这反映出主体对收益与损失的认知的非对称性;第三,决策主体对损失变化的敏感度远大于收益变化,并提出了价值函数模型。此外,前景理论还较好地描述了禀赋效应(EndowmentEffect),即主体往往倾向于对自身财产外的东西的获取给予更高的评价。前景理论从主体自身的行为特征和心理特质出发,对贝叶斯决策理论的假设和优势原则进行了质疑,揭示了影响选择行为的非理性心理因素。尽管在决策规则的选择上可能会受信息获取能力的制约,或在选择策略上需考虑第三方认可等方面的因素,但该理论追求的是决策程序选择的“灵活及智慧”,而非传统意义上最终决策的最优化。四、决策治理的路径作为贝叶斯理论的核心概念的“效用”概念在一定程度上取决于决策者的心理满足度,但理论基于“理性人”假设,未能充分考虑现实中有限理性引发的确定性效应、主观概率模糊、偏好不一致等因素,实际中常因主体行为与理论规则的不一致而饱受质疑。鉴于此,美国经济学家西蒙(H.A.Simon)提出了“有限理性说”。西蒙批评了冯·诺依曼的对策论和萨维奇的统计决策论。他认为决策者的行动不仅受制于时间、信息等外界因素,也受制于决策者自身的价值观、感情因素等,人们对信息处理能力的不足以及对信息处理的倾向性都可能导致决策的有限理性。根据有限理性决策理论:决策过程只是考虑其中部分选择;决策者面对多个备选方案时,并非如理性决策理论所述,对各个方案同时加以评判,而是循序成对地进行比较,即先在两方案中选择其一;都不满意时,则保留较好方案与下一方案比较。决策原则是“满意原则”而非“效用最大化”原则,在循序比较中找到满意方案时搜寻结束。有限理性理论基于决策现实修正经典理论中不切实际的前提,开辟了决策理论的新范式。修正的本质在于考虑决策中客观约束(信息约束)和主观约束(心理与行为约束)条件。在此基础上遵循两条修正进路:第一,修正充分信息。决策者获取的信息不充分使决策受制于信息的有限性;第二,修正决策标准。决策者认知能力的有限性决定了决策标准是满意标准而非最优化标准。贝叶斯决策理论由此分化,部分理论家坚持传统分析框架,将信息作为制约决策的主要因素,在将主体的决策选择仍基于寻找最优化偏好函数的方法,并保留贝叶斯理论期望效用最大化的内核的基础上,运用数理和经济学知识,发展起来基于非可加信念度的期望效用理论等大量数理模型。另一部分研究者从心理约束机制出发,视对现实行为过程的观察为制约决策的主要因素,在遵循“满意原则”的基础上研究现实决策中有悖于理性的偏差行为,从而促进了前景理论等描述性决策理论的发展。事实上,从认知角度修正并发展标准理论具有重要意义。理论层面看,以前景理论为代表的各种非传统改进模式的提出是对理论与现实原型的“恰当相符性”这一检验理论正确与否的恒久标准的再一次验证。当一个理论与现实原型严重不符时,就会导致各种悖论,必须提出新的理论消除悖论。是“恰当相符性”原则促使了非传统改进模式的出现,而新理论的提出无疑体现了人类智慧,标志着人类对自身认识的不断提高。实践层面看,随着决策理论与认知心理学的逐渐融合,决策研究对人类实践的指导意义也越来越大。如保罗·斯诺维奇(PaulSlovic)进行了“不确定环境下决策过程的心理学研究”,以及大量关于认知决策的启发式和认知偏差的研究,通过寻找各种启发式策略的产生背景和发展轨迹,有利于产生更多关于决策的启发式策略的成果。更多心理学家逐渐关注情感与决策之间的关系,把情绪作为决策研究变量进而提出情感启发式策略。此外,与认知结合为决策研究提供了一个崭新的哲学视角。心理学家吉仁泽(GerdGigerenzer)等人关注于“启发式策略