2024届北京市清华大学附中高二上数学期末质量跟踪监视试题含解析

2024届北京市清华大学附中高二上数学期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数为偶函数，则在处的切线方程为（）A. B.C. D.2．在四棱锥中，四边形为菱形，平面，是中点，下列叙述正确的是（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面3．已知向量与平行，则（）A. B.C. D.4．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数相同的是（）A.极差 B.方差C.平均数 D.中位数5．函数的值域为（）A. B.C. D.6．已知圆，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则最大值为（）A.3 B.4C.5 D.67．元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走.遇店添一倍，逢友饮一斗.”基于此情景，设计了如图所示的程序框图，若输入的，输出的，则判断框中可以填（）A. B.C. D.8．已知直线，，若，则实数的值是（）A.0 B.2或-1C.0或-3 D.-39．抛物线的焦点到准线的距离是A.2 B.4C. D.10．已知双曲线的离心率为，左焦点为F，实轴右端点为A，虚轴上端点为B，则为（）A.直角三角形 B.钝角三角形C.等腰三角形 D.锐角三角形11．设，则“”是“直线与直线”平行的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件12．若直线与平行，则m的值为（）A.－2 B.－1或－2C.1或－2 D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某天上午只排语文、数学、体育三节课，则体育不排在第一节课的概率为_________14．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.15．已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为，则，若把它推广到空间长方体中，体对角线与平面，平面，平面所成的角分别为，则可以类比得到的结论为___________________.16．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知三角形的三个顶点是，，（1）求边上的中线所在直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程18．（12分）如图甲，在直角三角形中，已知，，，D，E分别是的中点.将沿折起，使点A到达点的位置，且，连接，得到如图乙所示的四棱锥，M为线段上一点.（1）证明：平面平面；（2）过B，C，M三点的平面与线段A'E相交于点N，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线DN与平面A'BC所成角的正弦值.①；②直线与所成角的大小为；③三棱锥的体积是三棱锥体积的注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．（12分）已知圆与（1）过点作直线与圆相切，求的方程；（2）若圆与圆相交于、两点，求的长20．（12分）总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台16200元，第一年每台设备的维修保养费用为1100元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益8100元（1）每台充电桩第几年开始获利？（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大21．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，直线PA与CD所成角为60°.（1）求直线PD与平面ABCD所成角的正弦值；（2）求二面角的正弦值.22．（10分）已知直线：和：（1）若，求实数m的值；（2）若，求实数m的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据函数是偶函数可得，可求出，求出函数在处的导数值即为切线斜率，即可求出切线方程.【详解】函数为偶函数，，即，解得，，则，，且，切线方程为，整理得.故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查利用导数求切线方程，属于基础题.2、D【解析】利用反证法可判断A选项；利用面面垂直的性质可判断BC选项；利用面面垂直的判定可判断D选项.【详解】对于A选项，因为四边形为菱形，则，平面，平面，平面，若平面，因为，则平面平面，事实上，平面与平面相交，假设不成立，A错；对于B选项，过点在平面内作，垂足为点，平面，平面，则，，，平面，而过作平面的垂线，有且只有一条，故与平面不垂直，B错；对于C选项，过点在平面内作，垂足为点，因为平面，平面，则，，，则平面，若平面平面，过点在平面内作，垂足为点，因为平面平面，平面平面，平面，平面，而过点作平面的垂线，有且只有一条，即、重合，所以，平面平面，所以，，但四边形为菱形，、不一定垂直，C错；对于D选项，因为四边形为菱形，则，平面，平面，，，平面，因为平面，因此，平面平面平面，D对.故选：D.3、D【解析】根据两向量平行可求得、的值，即可得出合适的选项.【详解】由已知，解得，，则.故选：D.4、C【解析】根据茎叶图依次计算甲和乙的平均数、方差、中位数和极差即可得到结果.【详解】甲的平均数为：；乙的平均数为：；甲和乙的平均数相同；甲的方差为：；乙的方差为：；甲和乙的方差不相同；甲的极差为：；乙的极差为：；甲和乙的极差不相同；甲的中位数为：；乙的中位数为：；甲和乙的中位数不相同.故选：C.5、C【解析】根据基本不等式即可求出【详解】因为，当且仅当时取等号，所以函数的值域为故选：C6、C【解析】由题意，点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，进而可得，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，从而即可求解.【详解】解：由题意，圆，所以圆C是以为圆心，半径为5的圆，因为过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，所以点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，所以由弦长公式有，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，所以，故选：C.7、D【解析】根据程序框图的算法功能，模拟程序运行即可推理判断作答.【详解】由程序框图知，直到型循环结构，先执行循环体，条件不满足，继续执行循环体，条件满足跳出循环体，则有：当第一次执行循环体时，，，条件不满足，继续执行循环体；当第二次执行循环体时，，，条件不满足，继续执行循环体；当第三次执行循环体时，，，条件不满足，继续执行循环体；当第四次执行循环体时，，，条件不满足，继续执行循环体；当第五次执行循环体时，，，条件满足，跳出循环体，输出，于是得判断框中的条件为：，所以判断框中可以填：.故选：D8、C【解析】由，结合两直线一般式有列方程求解即可.【详解】由知：,解得：或故选：C.9、D【解析】因为抛物线方程可化为，所以抛物线的焦点到准线的距离是，故选D.考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的几何性质.10、A【解析】根据三边的关系即可求出【详解】因，所以，而，，，所以，即，所以为直角三角形故选：A11、D【解析】由两直线平行确定参数值，根据充分必要条件的定义判断【详解】时，两直线方程分别为，，它们重合，不平行，因此不是充分条件；反之，两直线平行时，，解得或，由上知时，两直线不平行，时，两直线方程分别为，，平行，因此，本题中也不是必要条件故选：D12、C【解析】利用两直线平行的判定有，即可求参数值.【详解】由题设，，可得或.经验证不重合，满足题意，故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】写出语文、数学、体育的所有可能排列，找出其中体育不排在第一节课的情况，利用概率公式计算即可.【详解】所有可能结果如下：（语文，数学，体育）；（语文，体育，数学）；（数学，语文，体育）：（数学，体育，语文）；（体育，语文，数学）；（体育，数学，语文）,其中体育不排在第一节课的情况有四种，则体育不排在第一节课的概率14、【解析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知，由中位线定理可得，设可得，联立方程可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知，由中位线定理可得，即求得，所以.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.15、【解析】先由线面角的定义得到，再计算的值即可得到结论【详解】在长方体中，连接，在长方体中，平面，所以对角线与平面所成的角为，对角线与平面所成的角为,对角线与平面所成的角为，显然，，，所以,，故答案为：16、【解析】先求点关于直线的对称点，连接,则直线即为所求.【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，又点，所以，直线的方程为：，由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程:.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）先求出BC的中点坐标，再利用两点式求出直线的方程；（2）先求出BC边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程.【详解】（1）设线段的中点为因为，，所以的中点，所以边上的中线所在直线的方程为，即（2）因为，，所以边所在直线的斜率，所以边上的高所在直线的斜率为，所以边上的高所在直线的方程为，即【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属于基础题.18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得证；（2）分别选①，②，③可求得为的中点，再以为坐标原点，向量的方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.利用空间向量求得所求的线面角.【小问1详解】分别为的中点，.，，.，，平面.又平面，∴平面平面.【小问2详解】（2）选①，；，，，，为的中点.选②，直线与所成角的大小为；，∴直线与所成角为.又直线与所成角的大小为，，，为的中点.选③，三棱锥的体积是三棱锥体积的，又，即，为的中点.∵过三点的平面与线段相交于点平面，平面.又平面平面，，为的中点.两两互相垂直，∴以为坐标原点，向量的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则；.设平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为.由，得.令，得.则.∴直线与平面所成角的正弦值为.19、（1）或（2）【解析】（1）根据已知可得圆心与半径，再利用几何法可得切线方程；（2）联立两圆方程可得公共弦方程，进而可得弦长.【小问1详解】解：圆的方程可化为：，即：圆的圆心为，半径为若直线的斜率不存在，方程为：，与圆相切，满足条件若直线的斜率存在，设斜率为，方程为：，即：由与圆相切可得：，解得：所以的方程为：，即：综上可得的方程为：或【小问2详解】联立两圆方程得：，消去二次项得所在直线的方程：，圆的圆心到的距离，所以.20、（1）公司从第3年开始获利；（2）第9年时每台充电桩年平均利润最大3600元【解析】（1）判断已知条件是等差数列，然后求解利润的表达式，推出表达式求解n即可（2）利用基本不等式求解最大值即可【详解】（1）每年的维修保养费用是以1100为首项，400为公差的等差数列，设第n年时累计利润为f（n），f（n）=8100n-[1100+1500+…+（400n+700）]-16200=8100n-n（200n+900）-16200=-200n2+7200n-16200=-200（n2-36n+81），开始获利即f（n）＞0，∴-200（n2-36n+81）＞0，即n2-36n+81＜0，解得，所以公司从第3年开始获利；（2）每台充电桩年平均利润为当且仅当，即n=9时，等号成立即在第9年时每台充电桩年平均利润最大3600元【点睛】本题考查数列与函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题21、（1）（2）【解析】（1），所以PA与AB所成的锐角或直角等于PA与CD所成角，然后过P在平面PAB内作，可得平面ABCD，从而可求出答案.（2）可证平面PAB，过B在平面PAB内作，连结CF，则是二面角的平面角，从而可求解.【小问1详解】因为，所以PA与AB所成的锐角或直角等于PA与CD所成角，可知，是正三角形.过P在平面PAB内作，垂足为E，因为平面平面ABCD，所以平面ABCD，是直线PD与平面ABCD所成角.在正中，，，所以，故直线PD与平面ABCD所成角的正弦值为.【小问2详解】因为，平面平面ABCD，平面平面AB