高三北师大版数学（理）一轮课时检测 8.2 空间几何体的表面积与体积 含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精8。2空间几何体的表面积与体积一、选择题1．棱长为2的正四面体的表面积是（)．A。eq\r（3)B．4C．4eq\r(3)D．16解析每个面的面积为：eq\f(1,2)×2×2×eq\f（\r（3),2)＝eq\r（3）.∴正四面体的表面积为：4eq\r（3）.答案C2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的()．A．2倍B．2eq\r（2）倍C。eq\r（2）倍D.eq\r（3，2）倍解析由题意知球的半径扩大到原来的eq\r(2)倍,则体积V＝eq\f(4，3)πR3，知体积扩大到原来的2eq\r（2）倍．答案B3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图,则该多面体的体积为（)．（三视图：主(正）试图、左（侧）视图、俯视图）A。eq\f（142,3）B。eq\f(284,3）C。eq\f(280,3)D.eq\f(140,3)解析根据三视图的知识及特点，可画出多面体的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的,所以所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－eq\f（1，3)×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)×2×2))×2＝eq\f（284,3).答案B4．某几何体的三视图如下，则它的体积是（)（三视图：主（正）试图、左(侧)视图、俯视图）A．8－eq\f（2π,3) B．8－eq\f（π,3）C．8－2π D.eq\f（2π，3）解析由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V＝23－eq\f(1,3）×π×2＝8－eq\f（2π,3)。答案A5．已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的半径为1,则该几何体的体积为（)（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）A．24－eq\f(3,2）πB．24－eq\f(π，3)C．24－πD．24－eq\f（π,2）解析据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3，4，半圆柱的底面半径为1,母线长为3，故其体积V＝2×3×4－eq\f（1，2)×π×12×3＝24－eq\f（3π,2)。答案A6．某品牌香水瓶的三视图如图(单位:cm)，则该几何体的表面积为()(三视图:主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）A.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(95－\f（π，2)））cm2B。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（94－\f(π，2））)cm2C.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(94＋\f（π,2)））cm2D。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（95＋\f(π，2)））cm2解析这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－eq\f(π，4）＝30－eq\f(π，4);中间部分的表面积为2π×eq\f(1，2)×1＝π，下面部分的表面积为2×4×4＋16×2－eq\f(π，4)＝64－eq\f（π,4).故其表面积是94＋eq\f（π，2）。答案C7．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝eq\r(3)，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S—ABC的体积为()．A．3eq\r（3）B．2eq\r(3)C。eq\r(3)D．1解析由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D,设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S—ABD和C—ABD,在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝eq\f（\r(3）,3)x,又因为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC中，BD＝eq\r（3）(4－x)，所以eq\f(\r（3），3)x＝eq\r(3）（4－x），所以x＝3,AD＝BD＝eq\r(3),所以三角形ABD为正三角形，所以V＝eq\f（1,3)S△ABD×4＝eq\r(3)。答案C二、填空题8．三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC,PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于________．解析依题意有,三棱锥PABC的体积V＝eq\f(1，3)S△ABC·|PA|＝eq\f（1,3)×eq\f（\r（3），4）×22×3＝eq\r（3)。答案eq\r(3)9．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为________．解析设圆柱的底面半径是r，则该圆柱的母线长是2r,圆柱的侧面积是2πr·2r＝4πr2,设球的半径是R，则球的表面积是4πR2，根据已知4πR2＝4πr2，所以R＝r。所以圆柱的体积是πr2·2r＝2πr3，球的体积是eq\f(4,3)πr3，所以圆柱的体积和球的体积的比是eq\f(2πr3,\f(4,3）πr3)＝3∶2。答案3∶210．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积是________．解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为eq\f（\r（3),2）,连接顶点和底面中心即为高,可求得高为eq\f（\r(2）,2)，所以体积V＝eq\f（1，3）×1×1×eq\f（\r(2),2）＝eq\f（\r（2),6）。答案eq\f（\r(2)，6)11．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．解析由球的半径为R,可知球的表面积为4πR2。设内接圆柱底面半径为r，高为2h，则h2＋r2＝R2。而圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4πeq\f(r2＋h2,2)＝2πR2(当且仅当r＝h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR2,此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR2。答案2πR212．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2cm,高为5cm,则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1解析根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分,则可知所求最短路线的长为eq\r（52＋122）＝13(cm)．答案13三、解答题13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH。图2、图3分别是该标识墩的主视图和俯视图．（1）请画出该安全标识墩的左视图；（2）求该安全标识墩的体积．解析（1)左视图同主视图,如图所示：（2）该安全标识墩的体积为V＝VPEFGH＋VABCDEFGH＝eq\f（1，3)×402×60＋402×20＝64000(cm3)．14.一个几何体的三视图如图所示．已知主视图是底边长为1的平行四边形,左视图是一个长为eq\r（3),宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V;（2)求该几何体的表面积S。（三视图：主（正）试图、左(侧)视图、俯视图)解析（1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为eq\r(3），所以V＝1×1×eq\r（3）＝eq\r(3）.(2)由三视图可知，该平行六面体中,A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，S＝2×（1×1＋1×eq\r（3）＋1×2)＝6＋2eq\r（3).15．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，主视图(或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,左视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．（1)求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S.解析由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8,高为h1的等腰三角形,左、右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如右图所示．（1）几何体的体积为：V＝eq\f（1,3）·S矩形·h＝eq\f(1,3）×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝eq\r(42＋32）＝5.左、右侧面的底边上的高为：h2＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)。故几何体的侧面面积为：S＝2×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)×8×5＋\f(1，2)×6×4\r(2)）)＝40＋24eq\r（2).16．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.（1)求该四面体的体积的最大值;（2）当四面体的体积最大时，求其表面积．解析(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a,AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E,连接BP、EP、CP。得到AD⊥平面BPC，∴VA—BCD＝VA-BPC＋VD—BPC＝eq\f(1,3)·S△BPC·AP＋eq\f(1,3）S△BPC·PD＝eq\f(1，3）·S△BPC·AD＝eq\f（1，3)·eq\f(1，2）·aeq\r（a2－\f（x2，4）－\f(a2,4））·x＝eq\f(a，12）eq\r（3a2－x2x2)≤eq\f（a,12)·eq\f（3a2，2)＝eq\f(1，8）a3（当且仅当x＝eq\f（\r（6),2）a时取等号)．∴该四面体的体积的最大值为eq\f（1，8)a3。（2）由（1）知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形,其腰长为a