2024届内蒙古翁牛特旗乌丹一中数学高二上期末检测模拟试题含解析

2024届内蒙古翁牛特旗乌丹一中数学高二上期末检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线过点，当直线与圆有两个不同的交点时，其斜率的取值范围是（）A. B.C. D.2．方程表示的曲线是A.两条直线 B.两条射线C.两条线段 D.一条直线和一条射线3．已知圆与圆相交于A、B两点，则圆上的动点P到直线AB距离的最大值为（）A. B.C. D.4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. B.C. D.5．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论不正确的是（）A.该双曲线的离心率为B.该双曲线的渐近线方程为C.点P到两渐近线的距离的乘积为D.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为326．圆与圆公切线的条数为（）A.1 B.2C.3 D.47．函数，则的值为（）A B.C. D.8．下列双曲线中，渐近线方程为的是A. B.C. D.9．若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.10．在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（）A. B.C. D.11．已知O为坐标原点，，点P是上一点，则当取得最小值时，点P的坐标为（）A. B.C. D.12．在中，，，，则此三角形（）A.无解 B.一解C.两解 D.解的个数不确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则______.14．已知数列满足，，的前项和为，则______.15．已知在四面体ABCD中，，，则______16．如图，在正四棱锥中，为棱PB的中点，为棱PD的中点，则棱锥与棱锥的体积之比为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围18．（12分）求证：（1）是上的偶函数；（2）是上的奇函数.19．（12分）已知圆：，定点，Q为圆上的一动点，点P在半径CQ上，且，设点P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）过点的直线交曲线E于A，B两点，过点H与AB垂直的直线与x轴交于点N，当取最大值时，求直线AB的方程.20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，圆：过椭圆的三个顶点，过点的直线（斜率存在且不为0）与椭圆交于两点（1）求椭圆的标准方程（2）证明：在轴上存在定点，使得为定值，并求出定点的坐标21．（12分）已知函数，从下列两个条件中选择一个使得数列{an}成等比数列.条件1：数列{f（an）}是首项为4，公比为2的等比数列；条件2：数列{f（an）}是首项为4，公差为2的等差数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和.22．（10分）已知函数f(x)=x-mlnx-m.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m)在上恒成立.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】设直线方程，利用圆与直线的关系，确定圆心到直线的距离小于半径，即可求得斜率范围.【详解】如下图：设直线l的方程为即圆心为，半径是1又直线与圆有两个不同的交点故选：A2、D【解析】由，得2x+3y−1=0或.即2x+3y−1=0(x⩾3)为一条射线，或x=4为一条直线.∴方程表示的曲线是一条直线和一条射线.故选D.点睛：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线在求解方程时要注意变量范围.3、A【解析】判断圆与的位置并求出直线AB方程，再求圆心C到直线AB距离即可计算作答.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，，，即圆与相交，直线AB方程为：，圆的圆心，半径，点C到直线AB距离的距离，所以圆C上的动点P到直线AB距离的最大值为.故选：A4、B【解析】写出每次循环的结果，即可得到答案.【详解】当时，，，，；，此时，退出循环，输出的的为.故选：B【点睛】本题考查程序框图的应用，此类题要注意何时循环结束，建议数据不大时采用写出来的办法，是一道容易题.5、D【解析】根据双曲线的离心率、渐近线、点到直线距离公式、三角形的面积等知识来确定正确答案.【详解】由题意可知，a＝3，b＝4，c＝5，，故离心率e，故A正确；由双曲线的性质可知，双曲线线的渐近线方程为y＝±x，故B正确；设P（x，y），则P到两渐近线的距离之积为，故C正确；若PF1⊥PF2，则△PF1F2是直角三角形，由勾股定理得，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6（不妨取P在第一象限），∴2|PF1||PF2|＝100﹣2|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝32，可得，故D错误.故选：D6、D【解析】分别求出圆和圆的圆心和半径，判断出两圆的位置关系可得到公切线的条数.【详解】根据题意，圆即，其圆心为，半径；圆即，其圆心为，半径；两圆的圆心距，所以两圆相离，其公切线条数有4条；故选：D.7、B【解析】求出函数的导数，代入求值即可.【详解】函数,故，所以，故选：B8、A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式.9、D【解析】由题可知，曲线表示一个半圆，结合半圆的图像和一次函数图像即可求出的取值范围.【详解】由得，画出图像如图：当直线与半圆O相切时，直线与半圆O有一个公共点，此时，，所以，由图可知，此时，所以，当直线如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时，由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以.故选：D.10、A【解析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得【详解】解：如图设与圆切点分别为、、，则有，，，所以根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即、，又，所以，所以方程为故选：A11、A【解析】根据三点共线，可得，然后利用向量的减法坐标运算，分别求得，最后计算，经过化简观察，可得结果.【详解】设，则则∴当时，取最小值为-10，此时点P的坐标为.故选：A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，难点在于三点共线，审清题干，简单计算，属基础题.12、C【解析】利用正弦定理求出的值，再根据所求值及a与b的大小关系即可判断作答.【详解】在中，，，，由正弦定理得，而为锐角，且，则或，所以有两解故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】根据椭圆焦点在轴上方程的特征进行求解即可.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以有，因为长轴长是短轴长的2倍，所以有，故答案为：414、【解析】分析出当为正奇数时，，可求得的值，再分析出当为正偶数时，，可求得的值，进而可求得的值.【详解】由题知，当为正奇数时，，于是,，，，，所以.又因为当为正偶数时，，且，所以两式相加可得，于是，两式相减得.所以，故.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于分析出当为正奇数时，，以及当为正偶数时，，找出规律，结合并项求和法求出以及的值.15、24【解析】由线段的空间关系有，应用向量数量积的运算律及已知条件即可求.【详解】由题设，可得如下四面体示意图，则，又，，所以.故答案为：2416、【解析】根据图形可求出与棱锥的体积之比，即可求出结果【详解】如图所示：棱锥可看成正四棱锥减去四个小棱锥的体积得到，设正四棱锥的体积为，为PB的中点，为PD的中点，所以，而，同理，故棱锥的体积的为，即棱锥与棱锥的体积之比为故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.【解析】（1）求出，进而判断函数的单调性，然后讨论符号后可得函数的单调区间；（2）令，则有两个不同的零点，利用导数讨论的单调性并结合零点存在定理可得实数的取值范围.【小问1详解】当时，，，记，则，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，，所以单调递减区间为，单调递增区间为【小问2详解】令，得，记，则，令得，列表得．x0↘极小值↗要使在上有两个零点，则，所以且函数在和上各有一个零点当时，，，，则，故上无零点，与函数在上有一个零点矛盾，故不满足条件所以，又因为，所以考虑，设，，则，则在上单调递减，故当时，，所以，且，因为，所以，由零点存在定理知在和上各有一个零点综上可知，实数a的取值范围为【点睛】方法点睛：利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.18、（1）证明见详解（2）证明见详解【解析】利用函数奇偶性的定义证明即可【小问1详解】由题意函数定义域为且故是上的偶函数【小问2详解】由题意函数定义域为且故是上奇函数19、（1）（2）或【解析】(1)结合已知条件可得到点P在线段QF的垂直平分线上，然后利用椭圆定义即可求解；(2)结合已知条件设出直线的方程，然后联立椭圆方程，利用弦长公式求出，再设出直线NH的方程，求出N点坐标，进而求出，然后表示出，再利用换元法和均值不等式求解即可.【小问1详解】设点的坐标为，∵，∴点P在线段QF垂直平分线上，∴，又∵，∴∴点P在以C，F为焦点的椭圆上，且，∴，∴曲线的方程为：.【小问2详解】设直线AB方程为，，由，解得，，解得，由韦达定理可知，，，∴∵AB与HN垂直，∴直线NH的方程为，令，得，∴，又由，∴，∴设则∴当且仅当即时等号成立，有最大值，此时满足，故，所以直线AB的方程为：，即或.20、（1）；（2）见解析，定点【解析】（1）先判断圆经过椭圆的上、下顶点和右顶点，令圆方程中的，得，即．再由求即可.（2）设在轴上存在定点，使得为定值，根据题意，设直线的方程为，联立可得，再运算将韦达定理代入化简有与k无关即可.【详解】（1）由圆方程中的时，的两根不为相反数，故可设圆经过椭圆的上、下顶点和右顶点，令圆方程中的，得，即有又，解得∴椭圆的标准方程为（2）证明：设在轴上存在定点，使得为定值，由（1）可得，设直线的方程为，联立可得，设，则，，要使为定值，只需，解得∴在轴上存在定点，使得为定值，定点的坐标为【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质和直线与椭圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.21、（1）（2）【解析】（1）根据所给的条件分别计算后即可判断，再通过满足题意的求出通项；（2）由（1）可得，再通过错位相减法求和即可.【小问1详解】若选择条件1，则有，可得，不满足题意；若选择条件2，则有，可得，满足题意，故.【小问2详解】由（1）可得，所以………①因此有……….②①②可得，即，化简得.22、（1）答