2024版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.1指数4.1.2无理指数幂及其运算性质导学案新人教A版必修第一册

4.1.2无理数指数幂及其运算性质【学习目标】(1)理解无理数指数幂的概念．(2)掌握实数指数幂的运算性质，能利用已知条件求值．题型1无理数指数幂的运算【问题探究】上一节我们学习了有理数指数幂的运算，能否把有理数指数幂的运算性质推广到实数指数幂运算？例1计算下列各式的值：142+1×学霸笔记：无理数指数幂的运算方法(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同．(2)在进行无理数指数幂的运算时，一定要注意按照运算性质进行变形、计算，不能为了简化某一个数字而改用、错用公式．若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式．跟踪训练1计算下列各式的值(式中字母均是正数)：123m323题型2实数指数幂的运算例2(1)求值：1251(2)(a12·3b2)－3÷b-4·a学霸笔记：实数指数幂的运算和上一节的有理数指数幂的运算方法相同．跟踪训练2(1)计算：125(2)化简：a43-8a13b题型3指数幂运算中的条件求值例3已知正实数a满足a＋a－1＝4，求下列各式的值；1a12+a-12；一题多变将本例条件改为x12+x-学霸笔记：指数幂运算中的条件求值的方法(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．跟踪训练3已知x>1且x2＋x－2＝11，求x－x－1的值．随堂练习1.(A．1B．2C．2D．222．已知a＋a－1＝6，则a12-aA．2B．－2C．22D．±23．手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低14，则现在价格为2560元的手机，两年后价格可降为(A．1440元B．900元C．1040元D．810元4．若10x＝3，10y＝4，则103x－2y＝________．课堂小结1.把有理数指数幂扩充到实数指数幂，指数幂的运算性质得到进一步扩充．2．进行指数幂的运算，一定要按照指数幂运算性质进行变形计算．3．解决条件求值问题，要从整体上把握已知条件和所求代数式之间的联系，把条件及所求式化简，将条件整体代入求值．4．1.2无理数指数幂及其运算性质问题探究提示：可以．例1解析：(1)原式＝222+2×23-(2)原式＝2332×3332跟踪训练1解析：(1)原式＝23·m3223＝26·(2)原式＝aπ3+2π例2解析：1＝(＝5+35-＝5＋53-23(2)原式＝a12b23-3÷b-4·a-22跟踪训练2解析：(1)原式＝2512×45+212a43-8a1＝a＝a＝a13+13例3解析：(1)因为(a12+a-12)2＝a＋2＋a－1＝4＋(2)因为a＋a－1＝4，所以(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝16，所以a2＋a－2＝14.一题多变解析：因为x12+x-12＝3所以x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7，所以(x＋x－1)2＝72，即x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47，所以x2+x-跟踪训练3解析：由题意可知(x－x－1)2＝x2＋x－2－2＝9，可得x－x－1＝±3，又因为x>1，所以x>x－1，即x－x－1>0，所以x－x－1＝3.[随堂练习]1．解析：原式＝22-12+1＝22－1＝2答案：B2．解析：(a12-a-12)2＝a－2＋a－1＝6－2答案：D3．解析：根据题意，计算机的价格降了4次，每次价格降低14，即降一次后价格变为价格不变前的3