高三北师大版数学（理）一轮复习小题专项集训（19）推理证明、算法、复数 含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精小题专项集训(十九）推理证明、算法、复数(时间：40分钟满分：75分）一、选择题(每小题5分，共50分)1．复数z＝eq\f(i，1－i)在复平面上对应的点位于 ()．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析z＝eq\f(i,1－i)＝eq\f(i1＋i,1＋i1－i)＝eq\f（－1＋i，2）.故z在复平面上对应的点位于第二象限．答案B2．i是虚数单位，复数eq\f（1－3i，1－i)＝ （)．A．1－i B．1 C．2－i D．2＋i解析eq\f(1－3i，1－i)＝eq\f(1－3i1＋i，1－i1＋i）＝eq\f(4－2i，2)＝2－i.答案C3．①已知p3＋q3＝2,求证p＋q≤2,用反证法证明时,可假设p＋q≥2；②已知a,b∈R，｜a｜＋｜b｜〈1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1。用反证法证明时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1。以下结论正确的是 (）．A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确答案D4．P＝eq\r(a）＋eq\r（a＋7）,Q＝eq\r（a＋3）＋eq\r（a＋4)（a≥0），则P，Q的大小关系是（）．A．P〉Q B．P＝QC．P〈Q D．由a的取值确定解析要证P〈Q，只需证P2<Q2，即证:2a＋7＋2eq\r(aa＋7）〈2a＋7＋2eq\r(a＋3a＋4)，即证：a2＋7a<a2＋7a＋12,即证：0<12，∵0〈12成立，∴P<Q成立．故选C。答案C5．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提；③函数f(x）＝2x＋1满足增函数的定义是小前提；④函数f(x）＝2x＋1满足增函数的定义是大前提．其中正确的命题是 ()．A．①② B．②④ C．①③ D．②③解析大前提是增函数的定义，小前提是函数f（x）＝2x＋1满足增函数的定义．答案C6．（2013·徐州模拟)利用数学归纳法证明不等式1＋eq\f（1，2）＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f（1，2n－1）<f（n)（n≥2，n∈N*）的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了 （)．A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项解析1＋eq\f（1,2）＋eq\f(1,3）＋…＋eq\f(1,2k＋1－1）－1＋eq\f（1，2）＋eq\f(1，3)＋…＋eq\f（1，2k－1）＝eq\f（1,2k）＋eq\f（1，2k＋1)＋…＋eq\f（1，2k＋1－1），共增加了2k项,故选D。答案D7．i为虚数单位,eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1＋i，1－i)））2013＝ ()．A．0 B．i C．－i D．2013解析eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1＋i,1－i))）2013＝eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(1＋i1＋i,1－i1＋i)))2013＝i2013＝i4×503＋1＝i.答案B8．如图所示的程序框图中，循环体执行的次数是 （)．A．50 B．49 C．100 D．99解析从程序框图反映的算法是S＝2＋4＋6＋8＋…，i的初始值为2，由i＝i＋2知,执行了49次时，i＝100，满足i≥100,退出循环．答案B9．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出函数的是（)．A．f（x)＝x2 B．f（x）＝eq\f（1，x)C．f(x)＝lnx＋2x－6 D．f(x)＝sinx解析由框图知输出的f（x)为奇函数且存在零点，只有f（x)＝sinx符合．答案D10．观察下图12343456745678910…则第几行的各数之和等于20132 (）．A．2013 B．2011 C．1006 D．1007解析由题设图知，第一行各数和为1，第二行各数和为9＝32，第三行各数和为25＝52,第四行各数和为49＝72，…,∴第n行各数和为(2n－1)2.令2n－1＝2013，解得n＝1007.答案D二、填空题（每小题5分,共25分)11．设a，b，c，d∈R,则复数(a＋bi)（c＋di)为实数的充要条件是________．解析因为(a＋bi)(c＋di）＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i,a,b，c，d∈R，所以复数(a＋bi）(c＋di)为实数的充要条件是ad＋bc＝0。答案ad＋bc＝012．已知程序框图如图所示，该程序运行后,为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填________．解析a＝1时进入循环,此时b＝21＝2；a＝2时再进入循环，此时b＝22＝4；a＝3时再进入循环,此时b＝24＝16，∴a＝4时应跳出循环，∴循环满足的条件为a≤3.答案a≤313．(2013·济南模拟)用数学归纳法证明1＋eq\f（1，2)＋eq\f(1，3）＋…＋eq\f(1，2n－1)<n（n∈N，且n〉1),第一步要证的不等式是__________________________________________．解析当n＝2时，左边＝1＋eq\f（1，2）＋eq\f（1,22－1)＝1＋eq\f（1，2）＋eq\f(1，3），右边＝2,故填1＋eq\f（1，2）＋eq\f（1,3)〈2.答案1＋eq\f（1，2）＋eq\f(1,3）〈214．观察下列等式:①cos2α＝2cos2α－1;②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1;③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1。可以推测m－n＋p＝________。解析m＝29＝512,p＝5×10＝50。又m－1280＋1120＋n＋p－1＝1,∴n＝－400。答案96215．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比eq\f(AE，EB)＝eq\f（AC，BC)，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中（如图所示),平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于点E，则得到的类比的结论是________．解析在题图（1)△ABC中，作ED⊥AC于D,EF⊥BC于F，则ED＝EF，∴eq\f(AC,BC）＝eq\f（S△AEC,S△BCE)＝eq\f（AE,EB)。类比:由题意知E到平面ADC与平面BCD的距离相等,则eq\f(VE－ADC，VE－BDC)